Философия математики - Philosophy of mathematics

Философии математики является филиалом по философии , изучающей предположения, фонды и последствия математики . Его цель - понять природу и методы математики, а также выяснить место математики в жизни людей. Логическая и структурная природа самой математики делает это исследование широким и уникальным среди его философских аналогов.

История

Происхождение математики является предметом споров и разногласий. Было ли рождение математики случайным событием или вызвано необходимостью в процессе развития других предметов, таких как физика, все еще является предметом активных споров.

Многие мыслители внесли свои идеи относительно природы математики. Сегодня некоторые философы математики стремятся дать отчет об этой форме исследования и его продуктах в том виде, в каком они есть, в то время как другие подчеркивают роль самих себя, которая выходит за рамки простой интерпретации до критического анализа. Традиции математической философии существуют как в западной, так и в восточной философии . Западная философия математики восходит к Пифагору , который описал теорию «все есть математика» ( математика ), Платону , который перефразировал Пифагора и изучал онтологический статус математических объектов, и Аристотелю , который изучал логику и вопросы, связанные с бесконечностью. (фактическое против потенциального).

Греческая философия математики находилась под сильным влиянием их изучения геометрии . Например, в свое время греки придерживались мнения, что 1 (единица) - это не число , а, скорее, единица произвольной длины. Число было определено как множество. Таким образом, число 3, например, представляет собой определенное множество единиц и, таким образом, не является «истинным» числом. В другом месте был выдвинут аналогичный аргумент, что 2 - это не число, а фундаментальное понятие пары. Эти взгляды исходят из сильно геометрической точки зрения греков - прямолинейного края и компаса: точно так же, как линии, нарисованные в геометрической задаче, измеряются пропорционально первой произвольно проведенной линии, точно так же числа на числовой прямой измеряются пропорционально на произвольное первое «число» или «единицу».

Эти более ранние греческие представления о числах позже были опровергнуты открытием иррациональности квадратного корня из двух. Гиппас , ученик Пифагора , показал, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его (единичной длиной) ребром: другими словами, он доказал, что не существует (рационального) числа, которое точно отображало бы пропорцию диагонали единицы. квадрат к его краю. Это вызвало значительную переоценку греческой философии математики. Согласно легенде, пифагорейцы были настолько травмированы этим открытием, что убили Гиппаса, чтобы помешать ему распространять свою еретическую идею. Симон Стевин был одним из первых в Европе, кто бросил вызов греческим идеям в 16 веке. Начиная с Лейбница , акцент сильно сместился на отношения между математикой и логикой. Эта точка зрения доминировала в философии математики во времена Фреге и Рассела , но была поставлена под сомнение развитием событий в конце 19-го и начале 20-го веков.

Современная философия

Неизменный вопрос философии математики касается взаимоотношений между логикой и математикой в их общих основаниях. В то время как философы двадцатого века продолжали задавать вопросы , упомянутые в начале этой статьи, философия математики в 20 - м веке характеризуется преимущественным интересом к формальной логике , теории множеств (как наивная теория множеств и аксиомой теории множеств ), и фундаментальные вопросы.

Это глубокая загадка, заключающаяся в том, что, с одной стороны, математические истины кажутся неотвратимыми, но, с другой стороны, источник их «истинности» остается неуловимым. Исследования по этому вопросу известны как основы математической программы.

В начале 20-го века философы математики уже начали делиться на различные школы мысли по всем этим вопросам, широко отличавшиеся своими картинами математической эпистемологии и онтологии . В это время возникли три школы: формализм , интуиционизм и логицизм , отчасти в ответ на все более широко распространенное беспокойство по поводу того, что математика в ее нынешнем виде, и анализ в частности, не соответствует стандартам достоверности и строгости , которые считались очевидными. предоставляется. Каждая школа решала проблемы, которые выдвигались на первый план в то время, либо пытаясь их решить, либо утверждая, что математика не имеет права на статус нашего знания, которому доверяют.

Неожиданные и противоречащие интуиции разработки формальной логики и теории множеств в начале 20 века привели к новым вопросам, касающимся того, что традиционно называлось основами математики . По мере развертывания века первоначальный фокус внимания расширился на открытое исследование фундаментальных аксиом математики, причем аксиоматический подход считался само собой разумеющимся со времен Евклида около 300 г. до н.э. в качестве естественной основы математики. Были формализованы понятия аксиомы , предложения и доказательства , а также понятие истинности предложения по отношению к математическому объекту (см. Назначение ), что позволило рассматривать их математически. В Цермело-Френкеля Аксиомы теории множеств были сформулированы , которые предусмотрены концептуальные рамки , в которых много математический дискурс будет истолковано. В математике, как и в физике, возникли новые и неожиданные идеи, и грядут значительные изменения. С помощью нумерации Гёделя предложения можно интерпретировать как относящиеся к себе или другим предложениям, что позволяет исследовать непротиворечивость математических теорий. Эта рефлексивная критика, в которой рассматриваемая теория «сама становится объектом математического исследования», побудила Гильберта называть такое исследование метаматематикой или теорией доказательств .

В середине века Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном была создана новая математическая теория , известная как теория категорий , и она стала новым претендентом на естественный язык математического мышления. Однако по мере развития 20-го века философские мнения расходились относительно того, насколько обоснованными были вопросы об основах, которые были подняты в начале века. Хилари Патнэм резюмировала один общий взгляд на ситуацию в последней трети века, сказав:

Когда философия обнаруживает, что с наукой что-то не так, иногда науку приходится менять - вспоминается парадокс Рассела , как и атака Беркли на действительное бесконечно малое, - но чаще всего приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, с которыми сегодня сталкивается философия в отношении классической математики, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают повсюду, ошибочны, и что «философская интерпретация» - это как раз то, в чем математика не нуждается.

Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям, исследуемым философами математики, логиками и математиками, и существует множество философских школ по этому вопросу. В следующем разделе школы рассматриваются отдельно, а их предположения объясняются.

