Натуральный логарифм 2 - Natural logarithm of 2

Десятичное значение натурального логарифма от 2 (последовательность A002162 в OEIS ) составляет приблизительно

${\ displaystyle \ ln 2 \ приблизительно 0,693 \, 147 \, 180 \, 559 \, 945 \, 309 \, 417 \, 232 \, 121 \, 458.}$

Логарифм 2 в других основаниях получается по формуле

${\ displaystyle \ log _ {b} 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ ln b}}.}$

В частности, десятичный логарифм ( OEIS :  A007524 )

${\ displaystyle \ log _ {10} 2 \ приблизительно 0,301 \, 029 \, 995 \, 663 \, 981 \, 195.}$

Обратное к этому числу - двоичный логарифм 10:

${\ displaystyle \ log _ {2} 10 = {\ frac {1} {\ log _ {10} 2}} \ приблизительно 3.321 \, 928 \, 095}$( OEIS :  A020862 ).

По теореме Линдемана – Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в более общем смысле, любого положительного алгебраического числа, отличного от 1), является трансцендентным числом .

Представления серий

Возрастающий альтернативный факториал

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots. }$Это хорошо известный « переменный гармонический ряд ».

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {8}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {3} {4}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {131} {192}} + {\ frac {3} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {661} {960}} + {\ frac {15} {4}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Двоичный возрастающий постоянный факториал

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {6}} - 6 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {7} {12}} + 24 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {47} {60}} - 120 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Другие изображения серий

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) (2n + 2)}} = \ ln 2.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (4n ^ {2} -1)}} = 2 \ ln 2-1.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n (4n ^ {2} -1)}} = \ ln 2-1.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n (9n ^ {2} -1)}} = 2 \ ln 2 - {\ гидроразрыв {3} {2}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4n ^ {2} -2n}} = \ ln 2.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 (-1) ^ {n + 1} (2n-1) +1} {8n ^ {2} -4n}} = \ ln 2.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3n + 1}} = {\ frac {\ ln 2} {3}} + { \ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3n + 2}} = - {\ frac {\ ln 2} {3}} + {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(3n + 1) (3n + 2)}} = {\ frac {2 \ ln 2} {3}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2}}} = 18-24 \ ln 2}$ с использованием ${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ sum _ {n = N} ^ {2N} {\ frac {1} {n}} = \ ln 2}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4n ^ {2} -3n}} = \ ln 2 + {\ frac {\ pi} {6}}}$(суммы обратных десятиугольных чисел )

Использование дзета-функции Римана

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} [\ zeta (n) -1] = \ ln 2 - {\ frac {1} {2}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} [\ zeta (n) -1] = 1- \ gamma - {\ frac {\ ln 2 } {2}}.}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2n-1} (2n + 1)}} \ zeta (2n) = 1- \ ln 2.}$

( γ - постоянная Эйлера – Маскерони и ζ дзета-функция Римана .)

Представления типа BBP

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2k}} + {\ frac {1} {4k + 1}} + {\ frac {1} {8k + 4}} + {\ frac {1} {16k + 12}} \ right) {\ frac { 1} {16 ^ {k}}}.}$

(См. Дополнительные сведения о представлениях типа Бейли – Борвейна – Плуффа (BBP) .)

Применение трех общих рядов натурального логарифма к 2 напрямую дает:

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {9 ^ {k} (2k + 1)}}. }$

Применение их к дает: ${\ displaystyle \ textstyle 2 = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {4} {3}}}$

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ {n} n}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {3 ^ {n} n}}.}.$

${\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {3 ^ {n} n}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {4 ^ {n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {5}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {2} {7}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {49 ^ {k} (2k + 1)}}.}.$

Применение их к дает: ${\ displaystyle \ textstyle 2 = ({\ sqrt {2}}) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {({\ sqrt {2}} + 1) ^ { n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {4} {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(17 + 12 {\ sqrt {2}}) ^ {k} (2k + 1)}}.}$

Применение их к дает: ${\ displaystyle \ textstyle 2 = {\ left ({\ frac {16} {15}} \ right)} ^ {7} \ cdot {\ left ({\ frac {81} {80}} \ right)} ^ {3} \ cdot {\ left ({\ frac {25} {24}} \ right)} ^ {5}}$

${\ displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {15 ^ {n} n}} + 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {80 ^ {n} n}} + 5 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n-1}} {24 ^ {n} n}}.}$

