Способ истощения - Method of exhaustion

Метод истощения ( латыни : methodus exhaustionibus ; французский : méthode де ANCIENS ) представляет собой способ нахождения площади в виде формы с помощью вписывания внутри него последовательность из многоугольников , чьи участки сходятся к области , содержащей форму . Если последовательность построена правильно, разница в площади между n- м многоугольником и содержащей его фигурой станет сколь угодно малой, когда n станет большим. Поскольку эта разница становится сколь угодно малой, возможные значения площади формы систематически «исчерпываются» нижними границами областей, последовательно устанавливаемых членами последовательности.

Метод исчерпания прав обычно требует формы доказательства от противоречия , известной как reductio ad absurdum . Это равносильно нахождению области области, сначала сравнивая ее с площадью второй области (которая может быть «исчерпана», так что ее площадь становится сколь угодно близкой к истинной области). Доказательство включает предположение, что истинная область больше, чем вторая область, и затем доказательство того, что это утверждение ложно, а затем предположение, что оно меньше, чем вторая область, а также доказательство того, что утверждение ложно.

История

Григорий Сент-Винсент

Идея зародилась в конце V века до нашей эры у Антифона , хотя не совсем ясно, насколько хорошо он ее понимал. Несколько десятилетий спустя эта теория была подтверждена Евдоксом Книдским , который использовал ее для расчета площадей и объемов. Позднее он был заново в Китае от Лю Хуэй в 3 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. Впервые этот термин был использован в 1647 году Григорием Сент-Винсентским в Opus geometryum quadraturae ciri et sectionum .

Метод исчерпания рассматривается как предшественник методов исчисления . Развитие аналитической геометрии и строгого интегрального исчисления в 17-19 веках включило метод исчерпания, так что он больше не используется явно для решения задач. Важным альтернативным подходом был принцип Кавальери , также называемый методом неделимых, который в конечном итоге превратился в исчисление бесконечно малых Роберваля , Торричелли , Уоллиса , Лейбница и других.

Евклид

Евклид использовал метод исчерпания, чтобы доказать следующие шесть утверждений в 12-й книге своих Элементов .

Утверждение 2 : Площадь кругов пропорциональна квадрату их диаметров.

Утверждение 5 : Объемы двух тетраэдров одинаковой высоты пропорциональны площадям их треугольных оснований.

Утверждение 10 : объем конуса равен трети объема соответствующего цилиндра, имеющего такое же основание и высоту.

Утверждение 11 : Объем конуса (или цилиндра) одинаковой высоты пропорционален площади основания.

Утверждение 12: Объем конуса (или цилиндра), который похож на другой, пропорционален кубу отношения диаметров оснований.

Утверждение 18 : Объем сферы пропорционален кубу ее диаметра.

Архимед

Архимед использовал метод истощения для вычисления площади внутри круга.

Архимеда был использован метод истощения , как способ , чтобы вычислить площадь внутри круга, заполняя круг с полигона на большей площади и большее число сторон . Частное, образованное площадью этого многоугольника, деленной на квадрат радиуса круга, можно сделать произвольно близким к π, поскольку количество сторон многоугольника становится большим, доказывая, что площадь внутри круга радиуса r равна πr 2 , π определяется как отношение длины окружности к диаметру (C / d).

Он также предоставил границе 3 +  10 / 71  <  π  <3 +  10 / 70 , (давая диапазон 1 / 497 ) путем сравнения периметров окружности с периметрами вписанных и 96-сторонней правильные многоугольники.

Другие результаты, которые он получил с помощью метода истощения, включали:

  • Площадь, ограниченная пересечением прямой и параболы, составляет 4/3 площади треугольника, имеющего такое же основание и высоту;
  • Площадь эллипса пропорциональна прямоугольнику, стороны которого равны его большой и малой осям;
  • Объем сферы в 4 раза больше, чем у конуса с основанием того же радиуса и высотой, равной этому радиусу;
  • Объем цилиндра, высота которого равна его диаметру, составляет 3/2 объема шара такого же диаметра;
  • Площадь, ограниченная одним поворотом спирали и линией, составляет 1/3 площади круга, имеющего радиус, равный длине отрезка линии;
  • Использование метода исчерпания также привело к успешной оценке бесконечного геометрического ряда (впервые).

Смотрите также

Рекомендации