Основные темы

Математический реализм

Математический реализм , как и реализм в целом, утверждает, что математические объекты существуют независимо от человеческого разума . Таким образом, люди не изобретают математику, а, скорее, открывают ее, и любые другие разумные существа во Вселенной предположительно поступили бы так же. С этой точки зрения, действительно существует один вид математики, который можно открыть; Например, треугольники - это реальные сущности, а не творения человеческого разума.

Многие работающие математики были математическими реалистами; они видят себя первооткрывателями естественных объектов. Примеры включают Пауля Эрдёша и Курта Гёделя . Гёдель верил в объективную математическую реальность, которую можно было бы воспринимать аналогично чувственному восприятию. Некоторые принципы (например, для любых двух объектов существует совокупность объектов, состоящая именно из этих двух объектов) могут быть непосредственно рассмотрены как истинные, но гипотеза гипотезы континуума может оказаться неразрешимой только на основе таких принципов. Гёдель предположил, что квазиэмпирическая методология может быть использована для получения достаточных доказательств, позволяющих обоснованно предположить такое предположение.

В рамках реализма существуют различия, зависящие от того, какой тип существования предполагает наличие математических сущностей и как мы о них знаем. Основные формы математического реализма включают платонизм и аристотелизм .

Математический антиреализм

Математический антиреализм обычно считает, что математические утверждения имеют истинностные значения, но они не делают этого за счет соответствия особой области нематериальных или неэмпирических сущностей. Основные формы математического антиреализма включают формализм и беллетристику .

Современные школы мысли

Художественный

Точка зрения, которая утверждает, что математика - это эстетическое сочетание допущений, а также утверждает, что математика - это искусство . Известный математик, который утверждает, что это британец Дж. Х. Харди, а также, образно говоря, француз Анри Пуанкаре . Для Харди в его книге «Апология математика» определение математики больше походило на эстетическое сочетание понятий.

Платонизм

Математический платонизм - это форма реализма, которая предполагает, что математические объекты абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств, вечны и неизменны. Часто утверждают, что это мнение большинства людей о числах. Термин платонизм используется потому , что такая точка зрения видится параллельно Plato «s Теория форм и„Мир идей“(греч эйдос (εἶδος)) , описанный в платоновской аллегории пещеры : повседневный мир может только несовершенно аппроксимировать неизменная, абсолютная реальность. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не только поверхностные связи, потому что идеям Платона предшествовали и, вероятно, оказали влияние чрезвычайно популярные пифагорейцы Древней Греции, которые считали, что мир буквально создан числами .

Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме: где именно и как существуют математические сущности и как мы о них узнаем? Есть ли мир, полностью отделенный от нашего физического, занятый математическими объектами? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать правду о сущностях? Один из предлагаемых ответов - это Ultimate Ensemble , теория, которая постулирует, что все структуры, которые существуют математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.

Курт Гёдель

Платонизм Курта Гёделя постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам воспринимать математические объекты напрямую. (Этот взгляд имеет сходство со многими вещами, которые Гуссерль сказал о математике, и поддерживает идею Канта о том, что математика является синтетической a priori .) Дэвис и Херш предположили в своей книге «Математический опыт» 1999 года, что большинство математиков действуют так, как будто они платоники, даже если они. однако, если их заставят тщательно отстаивать свою позицию, они могут отступить к формализму . Математик Александр Гротендик тоже был платоником.

Полнокровный платонизм - это современный вариант платонизма, который является реакцией на тот факт, что можно доказать существование различных наборов математических сущностей в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закона исключенного третьего и аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические сущности существуют. Они могут быть доказуемыми, даже если все они не могут быть выведены из единого непротиворечивого набора аксиом.

Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм ) - позиция, которую отстаивает Пенелопа Мэдди , - это точка зрения, согласно которой теория множеств - это единая вселенная множеств. Это положение (которое также известно как натурализованный платонизм , потому что это натурализоваться версия математического платонизма) была подвергнута критике Марк Балагером на основе Павла Бенасерраф «s гносеологической проблемы . Подобный взгляд, названный платонизированным натурализмом , позже был защищен школой Стэнфорд-Эдмонтон : согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма согласуется с натурализмом ; защищаемый ими более традиционный вид платонизма отличается общими принципами, утверждающими существование абстрактных объектов .

Математика

Тегмарк «s математическая гипотеза Вселенной (или mathematicism ) идет дальше , чем платонизм, утверждая , что не только существуют все математические объекты, но ничего не делает. Единственный постулат Тегмарка: все структуры, которые существуют математически, существуют и физически . То есть в том смысле, что «в тех [мирах], достаточно сложных, чтобы содержать самосознающие субструктуры [они] будут субъективно воспринимать себя как существующие в физически« реальном »мире».

Логика

Логицизм - это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, не что иное, как часть логики. Логики считают, что математику можно познать априори , но предполагают, что наши знания математики являются лишь частью наших знаний логики в целом и, таким образом, являются аналитическими , не требующими какой-либо особой способности математической интуиции. С этой точки зрения логика - это надлежащая основа математики, и все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами .

Рудольф Карнап (1931) представляет логицистский тезис в двух частях:

В концепции математики может быть получена из логических понятий через явные определения.
В теоремы математики можно вывести из логических аксиом через чисто логический вывод.

Готлоб Фреге был основателем логицизма. В своей основополагающей работе Die Grundgesetze der Arithmetik ( Основные законы арифметики ) он построил арифметику из системы логики с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для концепций F и G расширение F равно расширение G тогда и только тогда , когда для всех объектов , Fa равняется Ga ), принцип , который он принял , чтобы быть приемлемым в рамках логики.

