Плотность состояний - Density of states

Физика конденсированного состояния
Фазы  · Фазовый переход  · QCP
состояния вещества Твердое  тело · Жидкость  · Газ  · Плазма  · Конденсат Бозе-Эйнштейна  · Бозе-газ  · Фермионный конденсат  · Ферми-газ  · Ферми-жидкость  · Сверхтвердое тело  · Сверхтекучесть  · Жидкость Латтинжера  · Временной кристалл
Фазовые явления Параметр заказа  · Фазовый переход  · QCP
Электронные фазы Электронная структура группы  · Плазменные  · Изолятор  · Мотта изолятор  · Полупроводниковый  · полуметалл  · Проводник  · сверхпроводник  · Термоэлектрический  · Пьезоэлектрический  · сегнетоэлектрических  · топологическая изолятор  · Спин бесщелевого полупроводника
Электронные явления Квантовый эффект Холла  · Спиновый эффект Холла  · Эффект Кондо
Магнитные фазы Диамагнетик  · Супердиамагнетик Парамагнетик  · Суперпарамагнетик Ферромагнетик  · Антиферромагнетик Метамагнетик  · Спиновое стекло
Квазичастицы Фонон  · Экситон  · Плазмон- поляритон  · Полярон  · Магнон
Мягкая материя Аморфное твердое вещество  · Коллоид  · Гранулированный материал  · Жидкий кристалл  · Полимер
Ученые Ван дер Ваальс  · Оннес  · фон Лауэ  · Брэгг  · Дебай  · Блох  · Онсагер  · Мотт  · Пайерлс  · Ландау  · Латтинджер  · Андерсон  · Ван Флек  · Мотт  · Хаббард  · Шокли  · Бардин  · Купер  · Шриффер  · Джозефсон  · Луи Нель  · Эсаки  · Джавер  · Кон  · Каданов  · Фишер  · Уилсон  · фон Клитцинг  · Бинниг  · Рорер  · Беднорц  · Мюллер  · Лафлин  · Штёрмер  · Ян  · Цуй  · Абрикосов  · Гинзбург  · Леггетт
v т е

В физике твердого тела и физике конденсированных сред , то плотность состояний ( DOS ) системы характеризует долю государств, которые должны быть заняты системой при каждой энергии. Плотность состояний определяется как , где - количество состояний в системе объема , энергии которых лежат в диапазоне . Математически он представлен как распределение с помощью функции плотности вероятности и обычно представляет собой среднее значение по пространственной и временной областях различных состояний, занятых системой. Плотность состояний напрямую связана с дисперсионными соотношениями свойств системы. Высокая DOS на определенном уровне энергии означает, что многие состояния доступны для занятия. ${\ Displaystyle D (E) = N (E) / V}$${\ Displaystyle N (E) \ delta E}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle E + \ delta E}$

Обычно плотность состояний материи непрерывна. Однако в изолированных системах , таких как атомы или молекулы в газовой фазе, распределение плотности дискретно , как и спектральная плотность . Локальные вариации, чаще всего из-за искажений исходной системы, часто называют локальными плотностями состояний (LDOS).

Введение

В квантово-механических системах волны или волнообразные частицы могут занимать моды или состояния с длинами волн и направлениями распространения, продиктованными системой. Например, в некоторых системах межатомное расстояние и атомный заряд материала могут позволять существовать только электронам определенных длин волн. В других системах кристаллическая структура материала может позволить волнам распространяться в одном направлении, подавляя распространение волн в другом направлении. Часто разрешены только определенные состояния. Таким образом, может случиться так, что многие состояния доступны для занятия на определенном уровне энергии, в то время как на других уровнях энергии состояния недоступны.

Если посмотреть на плотность состояний электронов на краю зоны между валентной зоной и зоной проводимости в полупроводнике, то для электрона в зоне проводимости увеличение энергии электрона делает больше состояний доступными для заполнения. В качестве альтернативы, плотность состояний является прерывистой в течение некоторого интервала энергии, что означает, что электроны не могут занять состояния в запрещенной зоне материала. Это условие также означает, что электрон на краю зоны проводимости должен потерять, по крайней мере, ширину запрещенной зоны материала, чтобы перейти в другое состояние в валентной зоне.

