Треугольник с площадью одной седьмой - One-seventh area triangle

Площадь розового треугольника составляет одну седьмую площади большого треугольника ABC.

В плоской геометрии , треугольник АВС содержит треугольник , имеющий одну седьмую часть площади от ABC , который формируется следующим образом : стороны этого треугольника лежит на cevians р, Q, R , где

p соединяет A с точкой на BC, которая составляет одну треть расстояния от B до C ,
q соединяет B с точкой на CA, которая составляет одну треть расстояния от C до A ,
г соединяет С до точки на AB , которая является одной трети расстояния от A до B .

Доказательство существования треугольника площади одной седьмой следует из построения шести параллельных прямых:

два параллельно p , один через C , другой через qr
два параллельно q , один через A , другой через rp
два параллельно r , один через B , другой через pq .

Предложение Гюго Штейнхауза состоит в том, чтобы (центральный) треугольник со сторонами p, q, r отражался в его сторонах и вершинах. Эти шесть дополнительных треугольников частично покрывают ABC и оставляют шесть выступающих дополнительных треугольников, лежащих за пределами ABC . Сосредоточение внимания на параллелизме полной конструкции (предложенной Мартином Гарднером через онлайн-журнал Джеймса Рэнди ), попарное совпадение нависающих и отсутствующих частей ABC очевидно. Как видно из графического решения, шесть плюс оригинал равны всему треугольнику ABC .

Графическое решение задачи треугольника одной седьмой площади.
Совпадение длин ребер позволяет вращать выбранные треугольники, чтобы сформировать три параллелограмма равной площади, которые делятся пополам на шесть треугольников, равных по размеру исходному внутреннему треугольнику.

Ранняя демонстрация этого геометрического построения и вычисления площади была дана Робертом Поттсом в 1859 году в его учебнике по евклидовой геометрии.

Согласно Куку и Вуду (2004), этот треугольник озадачил Ричарда Фейнмана во время разговора за обедом; они продолжают приводить четыре различных доказательства.

Более общий результат известен как теорема Рауса .

Рекомендации