Бертран Рассел

Конструкция Фреге была ошибочной. Бертран Рассел обнаружил, что Основной закон V непоследователен (это парадокс Рассела ). Вскоре после этого Фреге отказался от своей логической программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед . Они приписали парадокс «порочной замкнутости» и создали то, что они назвали теорией разветвленных типов, чтобы справиться с этим. В этой системе они в конечном итоге смогли создать большую часть современной математики, но в измененной и чрезмерно сложной форме (например, в каждом типе были разные натуральные числа, а типов было бесконечно много). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы развить так много математики, например, « аксиому сводимости ». Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.

Современные логики (такие как Боб Хейл , Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как принцип Юма (количество объектов, подпадающих под концепцию F, равно количеству объектов, подпадающих под концепцию G, тогда и только тогда, когда расширение F и расширение G могут быть поставить во взаимно-однозначную переписку ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Этого было бы недостаточно для Фреге, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять для замены Основного закона V, больше не кажутся столь явно аналитическими и, следовательно, чисто логическими.

Формализм

Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипуляции строками. Например, в «игре» евклидовой геометрии (которая рассматривается как состоящая из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для генерации новых строк из заданных), можно доказать, что теорема Пифагора верна ( то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не касаются чисел, множеств, треугольников и тому подобного - фактически, они вообще ни о чем не «ни о чем».

Другая версия формализма часто известна как дедуктивизм . В дедуктивизме теорема Пифагора - это не абсолютная истина, а относительная истина: если приписать значение строкам таким образом, чтобы правила игры стали истинными (т. Е. Истинные утверждения приписываются аксиомам и правилам умозаключения сохраняют истину), то нужно принять теорему или, скорее, дать ей интерпретацию, которая должна быть истинным утверждением. То же самое верно и для всех других математических утверждений. Таким образом, формализм не обязательно означает, что математика - не более чем бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некоторая интерпретация правил игры. (Сравните эту позицию со структурализмом .) Но она позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставляет такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике изучаемые системы аксиом будут подсказаны требованиями науки или других областей математики.

Дэвид Гильберт

Основным ранним сторонником формализма был Дэвид Гильберт , программа которого была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой. Цели Гильберта по созданию системы математики, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой, были серьезно подорваны второй из теорем Гёделя о неполноте , которая гласит, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом будет содержать финитарную арифметику в качестве подсистемы, теорема Гёделя подразумевала, что было бы невозможно доказать непротиворечивость системы относительно этого (поскольку тогда она докажет свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, было невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любая аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечива, нужно сначала предположить непротиворечивость математической системы, которая в некотором смысле сильнее, чем система, непротиворечивость которой должна быть доказана.

Первоначально Гильберт был дедуктивистом, но, как может быть ясно из вышеизложенного, он считал определенные метаматематические методы приносящими по существу значимые результаты и был реалистом в отношении финитарной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики не существует, независимо от интерпретации.

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , Альфред Тарский и Хаскелл Карри , считали математику исследованием формальных систем аксиом . Математические логики изучают формальные системы, но они столь же часто реалисты, как и формалисты.

Формалисты относительно терпимы и открыты для новых подходов к логике, нестандартных систем счисления, новых теорий множеств и т. Д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех этих примерах мотивация проистекает из существующих математических или философских проблем. «Игры» обычно не бывают произвольными.

Основная критика формализма состоит в том, что актуальные математические идеи, которыми занимаются математики, далеки от упомянутых выше игр с манипуляциями со строками. Таким образом, формализм умалчивает о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку с формалистической точки зрения ни одна из них не является более значимой, чем другая.

Недавно некоторые математики-формалисты предложили систематически кодировать все наши формальные математические знания в машиночитаемых форматах, чтобы облегчить автоматическую проверку математических доказательств и использование интерактивного доказательства теорем при разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. . Из-за их тесной связи с информатикой эта идея также поддерживается математическими интуиционистами и конструктивистами в традиции «вычислимости» - общий обзор см. В проекте QED .

Конвенционализм

Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалистскую точку зрения. Использование Пуанкаре неевклидовой геометрии в его работе над дифференциальными уравнениями убедило его в том, что евклидову геометрию не следует рассматривать как априорную истину. Он считал, что аксиомы в геометрии должны выбираться исходя из результатов, которые они производят, а не из-за их очевидной согласованности с интуицией человека о физическом мире.

Интуиционизм

В математике интуиционизм - это программа методологической реформы, девиз которой состоит в том, что «не существует неопытных математических истин» ( LEJ Brouwer ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправляемой частью математики, в соответствии с кантианскими концепциями бытия, становления, интуиции и знания. Брауэр, основатель движения, считал, что математические объекты возникают из априорных форм воли, которые определяют восприятие эмпирических объектов.

Главной силой интуиционизма был Л. Дж. Брауэр , который отверг полезность формализованной логики любого рода для математики. Его ученица Аренд Гейтинг постулировала интуиционистскую логику , отличную от классической аристотелевской логики ; эта логика не содержит закона исключенного третьего и, следовательно, осуждает доказательства противоречиями . Аксиома также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях принята.

В интуиционизме термин «явное построение» не имеет четкого определения, что вызвало критику. Были предприняты попытки использовать концепции машины Тьюринга или вычислимой функции, чтобы заполнить этот пробел, что привело к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов, имеют смысл и должны исследоваться в математике. Это привело к изучению вычислимых чисел , впервые введенных Аланом Тьюрингом . Неудивительно, что такой подход к математике иногда ассоциируется с теоретической информатикой .

Конструктивизм

Подобно интуиционизму, конструктивизм включает регулирующий принцип, согласно которому в математический дискурс должны допускаться только математические объекты, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика - это проявление человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Напротив, речь идет о сущностях, которые мы можем создавать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как доказательство от противоречия. Важная работа была проделана Эрретом Бишопом , которому удалось доказать версии наиболее важных теорем реального анализа в качестве конструктивного анализа в его Основах конструктивного анализа 1967 года .

Финитизм

Леопольд Кронекер

Финитизм - это крайняя форма конструктивизма , согласно которой математический объект не существует, если он не может быть построен из натуральных чисел за конечное число шагов. В своей книге Философии теории множеств , Мэри Плитка характеризуется тем , кто позволяет счетно бесконечные объекты как классические finitists, а те , кто отрицает даже счетно бесконечные объекты как строгое finitists.

Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер , который сказал:

Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человека.

Ультрафинитизм - это еще более крайняя версия конечности, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с помощью имеющихся ресурсов. Другой вариант финитизма - евклидова арифметика, система, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств» . Система Мейберри в целом вдохновлена Аристотелем, и, несмотря на его решительное неприятие какой-либо роли операционализма или осуществимости в основах математики, приходит к в некоторой степени схожим выводам, таким как, например, что супер-возведение в степень не является законной финитальной функцией.

Структурализм

Структурализм - это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры и что математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах, следовательно, не имеют внутренних свойств . Например, он будет утверждать, что все, что нужно знать о числе 1, - это то, что это первое целое число после 0. Подобным образом все другие целые числа определяются их местами в структуре, числовой строке . Другие примеры математических объектов могут включать в себя линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .

Структурализм - это эпистемологически реалистичный взгляд на то, что он утверждает, что математические утверждения имеют ценность объективной истинности. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какое существование имеют математические объекты или структуры (иными словами, не к их онтологии ). Вид существования математических объектов, очевидно, будет зависеть от структур, в которые они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают разные онтологические утверждения в этом отношении.

Структурализм ante rem («до вещи») имеет онтологию, аналогичную платонизму . Считается, что структуры имеют реальное, но абстрактное и нематериальное существование. Таким образом, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см . Проблему идентификации Бенацеррафа ).

В ре структурализм ( «в вещь») является эквивалентом Aristotelean реализма . Считается, что структуры существуют постольку, поскольку их иллюстрирует некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может быть недостаточно «большим», чтобы приспособиться к некоторым в остальном легитимным структурам.

После рем структурализм ( «после того , как вещь») является анти-реалист о структурах в пути , который параллелен номинализм . Подобно номинализму, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно для структуры, это будет верно для всех систем, иллюстрирующих эту структуру. Однако говорить о структурах, «общих» между системами, - это просто инструмент: на самом деле они не существуют независимо.

Теории воплощенного разума

Теории воплощенного разума утверждают, что математическое мышление является естественным результатом человеческого когнитивного аппарата, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактное понятие числа проистекает из опыта подсчета дискретных объектов. Считается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме как в человеческом мозгу. Люди конструируют, но не открывают математику.

Таким образом, с этой точки зрения физическая вселенная может рассматриваться как окончательная основа математики: она направляла эволюцию мозга и позже определяла, какие вопросы этот мозг сочтет заслуживающими исследования. Однако человеческий разум не претендует на реальность или подходы к ней, основанные на математике. Если такие конструкции, как личность Эйлера, верны, то они верны как карта человеческого разума и познания .

Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики - математика была создана мозгом для того, чтобы быть эффективной в этой вселенной.

Наиболее доступная, известная и печально известная трактовка этой точки зрения - это « Откуда приходит математика » Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса . Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал аналогичные концепции в своей книге «Математический инстинкт» , равно как и нейробиолог Станислас Дехайн в своей книге «Чувство числа» . Для получения дополнительной информации о философских идеях, которые вдохновили эту точку зрения, см. Когнитивную математику .

Аристотелевский реализм

Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может быть). Он контрастирует с платонизмом в утверждении, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении кучи попугаев и универсального «быть попугаем», которое делит кучу на такое количество попугаев. Аристотелевский реализм защищен Джеймсом Франклином и Сиднейской школой в философии математики и близок к точке зрения Пенелопы Мэдди, согласно которой при открытии коробки для яиц воспринимается набор из трех яиц (то есть математическая сущность, реализованная в Физический мир). Проблема для аристотелевского реализма состоит в том, как объяснить высшие бесконечности, которые могут быть неосуществимы в физическом мире.

Евклидова арифметика, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств», также относится к аристотелевской реалистической традиции. Мэйберри вслед за Евклидом считает числа просто «определенным множеством единиц», реализованных в природе, например «членами Лондонского симфонического оркестра» или «деревьями в Бирнамском лесу». Существуют ли определенные множества единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше, чем часть) не соответствует действительности и которые, следовательно, могут считаться бесконечными, для Мэйберри по существу является вопросом природы и не влечет за собой никаких трансцендентных предположений.

Психологизм

Психологизм в философии математики - это позиция, согласно которой математические концепции и / или истины основаны на психологических фактах (или законах) или объясняются ими.

Джон Стюарт Милль, кажется, был сторонником логического психологизма, как и многие немецкие логики XIX века, такие как Зигварт и Эрдманн, а также ряд психологов прошлого и настоящего: например, Гюстав Ле Бон . Психологизм лихо критика Фрег в его Основах арифметики , и многие из его работ и эссе, в том числе его обзора Гуссерля «s Философии арифметики . Эдмунд Гуссерль в первом томе своих « Логических исследований» , названном «Пролегомены чистой логики», подверг серьезной критике психологизм и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и полным опровержением психологизма, чем критика Фреге, а также сегодня многие считают его памятным опровержением его решающего удара по психологизму. Психологизм также подвергался критике со стороны Чарльза Сандерса Пирса и Мориса Мерло-Понти .

Эмпиризм

Математический эмпиризм - это форма реализма, которая отрицает, что математика вообще может быть известна априори . Он говорит, что мы открываем математические факты путем эмпирических исследований , как и факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20 века, но возникла в основном в середине века. Однако одним из первых сторонников такой точки зрения был Джон Стюарт Милль . Точка зрения Милля подверглась широкой критике, поскольку, по мнению критиков, таких как А.Дж. Айер, из нее утверждения типа «2 + 2 = 4» выглядят неопределенными, случайными истинами, которые мы можем узнать, только наблюдая примеры объединения двух пар и формируя квартет.