Это определяет, является ли материал изолятором или металлом в размере распространения. Результат количества состояний в зоне также полезен для предсказания свойств проводимости. Например, в одномерной кристаллической структуре нечетное количество электронов на атом приводит к наполовину заполненной верхней полосе; вот свободные электроны на уровне Ферми, в результате чего получается металл. С другой стороны, четное количество электронов точно заполняет целое количество полос, оставляя остальные пустыми. Если тогда уровень Ферми находится в занятой запрещенной зоне между самым высоким занятым состоянием и самым низким пустым состоянием, материал будет изолятором или полупроводником .

В зависимости от квантово-механической системы плотность состояний может быть вычислена для электронов , фотонов или фононов и может быть задана как функция энергии или волнового вектора k . Для преобразования между DOS как функцией энергии и DOS как функцией волнового вектора необходимо знать системное соотношение дисперсии энергии между E и k .

В общем, топологические свойства системы, такие как зонная структура, имеют большое влияние на свойства плотности состояний. Наиболее известные системы, такие как нейтроний в нейтронных звездах и газы со свободными электронами в металлах (примеры вырожденного вещества и ферми-газа ), имеют трехмерную евклидову топологию . Менее знакомые системы, такие как двумерные электронные газы (2DEG) в слоях графита и система квантового эффекта Холла в устройствах типа MOSFET , имеют 2-мерную евклидову топологию. Еще менее известны углеродные нанотрубки , квантовая проволока и жидкость Латтинжера с их одномерной топологией. Системы с 1D и 2D топологиями, вероятно, станут более распространенными, если будут развиваться разработки в области нанотехнологий и материаловедения .

Определение

Как правило, плотность состояний, связанная с объемными V и N счетными уровнями энергии, определяется следующим образом:

${\ displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta \ left (EE \ left ({\ vec {k}} _ { i} \ right) \ right).}$

Используя (наименьшее допустимое изменение для частицы в ящике размеров и длины ) под пределом , можно получить объемную плотность состояний для непрерывных уровней энергии ${\ displaystyle (\ Delta k) ^ {d} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {L}} \ right) ^ {d}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L \ to \ infty}$

${\ Displaystyle D (E): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {d} k} {(2 \ pi) ^ {d}}} \ cdot \ delta \ left (EE \ left ({\ vec {k}} \ right) \ right),}$

с пространственной размерностью рассматриваемой системы и волновым вектором. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Для одномерной системы , для двумерной системы плотность состояний постоянна , а для трехмерной системы . ${\ displaystyle D_ {1D} (E) = {\ frac {1} {\ pi \ hbar}} \ left ({\ frac {2m} {E}} \ right) ^ {1/2}}$${\ displaystyle D_ {2D} = {\ frac {m} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$${\ displaystyle D_ {3D} (E) = {\ frac {m} {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {3}}} (2mE) ^ {1/2}}$

Эквивалентно, плотность состояний можно также понимать как производную микроканонической статистической суммы (то есть общего числа состояний с энергией меньше чем ) по энергии: ${\ displaystyle Z_ {m} (E)}$${\ displaystyle E}$

${\ Displaystyle D (E) = {\ frac {1} {V}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} Z_ {m} (E)} {\ mathrm {d} E}}}$

Количество состояний с энергией (степенью вырождения) определяется как: ${\ displaystyle E '}$

${\ displaystyle g \ left (E '\ right) = \ lim _ {\ Delta E \ to 0} \ int _ {E'} ^ {E '+ \ Delta E} D (E) \ mathrm {d} E = \ lim _ {\ Delta E \ to 0} D \ left (E '\ right) \ Delta E,}$

где последнее равенство применимо только тогда, когда справедлива теорема о среднем значении интегралов.

Симметрия

Первая зона Бриллюэна решетки ГЦК , усеченный октаэдр , показывающая метки симметрии для линий и точек высокой симметрии

Существует большое разнообразие систем и типов состояний, для которых могут выполняться вычисления DOS.

Некоторые системы конденсированного состояния обладают структурной симметрией в микроскопическом масштабе, которая может быть использована для упрощения расчета их плотностей состояний. В сферически-симметричных системах интегралы функций одномерны, поскольку все переменные в расчете зависят только от радиального параметра дисперсионного соотношения. Жидкости , стекла и аморфные твердые тела являются примерами симметричной системы, дисперсионные соотношения которой имеют вращательную симметрию.