${\ displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {n} n}} + 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ frac {1} {81 ^ {n} n}} + 5 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25 ^ {n} n}}.}.$

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {14} {31}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {961 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {6} {161}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25921 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {10} { 49}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2401 ^ {k} (2k + 1)}}.}.}$

Представление в виде интегралов

Натуральный логарифм 2 часто встречается в результате интегрирования. Некоторые явные формулы для него включают:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x}} = \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {dx} {x}} = \ ln 2 }$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} {\ frac {1-e ^ {- x}} {x}} \, dx = \ ln 2}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \ tan x \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ tan x \, dx = \ ln 2}$

${\ displaystyle - {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln x \ ln \ ln x} {(x + 1) ^ {2} }} \, dx = \ ln 2}$

Другие представления

Расширение Pierce - OEIS :  A091846

${\ displaystyle \ ln 2 = 1 - {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 12}} - \ cdots.}$

Расширение Engel - OEIS :  A059180

${\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7}} + { \ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots.}$

Расширение котангенса - OEIS :  A081785

${\ displaystyle \ ln 2 = \ cot ({\ operatorname {arccot} (0) - \ operatorname {arccot} (1) + \ operatorname {arccot} (5) - \ operatorname {arccot} (55) + \ operatorname { arccot} (14187) - \ cdots}).}$

Простое расширение непрерывной дроби - OEIS :  A016730

${\ Displaystyle \ пер 2 = \ влево [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1, ... \ right]}$,

который дает рациональные приближения, первые несколько из которых - 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 и 61/88.

Эта обобщенная цепная дробь :

${\ displaystyle \ ln 2 = \ left [0; 1,2,3,1,5, {\ tfrac {2} {3}}, 7, {\ tfrac {1} {2}}, 9, {\ tfrac {2} {5}}, ..., 2k-1, {\ frac {2} {k}}, ... \ right]}$,

также выражается как

${\ Displaystyle \ ln 2 = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {2} { 5 + {\ cfrac {3} {2 + {\ cfrac {3} {7 + {\ cfrac {4} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {2} {3 - {\ cfrac {1 ^ {2}} {9 - {\ cfrac {2 ^ {2}} {15 - {\ cfrac {3 ^ {2}} {21- \ ddots}} }}}}}}}$

Загрузка других логарифмов

Учитывая значение ln 2 , схема вычисления логарифмов других целых чисел состоит в том, чтобы табулировать логарифмы простых чисел и на следующем слое логарифмы составных чисел c на основе их факторизации.

${\ displaystyle c = 2 ^ {i} 3 ^ {j} 5 ^ {k} 7 ^ {l} \ cdots \ rightarrow \ ln (c) = i \ ln (2) + j \ ln (3) + k \ ln (5) + l \ ln (7) + \ cdots}$

Здесь задействованы

основной	приблизительный натуральный логарифм	OEIS
2	0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458	A002162
3	1,098 612 288 668 109 691 395 245 236 92	A002391
5	1,609 437 912 434 100 374 600 759 333 23	A016628
7	1,945 910 149 055 313 305 105 352 743 44	A016630
11	2.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97	A016634
13	2,564 949 357 461 536 736 053 487 441 57	A016636
17	2,833 213 344 056 216 080 249 534 617 87	A016640
19	2,944 438 979 166 440 460 009 027 431 89	A016642
23	3,135 494 215 929 149 690 806 752 831 81	A016646
29	3,367 295 829 986 474 027 183 272 032 36	A016652
31 год	3,433 987 204 485 146 245 929 164 324 54	A016654
37	3,610 917 912 644 224 444 368 095 671 03	A016660
41 год	3,713 572 066 704 307 803 866 763 373 04	A016664
43 год	3,761 200 115 693 562 423 472 842 513 35	A016666
47	3,850 147 601 710 058 586 820 950 669 77	A016670
53	3,970 291 913 552 121 834 144 469 139 03	A016676
59	4,077 537 443 905 719 450 616 050 373 72	A016682
61	4,110 873 864 173 311 248 751 389 103 43	A016684
67	4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36	A016690
71	4,262 679 877 041 315 421 329 454 532 51	A016694
73	4,290 459 441 148 391 129 092 108 857 44	A016696
79	4,369 447 852 467 021 494 172 945 541 48	A016702
83	4,418 840 607 796 597 923 475 472 223 29	A016706
89	4,488 636 369 732 139 838 317 815 540 67	A016712
97	4,574 710 978 503 382 822 116 721 621 70	A016720

В третьем слое логарифмы рациональных чисел r = а/бвычисляются с ln ( r ) = ln ( a ) - ln ( b ) и логарифмами корней через ln ⁿ √ c =1/пln ( c ) .