Современный математический эмпиризм, сформулированный В.В.О. Куайном и Хилари Патнэм , в первую очередь поддерживается аргументом незаменимости : математика необходима всем эмпирическим наукам, и если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы также должны верить в реальность тех сущностей, которые требуются для этого описания. То есть, поскольку физика должна говорить об электронах, чтобы объяснить, почему лампочки ведут себя именно так, электроны должны существовать . Поскольку физика должна говорить о числах, предлагая любое из своих объяснений, числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма, это натуралистический аргумент. Он утверждает, что существование математических сущностей является лучшим объяснением опыта, тем самым лишая математику отличия от других наук.

Патнэм категорически отверг термин « платоник » как подразумевающий чрезмерно специфическую онтологию, которая не была необходима для математической практики в каком-либо реальном смысле. Он защищал форму «чистого реализма», которая отвергала мистические представления об истине и принимала много квазиэмпиризма в математике . Это выросло из все более популярного в конце 20 века утверждения о том, что ни одно основание математики не может быть доказано. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя одни считают этот термин перегруженным, а другие оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что, проводя свои исследования, математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность от заключения к предпосылкам точно так же, как он может передавать истину от посылок к заключению. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, вполне может полагаться в первую очередь на квазиэмпирические методы, часто желая отказываться от строгих и аксиоматических доказательств и все же заниматься математикой - возможно, с несколько большим риском провала своих вычислений. Он подробно аргументировал это в « Новых направлениях» . Квазиэмпиризм также был разработан Имре Лакатошем .

Самая важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как критика Милля. Если математика так же эмпирическа, как и другие науки, то это говорит о том, что ее результаты так же подвержены ошибкам, как и их, и столь же случайны. В случае Милля эмпирическое обоснование приходит напрямую, в то время как в случае Куайна оно приходит косвенно, через согласованность нашей научной теории в целом, то есть согласованность после Э. О. Уилсона . Куайн предполагает, что математика кажется полностью определенной, потому что роль, которую она играет в нашей сети убеждений, чрезвычайно важна, и что нам было бы чрезвычайно трудно ее пересмотреть, хотя и возможно.

О философии математики, которая пытается преодолеть некоторые недостатки подходов Куайна и Гёделя, принимая аспекты каждого из них, см. « Реализм в математике» Пенелопы Мэдди . Другой пример реалистической теории - теория воплощенного разума .

Экспериментальные доказательства того, что человеческие младенцы могут выполнять элементарную арифметику, см. У Брайана Баттерворта .

Художественная литература

Математический фикционализм стал известен в 1980 году, когда Хартри Филд опубликовал « Науку без чисел» , в которой отверг и фактически полностью перевернул аргумент Куайна о незаменимости. Там, где Куайн предположил, что математика необходима для наших лучших научных теорий и, следовательно, должна быть принята как совокупность истин, говорящих о независимо существующих сущностях, Филд предположил, что математика необязательна и, следовательно, должна рассматриваться как совокупность лжи, не говорящая ни о чем. настоящий. Он сделал это, дав полную аксиоматизацию механики Ньютона без каких-либо ссылок на числа или функции. Он начал с «промежуточности» аксиом Гильберта, чтобы охарактеризовать пространство без его координации, а затем добавил дополнительные отношения между точками, чтобы выполнить работу, ранее выполнявшуюся векторными полями . Геометрия Гильберта является математической, потому что она говорит об абстрактных точках, но в теории Филда эти точки являются конкретными точками физического пространства, поэтому никаких специальных математических объектов не требуется.

Показав, как заниматься наукой без использования чисел, Филд начал реабилитировать математику как своего рода полезную фантастику . Он показал, что математическая физика является консервативным расширением его нематематической физики (то есть каждый физический факт, доказываемый в математической физике, уже доказуем с помощью системы Филда), так что математика - это надежный процесс, все физические приложения которого верны, даже если его собственные утверждения ложны. Таким образом, занимаясь математикой, мы можем представить себя рассказывающим своего рода историю, говорящим так, как будто числа существуют. Для Филда утверждение вроде «2 + 2 = 4» так же вымышлено, как « Шерлок Холмс жил на Бейкер-стрит, 221В», но оба они верны согласно соответствующим вымыслам.

Таким образом, для математики нет особых метафизических или эпистемологических проблем. Осталось только беспокоиться о нематематической физике и о художественной литературе в целом. Подход Филда оказал большое влияние, но получил широкое признание. Частично это связано с требованием сильных фрагментов логики второго порядка для выполнения его редукции, а также потому, что утверждение о консервативности, по-видимому, требует количественной оценки по абстрактным моделям или выводам.

Социальный конструктивизм

Социальный конструктивизм рассматривает математику в первую очередь как социальную конструкцию , как продукт культуры, подлежащий исправлению и изменению. Как и другие науки, математика рассматривается как эмпирическое занятие, результаты которого постоянно оцениваются и могут быть отброшены. Однако, хотя с точки зрения эмпириков оценка представляет собой своего рода сравнение с «реальностью», социальные конструктивисты подчеркивают, что направление математических исследований продиктовано модой социальной группы, выполняющей их, или потребностями финансирующего их общества. Однако, хотя такие внешние силы могут изменить направление некоторых математических исследований, существуют сильные внутренние ограничения - математические традиции, методы, проблемы, значения и ценности, которыми увлечены математики, - которые работают на сохранение исторически определенной дисциплины.

Это противоречит традиционным убеждениям работающих математиков, что математика каким-то образом чиста или объективна. Но социальные конструктивисты утверждают, что математика на самом деле основана на большой неопределенности: по мере развития математической практики статус предыдущей математики ставится под сомнение и корректируется в той степени, в которой этого требует или желает нынешнее математическое сообщество. Это можно увидеть в развитии анализа после пересмотра исчислений Лейбница и Ньютона. Далее они утверждают, что законченной математике часто придается слишком высокий статус, а народной математике - недостаточно из-за чрезмерного упора на аксиоматическое доказательство и экспертную оценку как на практику.