Октаэдр.

Измерения на порошках или поликристаллических образцах требуют оценки и вычисления функций и интегралов по всей области , чаще всего зоне Бриллюэна , дисперсионных соотношений интересующей системы. Иногда симметрия системы высока, что приводит к многократному появлению формы функций, описывающих дисперсионные соотношения системы, во всей области дисперсионного соотношения. В таких случаях усилия по вычислению DOS могут быть значительно сокращены, если вычисление ограничено ограниченной зоной или фундаментальной областью . Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) на рисунке справа имеет 48-кратную симметрию точечной группы O _h с полной октаэдрической симметрией . Эта конфигурация означает, что интеграция по всей области зоны Бриллюэна может быть уменьшена до 48-й части всей зоны Бриллюэна. Как показывает периодическая таблица с кристаллической структурой , существует множество элементов с кристаллической структурой ГЦК, таких как алмаз , кремний и платина, а их зоны Бриллюэна и дисперсионные соотношения имеют 48-кратную симметрию. Две другие известные кристаллические структуры - это объемно-центрированная кубическая решетка (ОЦК) и гексагональные структуры с замкнутой упаковкой (ГПУ) с кубической и гексагональной решетками соответственно. Структура ОЦК имеет 24-кратную пиритоэдрическую симметрию точечной группы T _h . Структура HCP имеет 12-кратную призматическую двугранную симметрию точечной группы D _3h . Полный список свойств симметрии точечной группы можно найти в таблицах символов точечной группы .

В общем, легче вычислить DOS, когда симметрия системы выше, а количество топологических измерений дисперсионного соотношения меньше. DOS дисперсионных соотношений с вращательной симметрией часто можно рассчитать аналитически. Этот результат является удачным, поскольку многие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь и кремний, обладают высокой симметрией.

В анизотропных системах конденсированного состояния, таких как монокристалл соединения, плотность состояний может быть различной в одном кристаллографическом направлении, чем в другом. Это затрудняет визуализацию анизотропной плотности состояний и может потребовать таких методов, как вычисление DOS только для определенных точек или направлений или расчет прогнозируемой плотности состояний (PDOS) для конкретной ориентации кристалла.

k -пространственные топологии

Рисунок 1: Сферическая поверхность в k- пространстве для электронов в трех измерениях.

Плотность состояний зависит от размеров самого объекта. В системе, описываемой тремя ортогональными параметрами (3- мерное измерение), единицей измерения DOS является Энергия ^-1 Объем ^-1 , в двумерной системе единицами DOS является Энергия ^-1 Площадь ^-1 , в одномерной системе величина единиц DOS - Энергия ^-1 Длина ^-1 . Упомянутый объем - это объем k -пространства; пространство, ограниченное поверхностью постоянной энергии системы, полученной с помощью дисперсионного соотношения , связывающего E с k . Пример 3-мерного k -пространства приведен на рис. 1. Видно, что размерность системы ограничивает импульс частиц внутри системы.

Плотность состояний волнового вектора (сфера)

Вычисление для DOS начинается с подсчета N разрешенных состояний при определенном k , которые содержатся в пределах [ k , k + dk ] внутри объема системы. Эта процедура выполняется путем дифференцирования всего объема k-пространства в n-мерном пространстве при произвольном k относительно k . Объем, площадь или длина в 3, 2 или 1-мерных сферических k -пространствах выражаются как ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {n} (к) = c_ {n} k ^ {n}}$

для n-мерного k -пространства с топологически определенными константами

${\ Displaystyle c_ {1} = 2, \ c_ {2} = \ pi, \ c_ {3} = {\ frac {4 \ pi} {3}}}$

для линейных, дисковых и сферических функций симметричной формы в 1, 2 и 3-мерном евклидовом k -пространстве соответственно.

Согласно этой схеме, плотность состояний волнового вектора N через дифференцирование по k выражается как ${\ displaystyle \ Omega _ {n, k}}$

${\ displaystyle N_ {n} (k) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (k)} {{\ rm {d}} k}} = n \; c_ {n } \; k ^ {n-1}}$

1, 2 и 3-мерная плотность состояний волнового вектора для линии, диска или сферы явно записывается как

${\ Displaystyle {\ begin {align} N_ {1} (k) & = 2 \\ N_ {2} (k) & = 2 \ pi k \\ N_ {3} (k) & = 4 \ pi k ^ {2} \ end {выравнивается}}}$

Одно состояние достаточно велико, чтобы содержать частицы с длиной волны λ. Длина волны связана с k через соотношение.

