Математика в средневековом исламе - Mathematics in medieval Islam

Страница из Китаб аль-джебр ва-ль- мукабала по Аль-Хорезми

Математика в Золотой век ислама , особенно в IX и X веках, была основана на греческой математике ( Евклид , Архимед , Аполлоний ) и индийской математике ( Арьябхата , Брахмагупта ). Был достигнут значительный прогресс, такие как полное развитие десятичной системы места, значения для включения десятичной дроби , в первую систематизированную изучения алгебры и достижений в области геометрии и тригонометрии .

Арабские труды сыграли важную роль в передаче математики в Европу в 10–12 веках.

Концепции

«Кубические уравнения и пересечения конических сечений» Омара Хайяма - первая страница двухглавой рукописи, хранящейся в Тегеранском университете.

Алгебра

Изучение алгебры , название которой происходит от арабского слова, означающего завершение или «воссоединение сломанных частей», процветало в золотой век ислама . Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , ученый из Дома мудрости в Багдаде , вместе с греческим математиком Диофантом , известным как отец алгебры. В своей книге «Сборник вычислений путем завершения и балансировки» Аль-Хорезми рассматривает способы решения положительных корней полиномиальных уравнений первой и второй степени (линейных и квадратичных) . Он также вводит метод редукции и, в отличие от Диофанта, дает общие решения для уравнений, с которыми он имеет дело.

Алгебра Аль-Хорезми была риторической, что означает, что уравнения были записаны полными предложениями. Это было непохоже на алгебраические работы Диофанта, которые были синкопированы, что означает использование некоторой символики. Переход к символической алгебре, где используются только символы, можно увидеть в работах Ибн аль-Банна аль-Марракуши и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каладади .

О работе, проделанной Аль-Хорезми, Джей Джей О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон сказали:

«Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в то время с работ аль-Хорезми, а именно с начала алгебры. Важно понимать, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг в сторону от греческая концепция математики, которая по сути была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа , иррациональные числа , геометрические величины и т. д. как "алгебраические объекты". Она дала математике совершенно новый путь развития, гораздо более широкий в концепции к тому, что существовало раньше, и предоставил средство для будущего развития предмета. Другой важный аспект введения алгебраических идей состоял в том, что это позволило применить математику к самой себе так, как не происходило раньше ».

Несколько других математиков того времени расширили алгебру Аль-Хорезми. Абу Камил Шуджа написал книгу по алгебре с геометрическими иллюстрациями и доказательствами. Он также перечислил все возможные решения некоторых своих проблем. Абу аль-Джуд , Омар Хайям вместе с Шараф ад-Дин ат-Туси нашли несколько решений кубического уравнения . Омар Хайям нашел общее геометрическое решение кубического уравнения.

Кубические уравнения

Чтобы решить уравнение третьей степени x 3  +  a 2 x  =  b, Хайям построил параболу x 2  =  ay , круг диаметром b / a 2 и вертикальную линию, проходящую через точку пересечения. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси x .

Омар Хайям (ок. 1038/48 в Иране - 1123/24) написал « Трактат о демонстрации проблем алгебры», содержащий систематическое решение кубических уравнений или уравнений третьего порядка , выходящих за рамки алгебры аль-Хваризми. Хайям получил решения этих уравнений, найдя точки пересечения двух конических сечений . Этот метод использовался греками, но они не обобщили его, чтобы покрыть все уравнения с положительными корнями .

Шараф ад-Дин аль-Хуси (? В Тусе, Иран - 1213/4) разработал новый подход к исследованию кубических уравнений - подход, который заключался в нахождении точки, в которой кубический многочлен достигает своего максимального значения. Например, чтобы решить уравнение с положительными значениями a и b , он мог бы отметить, что максимальная точка кривой находится в точке , и что уравнение не будет иметь решений, одно решение или два решения, в зависимости от того, будет ли высота кривой в этот момент было меньше, равно или больше a . Его сохранившиеся работы не дают никаких указаний на то, как он открыл свои формулы для максимумов этих кривых. Были предложены различные предположения, объясняющие их открытие.

Индукция

Самые ранние неявные следы математической индукции можно найти в доказательстве Евклида , что число простых чисел бесконечно (около 300 г. до н. Э.). Первая явная формулировка принципа индукции была дана Паскалем в его « Арифметическом треугольнике» (1665).

Между тем, неявное доказательство индукцией для арифметических последовательностей было введено аль-Караджи (ок. 1000 г.) и продолжено аль-Самав'алом , который использовал его для частных случаев биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля .

Иррациональные числа

Греки открыли иррациональные числа , но не были ими довольны и могли справиться с ними, только проводя различие между величиной и числом . С греческой точки зрения, величины изменялись непрерывно и могли использоваться для таких объектов, как линейные сегменты, тогда как числа были дискретными. Следовательно, с иррациональными можно обращаться только геометрически; и действительно, греческая математика была в основном геометрической. Исламские математики, в том числе Абу Камил Шуджах ибн Аслам и Ибн Тахир аль-Багдади, постепенно устранили различие между величиной и числом, позволяя иррациональным величинам появляться как коэффициенты в уравнениях и быть решениями алгебраических уравнений. Они свободно работали с иррациональными объектами как математическими объектами, но не исследовали внимательно их природу.