Социальная природа математики подчеркивается в ее субкультурах . Крупные открытия могут быть сделаны в одной области математики и иметь отношение к другой, но взаимосвязь остается нераскрытой из-за отсутствия социальных контактов между математиками. Социальные конструктивисты утверждают, что каждая специальность формирует собственное эпистемологическое сообщество и часто испытывает большие трудности с сообщением или мотивацией исследования объединяющих предположений, которые могут относиться к различным областям математики. Социальные конструктивисты рассматривают процесс «математических вычислений» как фактическое создание смысла, в то время как соцреалисты видят недостаток либо способности человека к абстракции, либо когнитивной предвзятости человека , либо коллективного интеллекта математиков как препятствие пониманию реальной вселенной. математические объекты. Социальные конструктивисты иногда отвергают поиск основ математики как обреченный на провал, как бессмысленный или даже бессмысленный.

Свой вклад в эту школу внесли Имре Лакатос и Томас Тимочко , хотя неясно, поддержат ли они это название. Совсем недавно Пол Эрнест ясно сформулировал социальную конструктивистскую философию математики. Некоторые считают, что работа Пола Эрдёша в целом продвинула эту точку зрения (хотя он лично отверг ее) из-за его уникально широкого сотрудничества, которое побудило других рассматривать и изучать «математику как социальную деятельность», например, с помощью числа Эрдёша. . Рубен Херш также продвигал социальный взгляд на математику, называя его «гуманистическим» подходом, похожим, но не совсем таким же, как у Элвина Уайта; один из соавторов Херша, Филип Дж. Дэвис , также выразил симпатию к социальной точке зрения.

Помимо традиционных школ

Неоправданная эффективность

Вместо того, чтобы сосредоточиться на узких дебатах об истинной природе математической истины или даже на практиках, уникальных для математиков, таких как доказательство , растущее движение с 1960-х по 1990-е годы начало подвергать сомнению идею поиска основ или поиска любого единственного правильного ответа на почему математика работает. Отправной точкой для этого была знаменитая статья Юджина Вигнера 1960 года « Неоправданная эффективность математики в естественных науках », в которой он утверждал, что счастливое совпадение математики и физики, столь хорошо согласованных, кажется необоснованным и трудно объяснимым.

Два смысла числовых утверждений Поппера

Теории реализма и конструктивизма обычно считаются противоположными. Однако Карл Поппер утверждал, что такое числовое выражение, как «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока», можно понимать в двух смыслах. В каком-то смысле это неопровержимо и логически верно. Во втором смысле это действительно правда и опровергается. Другой способ сформулировать это - сказать, что одно числовое утверждение может выражать два предложения: одно из которых может быть объяснено на основе конструктивизма; другой на реалистических линиях.

Философия языка

Нововведения в философии языка в течение 20-го века возобновили интерес к тому, является ли математика, как часто говорят, языком науки. Хотя некоторые математики и философы согласились бы с утверждением « математика - это язык », лингвисты считают, что следует учитывать последствия такого утверждения. Например, инструменты лингвистики обычно не применяются к системам символов математики, то есть математика изучается совершенно иначе, чем другие языки. Если математика - это язык, то это язык, отличный от естественного . Действительно, из-за необходимости ясности и конкретности язык математики гораздо более ограничен, чем естественные языки, изучаемые лингвистами. Однако методы, разработанные Фреге и Тарским для изучения математического языка, были значительно расширены учеником Тарского Ричардом Монтегю и другими лингвистами, работающими в области формальной семантики, чтобы показать, что различие между математическим языком и естественным языком может быть не таким большим, как кажется. .

Мохан Ганесалингам проанализировал математический язык, используя инструменты формальной лингвистики. Ганесалингам отмечает, что некоторые особенности естественного языка не являются необходимыми при анализе математического языка (например, время ), но можно использовать многие из тех же аналитических инструментов (например, контекстно-свободные грамматики ). Одно важное отличие состоит в том, что математические объекты имеют четко определенные типы , которые могут быть явно определены в тексте: «Фактически, нам разрешено вводить слово в одной части предложения и объявлять его часть речи в другой; и эта операция не имеет аналогов в естественном языке ".

Аргументы

Аргумент незаменимости реализма

Этот аргумент, связанный с Уиллардом Куайном и Хилари Патнэм , Стивен Ябло считает одним из самых сложных аргументов в пользу признания существования абстрактных математических сущностей, таких как числа и множества. Форма аргументации следующая.

Нужно иметь онтологические обязательства перед всеми субъектами, которые необходимы для лучших научных теорий, и к тем лицам только (обычно упоминается как «все и только»).
Математические объекты необходимы для лучших научных теорий. Следовательно,
У человека должны быть онтологические обязательства по отношению к математическим объектам.

Обоснование первой посылки является наиболее спорным. И Патнэм, и Куайн ссылаются на натурализм, чтобы оправдать исключение всех ненаучных сущностей и, следовательно, защитить «единственную» часть «всего и только». Утверждение, что «все» сущности, постулируемые в научных теориях, включая числа, должны приниматься как реальные, оправдывается холизмом подтверждения . Поскольку теории подтверждаются не по частям, а в целом, нет никаких оснований для исключения каких-либо сущностей, упомянутых в хорошо подтвержденных теориях. Это ставит номиналиста, который желает исключить существование множеств и неевклидовой геометрии , но включить, например, существование кварков и других необнаруживаемых объектов физики, в затруднительное положение.

Эпистемический аргумент против реализма

Анти-реалист « эпистемологическая аргумент» против платонизма была сделана Полом Бенасеррафом и Хартри Филд . Платонизм утверждает, что математические объекты являются абстрактными сущностями. По общему мнению, абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с конкретными физическими сущностями («истинностные значения наших математических утверждений зависят от фактов, связанных с платоническими сущностями, находящимися в области вне пространства-времени»). Хотя наши знания о конкретных физических объектах основаны на нашей способности воспринимать их и, следовательно, причинно взаимодействовать с ними, нет параллельного объяснения того, как математики получают знания об абстрактных объектах. Другой способ показать, что если платонический мир исчезнет, это не повлияет на способность математиков генерировать доказательства и т. Д., Что уже полностью подотчетно с точки зрения физических процессов в их мозгу.

