Магический угол - Magic angle

Угол магии является точно определенным углом, величина которого составляет примерно 54,7356 °. Магический угол является корнем полинома Лежандра второго порядка , P ₂ (cos θ ) = 0 , и поэтому любое взаимодействие, которое зависит от этого полинома Лежандра второго порядка, исчезает при магическом угле. Это свойство делает магический угол особенно важным в твердотельной ЯМР- спектроскопии с вращением под магическим углом . При магнитно-резонансной томографии структуры с упорядоченным коллагеном , такие как сухожилия и связки , ориентированные под магическим углом, могут казаться гиперинтенсивными в некоторых последовательностях; это называется артефактом или эффектом магического угла.

Математическое определение

Магический угол

Магический угол θ _м равен

${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {m}} = \ arccos {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} = \ arctan {\ sqrt {2}} \ приблизительно 0,955 \, 32 \ {\ text {рад}} \ приблизительно 54,7 ^ {\ circ} \ !,}$

где arccos и arctan - функции обратного косинуса и тангенса соответственно. OEIS :  A195696

θ _m - угол между пространственной диагональю куба и любым из трех его соединяющих ребер, см. изображение.

Другое представление магического угла - это половина угла раскрытия, образованного, когда куб поворачивается от своей диагональной оси пространства, которая может быть представлена ​​как arccos - 1 / 3 или 2 арктангенса  √ 2 радиана ≈ 109,4712 °. Этот двойной магический угол напрямую связан с геометрией тетраэдра и представляет собой угол между двумя вершинами и точным центром тетраэдра ( то есть центральный угол ребра, также известный как тетраэдрический угол).

Магический угол и ядерный магнитный резонанс

Эффект магического угла на МРТ плеча

В спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) три основных ядерных магнитных взаимодействия, диполярная связь , анизотропия химического сдвига (CSA) и квадрупольная связь первого порядка зависят от ориентации тензора взаимодействия с внешним магнитным полем.

При вращении образца вокруг заданной оси их средняя угловая зависимость становится:

${\ displaystyle \ left \ langle 3 \ cos ^ {2} \ theta -1 \ right \ rangle = \ left (3 \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {r}} -1 \ right) \ left (3 \ cos ^ {2} \ beta -1 \ right) \ !,}$

где θ - угол между главной осью взаимодействия и магнитным полем, θ _r - угол оси вращения относительно магнитного поля, а β - (произвольный) угол между осью вращения и главной осью магнитного поля. взаимодействие.

Для дипольных взаимодействий главная ось соответствует межъядерному вектору между связанными спинами; для CSA - направление с наибольшим снятием экранирования; для квадрупольной связи он соответствует оси z тензора градиента электрического поля.

Угол β не может быть изменен, поскольку он зависит от ориентации взаимодействия относительно молекулярного каркаса и от ориентации молекулы относительно внешнего поля. Однако угол θ _r может быть определен экспериментатором. Если положить θ _r  =  θ _m ≈ 54,7 °, то средняя угловая зависимость обращается в ноль. Вращение под магическим углом - это метод твердотельной ЯМР- спектроскопии, который использует этот принцип для устранения или уменьшения влияния анизотропных взаимодействий, тем самым увеличивая спектральное разрешение.

Для не зависящего от времени взаимодействия, то есть гетероядерных диполярных связей, CSA и квадрупольных взаимодействий первого порядка, анизотропная составляющая сильно уменьшается и почти подавляется в пределе быстрого вращения, то есть когда частота вращения больше ширины взаимодействия.

Усреднение близко к нулю только при рассмотрении теории возмущений первого порядка ; Члены более высокого порядка вызывают появление разрешенных частот, кратных частоте вращения, создавая вращающиеся боковые полосы в спектрах.

Зависящие от времени взаимодействия, такие как гомоядерные диполярные связи, труднее усреднить до их изотропных значений вращением под магическим углом; сеть сильно связанных спинов будет производить смешивание спиновых состояний в процессе вращения образца, мешая процессу усреднения.

Применение в медицинской визуализации: артефакт магического угла

Артефакт магического угла относится к усиленному сигналу, наблюдаемому, когда последовательности МРТ с коротким временем эхо (TE) (например, последовательности спин-эхо T ₁ или протонной плотности) используются для изображения тканей с хорошо упорядоченными коллагеновыми волокнами в одном направлении (например, сухожилие или суставной гиалиновый хрящ). Этот артефакт возникает, когда угол между такими волокнами и магнитным полем равен θ _м .

Пример: этот артефакт используется при оценке сухожилий вращающей манжеты плеча. Эффект магического угла может создать видимость тендинита надостной мышцы .

Армированная резина

Для достижения оптимальной нагрузки в прямом резиновом шланге волокна должны быть расположены под углом приблизительно 54,7 угловых градуса, также называемым магическим углом. Магический угол 54,7 точно уравновешивает продольное напряжение, вызванное внутренним давлением, и кольцевое (окружное) напряжение.

Рекомендации