Медиана (геометрия) - Median (geometry)

Медианы треугольника и центроид .

В геометрии , А средний из треугольника является отрезок присоединения к вершины к середине стороны , противоположной, таким образом , рассекает эту сторону. Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре тяжести треугольника . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол в вершине, две смежные стороны которой равны по длине.

Понятие медианы распространяется на тетраэдры .

Отношение к центру масс

Каждая медиана треугольника проходит через центроид треугольника , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе по любой медиане к стороне, с которой она пересекается, чем к вершине, из которой он исходит.

Равноплощадочное деление

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам; отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект однородной плотности будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, разделяющие площадь треугольника на две равные части, не проходят через центроид.) Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади .

Доказательство собственности равной площади

Рассмотрим треугольник ABC . Пусть D - середина , E - середина , F - середина , а O - центроид (чаще всего обозначается G ). ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$

По определению . Таким образом, и , где представляет собой площадь треугольника ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания одинаковой длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине его основания, умноженному на его высоту. ${\ Displaystyle AD = DB, AF = FC, BE = EC}$ ${\ displaystyle [ADO] = [BDO], [AFO] = [CFO], [BEO] = [CEO],}$ ${\ displaystyle [ABE] = [ACE]}$ ${\ displaystyle [ABC]}$ ${\ Displaystyle \ треугольник ABC}$

У нас есть:

{\ displaystyle [ABO] = [ABE] - [BEO]}

{\ displaystyle [ACO] = [ACE] - [генеральный директор]}

Таким образом, и ${\ displaystyle [ABO] = [ACO]}$ ${\ displaystyle [ADO] = [DBO], [ADO] = {\ frac {1} {2}} [ABO]}$

Так как , следовательно, . Используя тот же метод, можно это показать . ${\ displaystyle [AFO] = [FCO], [AFO] = {\ frac {1} {2}} [ACO] = {\ frac {1} {2}} [ABO] = [ADO]}$ ${\ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO]}$ ${\ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO] = [BEO] = [CEO]}$

Три равных треугольника

В 2014 году Ли Сэллоус открыл следующую теорему:

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как на рисунке выше, где три соседние пары треугольников встречаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре повернуты вокруг своей общей средней точки, пока они не станут встречаются так, чтобы иметь общую сторону, тогда три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, совпадают.

Формулы, включающие медианы длин

Длины медиан могут быть получены из теоремы Аполлония как:

{\ displaystyle m_ {a} = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}}

{\ displaystyle m_ {b} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} {4}}}}

{\ displaystyle m_ {c} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}}}

где и - стороны треугольника с соответствующими медианами и от их середин.

{\ displaystyle a, b,}

{\ displaystyle c}

{\ displaystyle m_ {a}, m_ {b},}

{\ displaystyle m_ {c}}

Эти формулы подразумевают отношения:

{\ displaystyle a = {\ frac {2} {3}} {\ sqrt {-m_ {a} ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} = { \ sqrt {2 (b ^ {2} + c ^ {2}) - 4m_ {a} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {2}} - c ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {2}} - b ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} }

{\ displaystyle b = {\ frac {2} {3}} {\ sqrt {-m_ {b} ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} = { \ sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - 4m_ {b} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {a ^ {2}} {2}} - c ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {2}} - a ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}}} }

{\ displaystyle c = {\ frac {2} {3}} {\ sqrt {-m_ {c} ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} = { \ sqrt {2 (b ^ {2} + a ^ {2}) - 4m_ {c} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {2}} - a ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {a ^ {2}} {2}} - b ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}}} .}

Прочие свойства

Пусть ABC - треугольник, G - его центроид, а D , E и F - середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда

{\ Displaystyle PA + PB + PC \ leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}

Центроид делит каждую срединную часть на части в соотношении 2: 1, причем центроид находится в два раза ближе к средней точке стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами и медианами ${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle m_ {a}, m_ {b}, m_ {c},}$

{\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} (a + b + c) <m_ {a} + m_ {b} + m_ {c} <a + b + c \ quad {\ text {и}} \ quad {\ tfrac {3} {4}} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}.}

Медианы из сторон длины и являются перпендикулярны тогда и только тогда , когда ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = 5c ^ {2}.}$

Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой удовлетворяют ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} = 5m_ {c} ^ {2}.}$

Площадь любого треугольника в Т может быть выражена в терминах ее медиан , а также следующим образом . Если обозначить их полусумму , то ${\ displaystyle m_ {a}, m_ {b}}$ ${\ displaystyle m_ {c}}$ ${\ displaystyle \ left (m_ {a} + m_ {b} + m_ {c} \ right) / 2}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle T = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma \ left (\ sigma -m_ {a} \ right) \ left (\ sigma -m_ {b} \ right) \ left ( \ sigma -m_ {c} \ right)}}.}

Тетраэдр

медианы тетраэдра

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {| AS |} {| SS_ {BCD} |}} = {\ frac {| BS |} {| SS_ {ACD} |}} = {\ frac { | CS |} {| SS_ {ABD} |}} \\ = & {\ frac {| DS |} {| SS_ {ABC} |}} = {\ frac {3} {1}} \ end {выровнено} }}

Тетраэдр представляет собой трехмерный объект , имеющий четыре треугольных граней . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Всего четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. Как и в двумерном случае, центром тяжести тетраэдра является центр масс . Однако, в отличие от двумерного случая, центроид делит медианы не в соотношении 2: 1, а в соотношении 3: 1 ( теорема Коммандино ).

Смотрите также

Внешние ссылки

Медианы в разорванном узле
Площадь срединного треугольника в разрезе
Медианы треугольника с интерактивной анимацией
Построение медианы треугольника с помощью анимированной демонстрации циркуля и линейки
Вайсштейн, Эрик В. «Медиана треугольника» . MathWorld .

Languages

In other projects