Взаимная исключительность - Mutual exclusivity

В логике и теории вероятностей два события (или утверждения) являются взаимоисключающими или несовместимыми, если они не могут происходить одновременно. Ярким примером является набор результатов одного подбрасывания монеты, в результате которого может выпасть орел или решка, но не оба сразу.

В примере с подбрасыванием монеты оба результата теоретически являются исчерпывающими в совокупности , что означает, что должен произойти по крайней мере один из результатов, поэтому эти две возможности вместе исчерпывают все возможности. Однако не все взаимоисключающие события являются исчерпывающими. Например, результаты 1 и 4 одного броска шестигранного кубика являются взаимоисключающими (оба не могут произойти одновременно), но не исчерпывающими в совокупности (есть и другие возможные исходы; 2,3,5,6).

Логика

В логике два взаимоисключающих предложения - это предложения, которые логически не могут быть истинными в одном и том же смысле в одно и то же время. Сказать, что более двух предложений являются взаимоисключающими, в зависимости от контекста, означает, что одно не может быть истинным, если другое истинно, или, по крайней мере, одно из них не может быть истинным. Термин « парные взаимоисключающие» всегда означает, что два из них не могут быть истинными одновременно.

Вероятность

В теории вероятностей события E 1 , E 2 , ..., E n называются взаимоисключающими, если возникновение любого из них подразумевает ненаступление остальных n  - 1 событий. Следовательно, два взаимоисключающих события не могут происходить одновременно. Формально говоря, пересечение каждых двух из них пусто (нулевое событие): A  ∩  B  = ∅. Следовательно, взаимоисключающие события обладают свойством: P ( AB ) = 0.

Например, в стандартной колоде из 52 карт и двух цветов невозможно вытянуть одновременно красную и трефовую карту, потому что трефы всегда черные. Если из колоды вытягивается только одна карта, будет вытягиваться либо красная карта (сердце или ромб), либо черная карта (булава или пика). Когда A и B являются взаимоисключающими, P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) . Например, чтобы найти вероятность розыгрыша красной карточки или клюшки, сложите вероятность розыгрыша красной карточки и вероятность розыгрыша клюшки. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и тринадцать треф: 26/52 + 13/52 = 39/52 или 3/4.

Чтобы вытянуть красную карточку и дубинку, нужно было взять минимум две карты. Вероятность сделать это при двух розыгрышах зависит от того, была ли первая взятая карта заменена до второго розыгрыша, поскольку без замены остается на одну карту меньше после того, как была взята первая карта. Вероятности отдельных событий (красного и клубного) скорее умножаются, чем складываются. Вероятность выпадения красной и булавой в двух розыгрышах без замены составляет 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 , или 13/51. При замене вероятность будет 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 или 13/52.

В теории вероятностей слово или допускает возможность обоих событий. Вероятность наступления одного или обоих событий обозначается P ( AB ) и обычно равна P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ). Следовательно, в случае вытягивания красной карты или короля, вытягивание любого из красного короля, красного не-короля или черного короля считается успехом. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и четыре короля, два из которых красные, поэтому вероятность вытащить красную или короля составляет 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28 / 52.

В совокупности события являются исчерпывающими, если все возможности для исходов исчерпываются этими возможными событиями, поэтому должен произойти по крайней мере один из этих исходов. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, равна единице. Например, теоретически существует только две возможности подбросить монету. Подергивание головы и подбрасывание хвоста - все вместе являются исчерпывающими действиями, и есть вероятность того, что одно из них окажется либо головой, либо хвостом. События могут быть как взаимоисключающими, так и исчерпывающими в совокупности. В случае подбрасывания монеты, подбрасывания головы и подбрасывания хвоста также являются взаимоисключающими событиями. Оба исхода не могут иметь место для одного испытания (например, когда монета подбрасывается только один раз). Вероятность перевернуть голову и вероятность перевернуть хвост можно сложить, чтобы получить вероятность 1: 1/2 + 1/2 = 1.

Статистика

В статистике и регрессионного анализа , с независимой переменной , которая может принимать только два возможных значения, называется фиктивной переменной . Например, он может принимать значение 0, если наблюдение относится к белому объекту, или 1, если наблюдение относится к черному объекту. Две возможные категории, связанные с двумя возможными значениями, являются взаимоисключающими, так что ни одно наблюдение не попадает в более чем одну категорию, а категории являются исчерпывающими, так что каждое наблюдение попадает в какую-либо категорию. Иногда есть три или более возможных категории, которые попарно взаимоисключают и являются исчерпывающими в совокупности - например, младше 18 лет, от 18 до 64 лет и возраст 65 или старше. В этом случае создается набор фиктивных переменных, каждая фиктивная переменная имеет две взаимоисключающие и совместно исчерпывающие категории - в этом примере одна фиктивная переменная (называемая D 1 ) будет равна 1, если возраст меньше 18 лет, и 0 в противном случае. ; вторая фиктивная переменная (называемая D 2 ) будет равна 1, если возраст находится в диапазоне 18–64, и 0 в противном случае. В этой настройке пары фиктивных переменных (D 1 , D 2 ) могут иметь значения (1,0) (до 18 лет), (0,1) (от 18 до 64) или (0,0) ( 65 или старше) (но не (1,1), что бессмысленно означало бы, что наблюдаемый субъект младше 18 лет и от 18 до 64). Затем фиктивные переменные могут быть включены в регрессию как независимые (объясняющие) переменные. Обратите внимание, что количество фиктивных переменных всегда на единицу меньше количества категорий: для двух категорий, черного и белого, существует одна фиктивная переменная, чтобы различать их, а для трех возрастных категорий необходимы две фиктивные переменные, чтобы различать их.

Такие качественные данные также можно использовать для зависимых переменных . Например, исследователь может захотеть предсказать, будет ли кто-то арестован или нет, используя семейный доход или расовую принадлежность в качестве независимых переменных. Здесь необходимо объяснить переменную - фиктивную переменную, которая равна 0, если наблюдаемый субъект не арестован, и равна 1, если субъект действительно арестован. В такой ситуации обычный метод наименьших квадратов (основной метод регрессии) широко рассматривается как неадекватный; вместо этого используется пробит-регрессия или логистическая регрессия . Кроме того, иногда существует три или более категорий для зависимой переменной - например, отсутствие обвинений, обвинения и смертные приговоры. В этом случае используется метод полиномиального пробита или полиномиального логита .

Смотрите также

Примечания

использованная литература