Филд развил свои взгляды в художественной литературе . Бенасерраф также разработал философию математического структурализма , согласно которой математических объектов не существует. Тем не менее, некоторые версии структурализма совместимы с некоторыми версиями реализма.

Аргумент основан на идее, что удовлетворительное натуралистическое описание мыслительных процессов с точки зрения процессов мозга может быть дано для математических рассуждений наряду со всем остальным. Одна линия защиты состоит в том, чтобы утверждать, что это ложно, так что математические рассуждения используют некую особую интуицию, которая включает контакт с царством Платона. Современную форму этого аргумента дает сэр Роджер Пенроуз .

Другая линия защиты состоит в том, чтобы утверждать, что абстрактные объекты имеют отношение к математическим рассуждениям не причинно и не аналогично восприятию. Этот аргумент развит Джерролдом Кацем в его книге « Реалистический рационализм» 2000 года .

Более радикальная защита - отрицание физической реальности, то есть гипотезы математической вселенной . В этом случае математические знания математика - это один математический объект, вступающий в контакт с другим.

Эстетика

Многие практикующие математики были привлечены к своему предмету из-за чувства прекрасного, которое они воспринимали в нем. Иногда можно услышать мнение, что математики хотели бы предоставить философию философам и вернуться к математике - в чем, по-видимому, и заключается красота.

В своей работе о божественной пропорции Х. Хантли связывает чувство чтения и понимания чужого доказательства математической теоремы с ощущением зрителя шедевра искусства - читатель доказательства испытывает такое же чувство восторга от понимания, как и Первоначальный автор доказательства, как он утверждает, зритель шедевра испытывает чувство возбуждения, подобное первоначальному художнику или скульптору. Действительно, математические и научные труды можно изучать как литературу .

Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш отметили, что чувство математической красоты универсально среди практикующих математиков. В качестве примера они предоставляют два доказательства иррациональности $\sqrt 2$ . Первое - традиционное доказательство от противного , приписываемое Евклиду ; второй - более прямое доказательство, включающее фундаментальную теорему арифметики, которая, как они утверждают, раскрывает суть проблемы. Дэвис и Херш утверждают, что математики находят второе доказательство более эстетичным, поскольку оно ближе к природе проблемы.

Пол Эрдёш был хорошо известен своим представлением о гипотетической «Книге», содержащей самые элегантные и красивые математические доказательства. Не существует всеобщего согласия относительно того, что результат имеет одно «наиболее элегантное» доказательство; Григорий Чайтин выступил против этой идеи.

Философы иногда критиковали математиков чувство красоты или элегантности как в лучшем случае расплывчато сформулированное. К тому же, однако, философы математики стремились охарактеризовать то, что делает одно доказательство более желательным, чем другое, когда оба логически обоснованы.

Другой аспект эстетики, касающийся математики, - это взгляды математиков на возможное использование математики в целях, которые считаются неэтичными или неприемлемыми. Наиболее известное изложение этой точки зрения происходит в книге Г. Х. Харди «Апология математика» , в которой Харди утверждает, что чистая математика по красоте превосходит прикладную математику именно потому, что ее нельзя использовать для войны и других подобных целей.

