Параметр местоположения - Location parameter

В статистике , A параметр положения о распределении вероятностей является скалярным или вектором- параметром , который определяет местоположение «или» сдвиг распределения. В литературе по оценке параметров местоположения распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов: ${\ displaystyle x_ {0}}$

• либо как имеющие функцию плотности вероятности или функцию массы вероятности ; или${\ displaystyle f (х-х_ {0})}$
• имеющая кумулятивную функцию распределения ; или${\ Displaystyle F (х-х_ {0})}$
• определяется как результат преобразования случайной величины , где - случайная величина с определенным, возможно, неизвестным распределением (см. также #Additive_noise ).${\ displaystyle x_ {0} + X}$${\ displaystyle X}$

Прямой пример параметра местоположения является параметром из нормального распределения . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что функция плотности вероятности нормального распределения может иметь параметр вне зависимости от того , что она записана как: ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle е (х | \ му, \ сигма)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle g (y- \ mu | \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {y} {\ sigma}} \ right) ^ {2}}}$

таким образом выполняя первое из приведенных выше определений.

Приведенное выше определение указывает в одномерном случае, что при увеличении плотность вероятности или функция масс жестко смещается вправо, сохраняя свою точную форму. ${\ displaystyle x_ {0}}$

Параметр местоположения также можно найти в семьях, имеющих более одного параметра, например в семьях в масштабе местоположения . В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общего вида

${\ displaystyle f_ {x_ {0}, \ theta} (x) = f _ {\ theta} (x-x_ {0})}$

где - параметр местоположения, θ представляет дополнительные параметры и является функцией, параметризованной на дополнительных параметрах. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f _ {\ theta}}$

Аддитивный шум

Альтернативный подход к семействам местоположений - понятие аддитивного шума . Если - константа, а W - случайный шум с плотностью вероятности, то имеет плотность вероятности, и поэтому его распределение является частью семейства местоположений. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f_ {W} (ш),}$${\ displaystyle X = x_ {0} + W}$${\ displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}$

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности , где - вектор параметров. Параметр местоположения можно добавить, указав: ${\ Displaystyle е (х | \ тета), х \ в [a, b] \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle g (x | \ theta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | \ theta), \; x \ in [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}$

можно доказать, что это PDF-файл, проверив, удовлетворяет ли он двум условиям и . интегрируется в 1, потому что: ${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle г (х | \ тета, х_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = 1}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} g (x | \ theta, x_ {0}) dx = \ int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | \ theta) dx}$

теперь изменение переменной и обновление интервала интегрирования соответственно дает: ${\ Displaystyle и = х-х_ {0}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (u | \ theta) du = 1}$

потому что это PDF по гипотезе. следует из совместного использования одного и того же изображения , которое является PDF-файлом, поэтому его изображение содержится в . ${\ Displaystyle е (х | \ тета)}$${\ Displaystyle г (х | \ тета, х_ {0}) \ geq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,1]}$

Смотрите также

• Главная тенденция
• Тест местоположения
• Инвариантная оценка
• Масштабный параметр
• Двухфакторные модели принятия решений

использованная литература