Изоморфизм порядка - Order isomorphism

В математической области теории порядка , порядок изоморфизм является особым видом монотонной функции , что представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (Posets). Когда два множества изоморфны по порядку, они могут считаться «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто путем переименования элементов. Два строго более слабых понятия, относящиеся к изоморфизму порядка, - это вложения порядка и связности Галуа .

Определение

Формально, учитывая два Posets и , порядковый изоморфизм из к является биективной функцией от к с тем свойством , что для каждого и в , если и только если . То есть это биективное вложение порядка .

Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, охватывающих все элементы и сохраняющих порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что это также взаимно однозначно, поскольку если бы тогда (по предположению, которое сохраняет порядок), это следовало бы, и , исходя из определения частичного порядка, что .

Еще одна характеристика изоморфизмов порядка состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями , имеющими монотонный обратный.

Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества в себя называется порядковым автоморфизмом .

Когда на множества и накладывается дополнительная алгебраическая структура , функция от до должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы ее можно было рассматривать как изоморфизм. Например, если две частично упорядоченные группы (РО-группы) и , An изоморфизм PO-групп из , чтобы на порядок изоморфизм, также изоморфизм групп , а не только взаимно однозначное соответствие, что это заказ вложение .

Примеры

Типы заказов

Если - изоморфизм порядка, то и обратная ему функция - тоже . Кроме того , если есть порядок изоморфизм , чтобы и на порядок изоморфизм к , то функция композиции из и сам по себе является порядковым изоморфизмом, от до .

Два частично упорядоченных множества называются изоморфными по порядку, если существует изоморфизм по порядку от одного к другому. Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, изоморфизм порядка является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами заказов .

Смотрите также

  • Шаблон перестановки, перестановка, которая по порядку изоморфна подпоследовательности другой перестановки

Заметки

Рекомендации