${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$

В квантовой системе длина λ будет зависеть от характерного расстояния системы L, удерживающей частицы. Наконец, плотность состояний N умножается на коэффициент , где s - постоянный коэффициент вырождения, который учитывает внутренние степени свободы из-за таких физических явлений, как спин или поляризация. Если такого явления нет, то . V _k - это объем в k-пространстве, волновые векторы которого меньше минимально возможных волновых векторов, определяемых характерным интервалом системы. ${\ displaystyle s / V_ {k}}$${\ displaystyle s = 1}$

Плотность энергетических состояний

Чтобы завершить расчет для DOS, найдите количество состояний на единицу объема выборки при энергии внутри интервала . Общий вид DOS системы представлен как ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle [E, E + dE]}$

${\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {{\ rm {d}} \ Omega _ {n} (E)} {{\ rm {d}} E}}}$

Схема, представленная до сих пор, применима только к монотонно возрастающим и сферически-симметричным дисперсионным соотношениям. В общем случае дисперсионное соотношение не является сферически симметричным и во многих случаях не возрастает непрерывно. Чтобы выразить D как функцию Е на обратное дисперсионное соотношение должно быть подставлено в выражение как функция к , чтобы получить экспрессию как функции энергии. Если дисперсионное соотношение не является сферически симметричным или непрерывно возрастающим и не может быть легко обращено, то в большинстве случаев DOS необходимо рассчитывать численно. Доступны более подробные выводы. ${\ displaystyle E (k)}$ ${\ displaystyle E (k)}$${\ Displaystyle \ Omega _ {п} (к)}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} (E)}$

Дисперсионные отношения

Закон дисперсии электронов в твердом теле задается зонной электронной структурой .

Кинетическая энергия частицы зависит от величины и направления волнового вектора к , свойства частицы и окружающей среды , в которой частица движется. Например, кинетическая энергия электрона в ферми-газе определяется выражением

${\ displaystyle E = E_ {0} + {\ frac {\ left (\ hbar k \ right) ^ {2}} {2m}} \,}$

где m - масса электрона . Дисперсионное соотношение представляет собой сферически-симметричную параболу и непрерывно возрастает, поэтому DOS можно легко вычислить.

Рисунок 2: Одноатомное цепное соотношение дисперсии фононов

Для продольных фононов в цепочке атомов соотношение дисперсии кинетической энергии в одномерном k- пространстве, как показано на рисунке 2, дается выражением

${\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$

где - частота осциллятора, масса атомов, постоянная межатомной силы и межатомное расстояние. При малых значениях дисперсионное соотношение достаточно линейное: ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {k _ {\ rm {F}} / m}}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle к _ {\ rm {F}}}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle к \ ll \ пи / а}$

${\ displaystyle E = \ hbar \ omega _ {0} ka}$

Когда энергия ${\ Displaystyle к \ приблизительно \ пи / а}$

${\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ pi -ka} {2}} \ right) \ right |}$

С преобразованием и малым это соотношение можно преобразовать к ${\ Displaystyle д = к- \ пи / а}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle E = 2 \ hbar \ omega _ {0} \ left [1- \ left ({\ frac {qa} {2}} \ right) ^ {2} \ right]}$

Изотропные дисперсионные соотношения

Два упомянутых здесь примера могут быть выражены как

${\ displaystyle E = E_ {0} + c_ {k} k ^ {p}}$

Это выражение является своего рода дисперсионным соотношением, поскольку оно связывает два волновых свойства, и оно изотропно, поскольку в выражении появляется только длина, а не направление волнового вектора. Величина волнового вектора связана с энергией как:

${\ displaystyle k = \ left ({\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k}}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \,}$

Соответственно, объем n-мерного k -пространства, содержащего волновые векторы меньше k, равен:

${\ Displaystyle \ Omega _ {n} (к) = c_ {n} k ^ {n}}$

Подстановка изотропного энергетического соотношения дает объем занятых состояний

${\ displaystyle \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {c_ {n}} {{c_ {k}} ^ {\ frac {n} {p}}}} \ left (E-E_ {0 } \ right) ^ {\ frac {n} {p}} \,}$

