Заказанное кольцо - Ordered ring
В абстрактной алгебре , упорядоченное кольцо является (обычно коммутативное ) кольцо R с общей порядка ≤, что для всех в , б , и с в R :
- если a ≤ b, то a + c ≤ b + c .
- если 0 ≤ a и 0 ≤ b, то 0 ≤ ab .
Примеры
Заказанные кольца знакомы из арифметики . Примеры включают целые числа , рациональные и действительные числа . (Рациональные числа и действительные числа на самом деле образуют упорядоченные поля .) Комплексные числа , напротив, не образуют упорядоченного кольца или поля, потому что между элементами 1 и i нет внутреннего упорядоченного отношения .
Положительные элементы
По аналогии с действительными числами, мы называем элемент c упорядоченного кольца R положительным, если 0 < c , и отрицательным, если c <0. 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.
Множество положительных элементов упорядоченного кольца R часто обозначают R + . Альтернативная нотация, предпочитаемая в некоторых дисциплинах, заключается в использовании R + для набора неотрицательных элементов и R ++ для набора положительных элементов.
Абсолютная величина
Если элемент упорядоченного кольца R , то абсолютное значение из , обозначаемого , определяются следующим образом:
где это добавка , обратный из и 0 является аддитивным единичным элементом .
Дискретно упорядоченные кольца
Дискретное упорядоченное кольцо или дискретно упорядоченное кольцо представляет собой упорядоченное кольцо , в котором не существует элемента между 0 и 1. целых чисел дискретное заказал кольцо, но рациональные числа не являются.
Основные свойства
Для всех a , b и c в R :
- Если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc . Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в определении выше.
- | ab | = | а | | б |.
- Нетривиальное упорядоченное кольцо бесконечно.
- Именно один из следующих условий: положительно, - положительна, или = 0. Это свойство вытекает из того факта , что заказанного кольца являются абелева , линейно упорядоченные группы относительно сложения.
- В упорядоченном кольце отрицательный элемент не является квадратом. Это потому, что если a ≠ 0 и a = b 2, то b ≠ 0 и a = (- b ) 2 ; поскольку либо b, либо - b положительно, a должно быть неотрицательным.
Смотрите также
- Заказанное поле
- Заказанная группа
- Упорядоченное топологическое векторное пространство
- Упорядоченное векторное пространство
- Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком
- Частично упорядоченное пространство - частично упорядоченное топологическое пространство
- Пространство Рисса - частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки
- Векторная решетка
Примечания
Приведенный ниже список включает ссылки на теоремы, формально проверенные проектом IsarMathLib .