В двенадцатом веке, латинские переводы Аль-Хорезми «s арифметике на индийских цифр ввел десятичную систему позиционного номера в западном мире . Его сборная книга по расчетам путем завершения и балансировки представила первое систематическое решение линейных и квадратных уравнений . В Европе эпохи Возрождения он считался изобретателем алгебры, хотя теперь известно, что его работа основана на более ранних индийских или греческих источниках. Он пересмотрел « Географию» Птолемея и написал по астрономии и астрологии. Однако CA Nallino предполагает, что оригинальная работа аль-Хорезми была основана не на Птолемеях, а на производной карте мира, предположительно на сирийском или арабском языках .

Сферическая тригонометрия

Сферический закон синусов был открыт в 10 веке: его по-разному приписывали Абу-Махмуду Ходжанди , Насир ад-Дин ат-Туси и Абу Наср Мансур , а также Абу аль-Вафа 'Бузджани . Книга Ибн Мухада аль-Джайяни « Книга неизвестных дуг сферы в 11 веке» ввела общий закон синусов. Плоский закон синусов был описан в XIII веке Насиром ад-Дин ат-Туси . В своей «Секторной диаграмме» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и представил доказательства этого закона.

Отрицательные числа

В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. Аль-Хорезми не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. Но за пятьдесят лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для увеличения умножения . Аль-Караджи написал в своей книге « Аль-Фахри», что «отрицательные количества должны считаться терминами». В X веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» .

К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиальных делений . Как пишет ас-Самаваль :

произведение отрицательного числа - al-nāqiṣ - на положительное число - al-zāid - отрицательно, а на отрицательное число положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разницей. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного, остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет таким же положительным числом.

Двойная ложная позиция

Между 9-м и 10-м веками египетский математик Абу Камил написал ныне утерянный трактат об использовании двойного ложного положения, известный как Книга двух ошибок ( Китаб аль-хатанайн ). Самая старая из сохранившихся письменных работ о двойной ложной позиции с Ближнего Востока - это Куста ибн Лука (10 век), арабский математик из Баальбека , Ливан . Он обосновал эту технику формальным геометрическим доказательством в евклидовом стиле . В традициях средневековой мусульманской математики двойная ложная позиция была известна как хисаб аль-хатанайн («расчет двумя ошибками»). Он веками использовался для решения практических задач, таких как коммерческие и юридические вопросы (раздел поместья в соответствии с правилами наследования Корана ), а также чисто рекреационных проблем. Алгоритм часто запоминался с помощью мнемоники , такой как стих, приписываемый Ибн аль-Ясамину, и диаграммы баланса, объясненные аль-Хассаром и Ибн аль-Банной , которые были математиками марокканского происхождения.

Другие важные фигуры

Салли П. Рагеп, историк ислама, оценила в 2019 году, что «десятки тысяч» арабских рукописей по математическим наукам и философии остаются непрочитанными, что дает исследования, которые «отражают индивидуальные предубеждения и ограниченное внимание к относительно небольшому количеству текстов и ученые ».

Галерея

Смотрите также

использованная литература

Источники

дальнейшее чтение

Книги по исламской математике
  • Берггрен, Дж. Леннарт (1986). Эпизоды в математике средневекового ислама . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96318-9.
  • Даффа, Али Абдулла аль- (1977). Вклад мусульман в математику . Лондон: Крум Хелм. ISBN 0-85664-464-1.
  • Ронан, Колин А. (1983). Кембриджская иллюстрированная история мировой науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-25844-8.
  • Рашед, Рошди (2001). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Перевод AFW Armstrong. Springer. ISBN 0-7923-2565-6.
  • Ющкевич, Адольф П .; Розенфельд, Борис А. (1960). Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter . Берлин. Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft, стр. 62–160.
  • Ющкевич, Адольф П. (1976). Les mathématiques arabes: VIII e –XV e siècles . перевод М. Казенаве и К. Жауиша. Париж: Врин. ISBN 978-2-7116-0734-1.
Главы книг по исламской математике
Книги по исламской науке
  • Даффа, Али Абдулла аль-; Стройлс, Дж. Дж. (1984). Исследования в области точных наук в средневековом исламе . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-90320-5.
  • Кеннеди, ES (1984). Исследования в области точных исламских наук . Syracuse Univ Press. ISBN 0-8156-6067-7.
Книги по истории математики
Журнальные статьи по исламской математике
Библиографии и биографии
  • Брокельманн, Карл . Geschichte der Arabischen Litteratur . 1. – 2. Band, 1. – 3. Дополнение. Берлин: Эмиль Фишер, 1898, 1902; Лейден: Брилл, 1937, 1938, 1942.
  • Санчес Перес, Хосе А. (1921). Biografías de Matemáticos Árabes que florecieron en España . Мадрид: Эстанислао Маэстре.
  • Сезгин, Фуат (1997). Geschichte Des Arabischen Schrifttums (на немецком языке). Brill Academic Publishers. ISBN 90-04-02007-1.
  • Сутер, Генрих (1900). Die Mathematiker und Astronomen der Araber und Ihre Werke . Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen, X Heft. Лейпциг.
Телевизионные документальные фильмы

внешние ссылки