Дифференцирование этого объема по энергии дает выражение для плотности состояний изотропного дисперсионного соотношения

${\ displaystyle D_ {n} \ left (E \ right) = {\ frac {d} {dE}} \ Omega _ {n} (E) = {\ frac {nc_ {n}} {p {c_ {k }} ^ {\ frac {n} {p}}}} \ left (E-E_ {0} \ right) ^ {{\ frac {n} {p}} - 1}}$

Параболическая дисперсия

Рисунок 3: DOS свободных электронов в 3-мерном k-пространстве

В случае параболического дисперсионного соотношения ( p = 2), например, применяемого к свободным электронам в ферми-газе, результирующая плотность состояний,, для электронов в n-мерных системах равна ${\ Displaystyle D_ {п} \ влево (Е \ вправо)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {\ sqrt {c_ {k} \ left (E-E_ {0} \ right)}} } \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {\ pi} {c_ {k}}} \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k} ^ {3}}}} \. \ end {выровнено}}}$

для , с для . ${\ displaystyle E> E_ {0}}$${\ Displaystyle D (E) = 0}$${\ displaystyle E <E_ {0}}$

В 1-мерных системах DOS расходится в нижней части полосы по мере уменьшения до . В двумерных системах DOS оказывается независимым от . Наконец, для трехмерных систем DOS растет как квадратный корень из энергии. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle E}$

С учетом префактора выражение для 3D DOS выглядит следующим образом: ${\ displaystyle s / V_ {k}}$

${\ Displaystyle N (E) = {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2}}} \ left ({\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac { 3} {2}} {\ sqrt {E-E_ {0}}}}$,

где - полный объем, включающий 2-кратное вырождение спина. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle N (E-E_ {0})}$

Линейная дисперсия

В случае линейной зависимости ( p = 1), например, применимой к фотонам , акустическим фононам или к некоторым специальным видам электронных зон в твердом теле, DOS в 1-, 2- и 3-мерных системах связана с энергией как :

${\ Displaystyle {\ begin {align} D_ {1} \ left (E \ right) & = {\ frac {1} {c_ {k}}} \\ D_ {2} \ left (E \ right) & = {\ frac {2 \ pi} {c_ {k} ^ {2}}} \ left (E-E_ {0} \ right) \\ D_ {3} \ left (E \ right) & = {\ frac { 4 \ pi} {c_ {k} ^ {3}}} \ left (E-E_ {0} \ right) ^ {2} \ end {align}}}$

Функции распределения

Плотность состояний играет важную роль в кинетической теории твердого тела . Произведение плотности состояний и функции распределения вероятностей - это количество занятых состояний в единице объема при заданной энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Это значение широко используется для исследования различных физических свойств вещества. Ниже приведены примеры с использованием двух общих функций распределения того, как применение функции распределения к плотности состояний может привести к физическим свойствам.

Рисунок 4: Распределение вероятностей Ферми-Дирака, плотность состояний и их произведение для полупроводника. Нижний зеленый лепесток отображает энергию дырки и, таким образом, используется в качестве функции распределения.               ${\ displaystyle f (-x)}$

Статистика Ферми – Дирака. Функция распределения вероятностей Ферми – Дирака, рис. 4, используется для определения вероятности того, что фермион занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Фермионы - это частицы, которые подчиняются принципу исключения Паули (например, электроны, протоны, нейтроны). Функцию распределения можно записать как

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {FD}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right ) +1}}}$

${\ displaystyle \ mu}$- химический потенциал (также обозначаемый E _F и называемый уровнем Ферми, когда T = 0), - постоянная Больцмана и - температура. На рис. 4 показано, как произведение функции распределения Ферми-Дирака и трехмерной плотности состояний полупроводника может дать представление о физических свойствах, таких как концентрация носителей заряда и энергетическая запрещенная зона. ${\ Displaystyle к _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle T}$

Статистика Бозе – Эйнштейна: функция распределения вероятностей Бозе – Эйнштейна используется для определения вероятности того, что бозон занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Бозоны - это частицы, которые не подчиняются принципу исключения Паули (например, фононы и фотоны). Функцию распределения можно записать как