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени двойки распределены довольно плотно; найти степени 2 ^i, близкие к степеням b ^j других чисел b , сравнительно легко, и последовательные представления ln ( b ) находятся путем соединения 2 с b с помощью логарифмических преобразований .

Пример

Если p ^s = q ^t + d с некоторым малым d , тоp ^s/q ^t = 1 + d/q ^t и поэтому

${\ displaystyle s \ ln pt \ ln q = \ ln \ left (1 + {\ frac {d} {q ^ {t}}} \ right) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} ( -1) ^ {m + 1} {\ frac {({\ frac {d} {q ^ {t}}}) ^ {m}} {m}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2} {2n + 1}} {\ left ({\ frac {d} {2q ^ {t} + d}} \ right)} ^ {2n + 1}.}$

Выбор q = 2 представляет ln p на ln 2 и серию параметраd/q ^tкоторый желает сохранить маленьким для быстрой конвергенции. Взяв, например, 3 ² = 2 ³ + 1 , получаем

${\ displaystyle 2 \ ln 3 = 3 \ ln 2- \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k} k}} = 3 \ ln 2+ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2} {2n + 1}} {\ left ({\ frac {1} {2 \ cdot 8 + 1}} \ right)} ^ { 2n + 1}.}$

Фактически это третья строка в следующей таблице расширений этого типа:

s	п	т	q	d/q t
1	3	1	2	1/2 знак равно -0,500 000 00 …
1	3	2	2	-1/4 = -0,250 000 00 …
2	3	3	2	1/8 знак равно -0,125 000 00 …
5	3	8	2	-13/256 = -0,050 781 25 …
12	3	19	2	7153/524 288 знак равно -0,013 643 26 …
1	5	2	2	1/4 знак равно -0,250 000 00 …
3	5	7	2	-3/128 = -0,023 437 50 …
1	7	2	2	3/4 знак равно -0,750 000 00 …
1	7	3	2	-1/8 = -0,125 000 00 …
5	7	14	2	423/16 384 знак равно -0,025 817 87 …
1	11	3	2	3/8 знак равно -0,375 000 00 …
2	11	7	2	-7/128 = -0,054 687 50 …
11	11	38	2	10 433 763 667/274 877 906 944 знак равно -0,037 957 81 …
1	13	3	2	5/8 знак равно -0,625 000 00 …
1	13	4	2	-3/16 = -0,187 500 00 …
3	13	11	2	149/2048 знак равно -0,072 753 91 …
7	13	26 год	2	-4 360 347/67 108 864 = -0,064 974 23 …
10	13	37	2	419 538 377/137 438 953 472 знак равно -0,003 052 54 …
1	17	4	2	1/16 знак равно -0,062 500 00 …
1	19	4	2	3/16 знак равно -0,187 500 00 …
4	19	17	2	-751/131 072 = -0,005 729 68 …
1	23	4	2	7/16 знак равно -0,437 500 00 …
1	23	5	2	-9/32 = -0,281 250 00 …
2	23	9	2	17/512 знак равно -0,033 203 12 …
1	29	4	2	13/16 знак равно -0,812 500 00 …
1	29	5	2	-3/32 = -0,093 750 00 …
7	29	34	2	70 007 125/17 179 869 184 знак равно -0,004 074 95 …
1	31 год	5	2	-1/32 = -0,031 250 00 …
1	37	5	2	5/32 знак равно -0,156 250 00 …
4	37	21 год	2	-222 991/2 097 152 = -0,106 330 39 …
5	37	26 год	2	2 235 093/67 108 864 знак равно -0,033 305 48 …
1	41 год	5	2	9/32 знак равно -0,281 250 00 …
2	41 год	11	2	-367/2048 = -0,179 199 22 …
3	41 год	16	2	3385/65 536 знак равно -0,051 651 00 …
1	43 год	5	2	11/32 знак равно -0,343 750 00 …
2	43 год	11	2	-199/2048 = -0,097 167 97 …
5	43 год	27	2	12 790 715/134 217 728 знак равно -0,095 298 25 …
7	43 год	38	2	-3 059 295 837/274 877 906 944 = -0,011 129 65 …