Журналы

Смотрите также

Сопутствующие работы

Исторические темы

Примечания

дальнейшее чтение

Аристотель , « Предыдущая аналитика », Хью Треденник (пер.), Стр. 181–531 в Аристотеле, том 1 , Классическая библиотека Леба , Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
Бенасерраф, Пол и Патнэм, Хилари (ред., 1983), Философия математики, Избранные чтения , 1-е издание, Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964. 2-е издание, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1983.
Беркли, Джордж (1734), Аналитик ; или Беседа, адресованная неверному математику. При этом исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более отчетливыми или более очевидными, чем «Религиозные тайны и точки веры» , Лондон и Дублин. Интернет-текст, Дэвид Р. Уилкинс (редактор), Eprint .
Бурбаки Н. (1994), Элементы истории математики , Джон Мелдрам (пер.), Springer-Verlag, Берлин, Германия.
Чандрасекар, Субраманян (1987), Истина и красота. Эстетика и мотивация в науке , University of Chicago Press, Чикаго, Иллинойс.
Коливан, Марк (2004), «Аргументы незаменимости в философии математики», Стэнфордская энциклопедия философии , Эдвард Н. Залта (редактор), Eprint .
Дэвис, Филип Дж. И Херш, Рубен (1981), The Mathematical Experience , Mariner Books, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
Девлин, Кейт (2005), Математический инстинкт: почему вы математический гений (наряду с лобстерами, птицами, кошками и собаками) , Thunder's Mouth Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
Даммит, Майкл (1991a), Фреге, Философия математики , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс.
Даммит, Майкл (1991 b), Фреге и другие философы , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
Даммет, Майкл (1993), Истоки аналитической философии , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс.
Эрнест, Пол (1998), Социальный конструктивизм как философия математики , Государственный университет Нью-Йорка, Олбани, штат Нью-Йорк.
Джордж, Александр (редактор, 1994), Математика и разум , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
Адамар, Жак (1949), Психология изобретений в математической области , 1-е издание, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2-е издание, 1949 г. Перепечатано, Dover Publications, New York, NY, 1954.
Харди, Г. Х. (1940), «Апология математика», первая публикация, 1940. Перепечатано, С. П. Сноу (предисловие), 1967. Перепечатано, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1992.
Харт, WD (редактор, 1996), Философия математики , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
Хендрикс, Винсент Ф. и Ханнес Лейтгеб (ред.). Философия математики: 5 вопросов , Нью-Йорк: Automatic Press / VIP, 2006. [1]
Хантли, HE (1970), Божественная пропорция: исследование математической красоты , Dover Publications, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
Irvine, A., ed (2009), The Philosophy of Mathematics , в Handbook of the Philosophy of Science series, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
Кляйн, Джейкоб (1968), « Греческая математическая мысль и происхождение алгебры» , Ева Бранн (перевод), MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1968. Перепечатано, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
Клайн, Моррис (1959), Математика и физический мир , Thomas Y. Crowell Company, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1959. Перепечатано, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 1981.
Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
Кениг, Юлиус (Дьюла) (1905), «Убер Die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem», Mathematische Annalen 61, 156–160. Перепечатано, "Об основах теории множеств и проблема континуума", Стефан Бауэр-Менгельберг (пер.), Стр. 145–149 в журнале Jean van Heijenoort (ed., 1967).
Кёрнер, Стефан , Философия математики, Введение . Харпер Букс, 1960.
Лакофф, Джордж и Нуньес, Рафаэль Э. (2000), « Откуда приходит математика : как воплощенный разум воплощает математику в жизнь» , Basic Books, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
Лакатос, Имре, 1976 г. Доказательства и опровержения: логика математических открытий (ред.) Дж. Уорролл и Э. Захар Издательство Кембриджского университета
Лакатос, Имре 1978 Математика, наука и эпистемология: Философские статьи, том 2 (ред.) Дж. Уорролл и Дж. Карри, Издательство Кембриджского университета
Лакатос, Имре, 1968 г. Проблемы философии математики Северной Голландии
Лейбниц, GW , Logical Papers (1666–1690), GHR Parkinson (ed., Trans.), Oxford University Press, Лондон, Великобритания, 1966.
Мэдди, Пенелопа (1997), Натурализм в математике , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
Мазиарц, Эдвард А. , и Гринвуд, Томас (1995), Греческая математическая философия , Barnes and Noble Books.
Гора, Мэтью , древнегреческий Математическая философия ,.
Парсонс, Чарльз (2014). Философия математики в ХХ веке: Избранные очерки . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета . ISBN 978-0-674-72806-6.
Пирс, Бенджамин (1870 г.), «Линейная ассоциативная алгебра», § 1. См. Американский журнал математики 4 (1881 г.).
Пирс, CS , Сборник статей Чарльза Сандерса Пирса , тт. 1-6, Чарльз Хартсхорн и Пол Вайс (ред.), Тт. 7-8, Артур В. Беркс (редактор), издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1931-1935, 1958. Цитируется как CP (том) (параграф).
Peirce, CS, различные статьи по математике и логике, многие из которых доступны для чтения в Интернете по ссылкам в библиографии Чарльза Сандерса Пирса , особенно в разделе « Книги, автором или отредактированным Пирсом», опубликованные при его жизни, и два следующих за ним раздела.
Платон, «Республика, Том 1», Пол Шори (перевод), стр. 1–535 в Платоне, Том 5 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1930.
Платон, «Республика, том 2», Пол Шори (перевод), стр. 1–521 в Платоне, том 6 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1935.
Резник, Майкл Д. Фреге и философия математики , Корнельский университет, 1980.
Резник, Майкл (1997), Математика как наука о шаблонах , Clarendon Press, Оксфорд, Великобритания, ISBN 978-0-19-825014-2
Робинсон, Гилберт де Б. (1959), Основы геометрии , University of Toronto Press, Торонто, Канада, 1940, 1946, 1952, 4-е издание 1959.
Раймонд, Эрик С. (1993), "Полезность математики", Eprint .
Смуллян, Раймонд М. (1993), Теория рекурсии для метаматематики , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
Рассел, Бертран (1919), Введение в математическую философию , Джордж Аллен и Анвин, Лондон, Великобритания. Перепечатано, Джон Г. Слейтер (вступление), Рутледж, Лондон, Великобритания, 1993.
Шапиро, Стюарт (2000), Размышляя о математике: философия математики , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания
Стромайер, Джон, и Вестбрук, Питер (1999), Божественная гармония, Жизнь и учения Пифагора , Berkeley Hills Books, Беркли, Калифорния.
Стяжкин Н.И. (1969), История математической логики от Лейбница до Пеано , MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
Тейт, Уильям В. (1986), «Истина и доказательство: платонизм математики», Synthese 69 (1986), 341–370. Перепечатано, стр. 142–167 в WD Hart (ed., 1996).
Тарски, А. (1983), Логика, семантика, метаматематика: статьи с 1923 по 1938 год , Дж. Х. Вудгер (перевод), Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания, 1956. 2-е издание, Джон Коркоран (редактор), Hackett Publishing, Индианаполис, Индиана, 1983.
Улам, С.М. (1990), Аналогии между аналогиями: математические отчеты С.М. Улама и его сотрудников в Лос-Аламосе , А.Р. Беднарек и Франсуаза Улам (ред.), University of California Press, Беркли, Калифорния.
ван Хейеноорт, Жан (редактор 1967 г.), От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг. , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс.
Вигнер, Юджин (1960), « Неоправданная эффективность математики в естественных науках », Сообщения по чистой и прикладной математике 13 (1): 1-14. Eprint
Уайлдер, Раймонд Л. Математика как культурная система , Пергамон, 1980.
Витцани, Гюнтер (2011), Может ли математика объяснить эволюцию человеческого языка? , Коммуникативная и интегративная биология, 4 (5): 516-520.

внешние ссылки

Философия математики в PhilPapers
Философия математики в проекте онтологии философии Индианы
Хорстен, Леон. «Философия математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
«Философия математики» . Интернет-энциклопедия философии .
Философия Учебное пособие Лондон предлагает много предложений о том , что читать, в зависимости от знакомства студента с темой:
Страница философии математики РБ Джонса
Философия математики в Керли
Философия Real математики - Блог от David Корфилд
Каина Стоичейя, автор - К.С. Пирс

Languages

In other projects