Мультипликативная функция - Multiplicative function

В теории чисел , A мультипликативной функцией является арифметическая функция F ( п ) положительного целого числа п со свойством , что F (1) = 1 и

{\ Displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

всякий раз , когда и б являются взаимно простыми .

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех положительных целых чисел a и b , даже если они не взаимно просты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для упрощения написания формул:

1 ( n ): постоянная функция, определяемая как 1 ( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
Id ( n ): функция идентичности , определяемая как Id ( n ) = n (полностью мультипликативная)
Id _k ( n ): степенные функции, определенные как Id _k ( n ) = n ^k для любого комплексного числа k (полностью мультипликативный). В качестве частных случаев мы имеем
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
ε ( n ): функция, определяемая формулой ε ( n ) = 1, если n = 1, и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не путать с μ ( n ).
1 _С ( п ), то функция индикатора множества С ⊂ Z , для некоторых множеств C . Индикатор Функция 1 _С ( п ) мультипликативная именно тогда , когда множество С обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел а и б : продукт AB в C тогда и только тогда , когда число а и б оба равны в себя C . Это так, если C - это набор квадратов, кубиков или k -й степени, или если C - это набор чисел без квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают многие функции, важные в теории чисел, такие как:

НОД ( п , к ): наибольший общий делитель из п и к , как функция от п , где к представляет собой фиксированное целое число.
${\ Displaystyle \ varphi (п)}$ : Функция Эйлера , подсчитывающая положительные целые числа,

взаимно простые с (но не больше чем) n

{\ displaystyle \ varphi}

μ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетных, +1 для четных) числа простых множителей бесквадратных чисел; 0, если n не является бесквадратным

σ _k ( n ): функция делителя , которая представляет собой сумму k -й степени всех положительных делителей числа n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть

σ ₀ ( n ) = d ( n ) количество положительных делителей числа n ,
σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей числа n .

a ( n ): количество неизоморфных абелевых групп порядка n .

λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n ),} где Ω ( n ) - общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящее n . (полностью мультипликативный).

γ ( n ), определяемый формулой γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , где аддитивная функция ω ( n ) - это количество различных простых чисел, делящих n .

τ ( n ): тау-функция Рамануджана .

Все символы Дирихле являются полностью мультипликативными функциями. Например

( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция от n, где p - фиксированное простое число .

Примером немультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) - количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нулевых , где при подсчете количества способов происходит обращение заказ разрешен. Например:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

и поэтому r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n ) / 4 мультипликативно.

В On-Line Энциклопедии целочисленных последовательностей , последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «мульт».

См. Арифметические функции для некоторых других примеров не мультипликативных функций.

Характеристики

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^a q ^b ..., то f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает потребность в вычислениях, как в следующих примерах для n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 · 3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

Аналогично у нас есть:

{\ Displaystyle \ varphi (144) = \ varphi (2 ^ {4}) \, \ varphi (3 ^ {2}) = 8 \ cdot 6 = 48}

В общем, если f ( n ) - мультипликативная функция, а a , b - любые два положительных целых числа, то

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Каждый вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом из моноидов и полностью определяется своим ограничением простых чисел.

Свертка

Если е и г имеют две мультипликативных функции, один определяет новую мультипликативная функцию е * г , то свертку Дирихля из е и г , от

{\ Displaystyle (е \, * \, g) (n) = \ сумма _ {d | n} f (d) \, g \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}

где сумма продолжается по всем положительным делителям d числа n . С помощью этой операции набор всех мультипликативных функций превращается в абелеву группу ; единичный элемент является ε . Свертка коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.

Связи между мультипликативными функциями, описанными выше, включают:

μ * 1 = ε ( формула обращения Мёбиуса )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (обобщенная инверсия Мёбиуса)
${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Идентификатор
d = 1 * 1
σ = Id * 1 = * d ${\ displaystyle \ varphi}$
σ _k = Id _k * 1
Id = * 1 = σ * μ ${\ displaystyle \ varphi}$
Id _k = σ _k * μ

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативный. Доказательство этого факта дает следующее разложение относительно простого числа : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} (е \ ast g) (ab) & = \ sum _ {d | ab} f (d) g \ left ({\ frac {ab} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {d_ {1} | a} \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) g \ left ({\ frac {ab} {d_ {1 } d_ {2}}} \ right) \\ & = \ sum _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) g \ left ({\ frac {a} {d_ {1}}} \ вправо) \ times \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) g \ left ({\ frac {b} {d_ {2}}} \ right) \\ & = (f \ ast g) (a) \ cdot (f \ ast g) (b). \ end {align}}}

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} }}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {d (n) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {4}} {\ дзета (2s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {2 ^ {\ omega (n)}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} { \ zeta (2s)}}}$

Больше примеров можно найти в статье о серии Дирихле .

Мультипликативная функция над $F q [X]$

Пусть $A = F q [X]$ , кольцо многочленов над конечным полем из q элементов. A - область главных идеалов, и поэтому A - уникальная область факторизации .

Сложная функция на А называется мультипликативным , если всякий раз , когда е и г являются взаимно простыми . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda (fg) = \ lambda (f) \ lambda (g)}$

Дзета-функция и ряд Дирихле в $F q [X]$

Пусть h - полиномиальная арифметическая функция (т. Е. Функция на множестве монических полиномов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} h (f) | f | ^ {- s},}

где для установить, если и в противном случае. ${\ displaystyle g \ in A,}$ ${\ Displaystyle | г | = д ^ {\ град (г)}}$ ${\ displaystyle g \ neq 0,}$ ${\ displaystyle | g | = 0}$

Тогда полиномиальная дзета-функция имеет вид

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} | f | ^ {- s}.}

Подобно ситуации в $N$ , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения (произведение Эйлера):

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ prod _ {P} \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 0} ^ {\ infty} h (P ^ {n}) | P | ^ { -sn} \ right),}

где произведение берется по всем унитарный неприводимые многочлены P . Например, произведение дзета-функции такое же, как и для целых чисел:

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ prod _ {P} (1- | P | ^ {- s}) ^ {- 1}.}

В отличие от классической дзета-функции , это простая рациональная функция: ${\ displaystyle \ zeta _ {A} (s)}$

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f} | f | ^ {- s} = \ sum _ {n} \ sum _ {\ deg (f) = n} q ^ {- sn} = \ sum _ {n} (q ^ {n-sn}) = (1-q ^ {1-s}) ^ {- 1}.}

Аналогичным образом, если е и г два полиномиальные арифметические функции, один определяет F * г , тем свертка Дирихля из е и г , по

{\ displaystyle {\ begin {align} (е * g) (m) & = \ sum _ {d \ mid m} f (d) g \ left ({\ frac {m} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {ab = m} f (a) g (b), \ end {align}}}

где сумма берется по всем моническим делителям d числа m или, что эквивалентно, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведение которых равно m . Идентичность все еще в силе. ${\ displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h * g}}$

Смотрите также

использованная литература

См. Главу 2 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001

внешние ссылки

Планета Математика

Languages

In other projects

Мультипликативная функция - Multiplicative function

СОДЕРЖАНИЕ

Примеры

Характеристики

Свертка

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

Мультипликативная функция над $F q [X]$

Дзета-функция и ряд Дирихле в $F q [X]$

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Languages

In other projects

Мультипликативная функция - Multiplicative function

Примеры

Характеристики

Свертка

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

Мультипликативная функция над F q [ X ]

Дзета-функция и ряд Дирихле в F q [ X ]

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Мультипликативная функция над $F q [X]$

Дзета-функция и ряд Дирихле в $F q [X]$