Начиная с натурального логарифма q = 10, можно использовать следующие параметры:

s	п	т	q	d/q t
10	2	3	10	3/125 знак равно -0,024 000 00 …
21 год	3	10	10	460 353 203/10 000 000 000 знак равно -0,046 035 32 …
3	5	2	10	1/4 знак равно -0,250 000 00 …
10	5	7	10	-3/128 = -0,023 437 50 …
6	7	5	10	17 649/100 000 знак равно -0,176 490 00 …
13	7	11	10	-3 110 989 593/100 000 000 000 = -0,031 109 90 …
1	11	1	10	1/10 знак равно -0,100 000 00 …
1	13	1	10	3/10 знак равно -0,300 000 00 …
8	13	9	10	-184 269 279/1 000 000 000 = -0,184 269 28 …
9	13	10	10	604 499 373/10 000 000 000 знак равно -0,060 449 94 …
1	17	1	10	7/10 знак равно -0,700 000 00 …
4	17	5	10	-16 479/100 000 = -0,164 790 00 …
9	17	11	10	18 587 876 497/100 000 000 000 знак равно -0,185 878 76 …
3	19	4	10	-3141/10 000 = -0,314 100 00 …
4	19	5	10	30 321/100 000 знак равно -0,303 210 00 …
7	19	9	10	-106 128 261/1 000 000 000 = -0,106 128 26 …
2	23	3	10	-471/1000 = -0,471 000 00 …
3	23	4	10	2167/10 000 знак равно -0,216 700 00 …
2	29	3	10	-159/1000 = -0,159 000 00 …
2	31 год	3	10	-39/1000 = -0,039 000 00 …

Известные цифры

Это таблица последних записей при вычислении цифр ln 2 . По состоянию на декабрь 2018 года в нем было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме натурального числа, кроме 1.

Дата	Имя	Количество цифр
7 января 2009 г.	А.Йи и Р.Чан	15 500 000 000
4 февраля 2009 г.	А.Йи и Р.Чан	31 026 000 000
21 февраля 2011 г.	Александр Йи	50 000 000 050
14 мая 2011 г.	Сигеру Кондо	100 000 000 000
28 февраля 2014 г.	Сигеру Кондо	200 000 000 050
12 июля 2015 г.	Рон Уоткинс	250 000 000 000
30 января 2016 г.	Рон Уоткинс	350 000 000 000
18 апреля 2016 г.	Рон Уоткинс	500 000 000 000
10 декабря 2018 г.	Майкл Квок	600 000 000 000
26 апреля 2019 г.,	Джейкоб Риффи	1 000 000 000 000
19 августа 2020 г.	Сынмин Ким	1 200 000 000 100

Смотрите также

• Правило 72 # Непрерывное начисление процентов , в котором фигура 2 занимает видное место
• Период полураспада # Формулы для периода полураспада в экспоненциальном распаде , в которых ln 2 занимает видное место
• Уравнение Эрдеша – Мозера : все решения должны исходить из сходящейся к ln 2 .

использованная литература

• Брент, Ричард П. (1976). «Быстрое вычисление элементарных функций с высокой точностью». J. ACM . 23 (2): 242–251. DOI : 10.1145 / 321941.321944 . Руководство по ремонту  0395314 . S2CID  6761843 .
• Улер, Гораций С. (1940). «Пересчет и расширение модуля и логарифмов 2, 3, 5, 7 и 17» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 26 (3): 205–212. DOI : 10.1073 / pnas.26.3.205 . Руководство по ремонту  0001523 . PMC  1078033 . PMID  16588339 .
• Суини, Дура В. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера» . Математика вычислений . 17 (82): 170–178. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X . Руководство по ремонту  0160308 .
• Чемберленд, Марк (2003). "Бинарные BBP-формулы для логарифмов и обобщенных простых чисел Гаусса – Мерсенна" (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 : 03.3.7. Руководство по ремонту  2046407 . Архивировано из оригинального (PDF) 06.06.2011 . Проверено 29 апреля 2010 .
• Гуревич, Борис; Гильера Гоянес, Хесус (2007). «Построение биномиальных сумм для π и полилогарифмических констант, вдохновленное формулами BBP» (PDF) . Прикладная математика. Электронные заметки . 7 : 237–246. Руководство по ремонту  2346048 .
• У, Цян (2003). «О мере линейной независимости логарифмов рациональных чисел» . Математика вычислений . 72 (242): 901–911. DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01442-4 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм 2» . MathWorld .
• «таблица натуральных логарифмов» . PlanetMath .
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль. «Постоянный логарифм: log 2» .