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {BE}} (E) = {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {E- \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right ) -1}}}$

По этим двум распределениям можно рассчитать такие свойства, как внутренняя энергия , количество частиц , удельная теплоемкость и теплопроводность . Связь между этими свойствами и произведением плотности состояний и распределением вероятностей, обозначающим плотность состояний с помощью вместо , определяется выражением ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle g (E)}$${\ Displaystyle D (E)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} U & = \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm {d}} E \\ N & = \ int f (E) \, g ( E) \, {\ rm {d}} E \\ C & = {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ int E \, f (E) \, g (E) \, {\ rm { d}} E \\ k & = {\ frac {1} {d}} {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ int Ef (E) \, g (E) \, \ nu (E) \, \ Lambda (E) \, {\ rm {d}} E \ end {align}}}$

${\ displaystyle d}$- размерность, - скорость звука и - длина свободного пробега . ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Приложения

Плотность состояний появляется во многих областях физики и помогает объяснить ряд квантово-механических явлений.

Квантование

Расчет плотности состояний для небольших структур показывает, что распределение электронов изменяется с уменьшением размерности. Для квантовых проводов DOS для определенных энергий фактически становится выше, чем DOS для объемных полупроводников, а для квантовых точек электроны квантуются до определенных энергий.

Фотонные кристаллы

Плотностью состояний фотонов можно управлять, используя периодические структуры с масштабами длины порядка длины волны света. Некоторые структуры могут полностью препятствовать распространению света определенных цветов (энергий), создавая фотонную запрещенную зону: плотность состояний равна нулю для этих энергий фотонов. Другие структуры могут препятствовать распространению света только в определенных направлениях, создавая зеркала, волноводы и полости. Такие периодические структуры известны как фотонные кристаллы . В наноструктурированных средах концепция локальной плотности состояний (LDOS) часто более актуальна, чем концепция DOS, поскольку DOS значительно варьируется от точки к точке.

Вычислительный расчет

Интересные системы в целом являются сложными, например соединения, биомолекулы, полимеры и т. Д. Из-за сложности этих систем аналитический расчет плотности состояний в большинстве случаев невозможен. Компьютерное моделирование предлагает набор алгоритмов для оценки плотности состояний с высокой точностью. Один из этих алгоритмов называется алгоритмом Ванга и Ландау .

В рамках схемы Ванга и Ландау требуется любое предварительное знание плотности состояний. Действуют следующим образом: функция стоимости (например, энергия) системы дискретизируется. Каждый раз, когда достигается ячейка i, гистограмма плотности состояний обновляется на ${\ Displaystyle г (я)}$

${\ Displaystyle г (я) \ rightarrow г (я) + е}$

где f называется коэффициентом модификации. Как только каждый интервал в гистограмме посещается определенное количество раз (10-15), коэффициент модификации уменьшается по некоторому критерию, например,

${\ displaystyle f_ {n + 1} \ rightarrow {\ frac {1} {2}} f_ {n}}$

где n обозначает n-й шаг обновления. Моделирование завершается, когда, например, коэффициент модификации меньше определенного порога . ${\ displaystyle f_ {n} <10 ^ {- 8}}$

Алгоритм Ванга и Ландау имеет некоторые преимущества перед другими распространенными алгоритмами, такими как многоканонное моделирование и параллельное темперирование . Например, плотность состояний получается как основной продукт моделирования. Кроме того, моделирование Ванга и Ландау полностью не зависит от температуры. Эта функция позволяет вычислять плотность состояний систем с очень грубым энергетическим ландшафтом, таких как белки.

Математически плотность состояний формулируется в виде башни покрывающих карт.

Локальная плотность состояний

Важной особенностью определения DOS является то, что его можно распространить на любую систему. Одно из его свойств - трансляционная неизменность, что означает, что плотность состояний однородна и одинакова в каждой точке системы. Но это всего лишь частный случай, и LDOS дает более широкое описание с неоднородной плотностью состояний через систему.

Концепция

Локальная плотность состояний (LDOS) описывает плотность состояний с пространственным разрешением. В материаловедении, например, этот термин полезен при интерпретации данных со сканирующего туннельного микроскопа (СТМ), так как этот метод позволяет отображать электронные плотности состояний с атомным разрешением. В зависимости от кристаллической структуры это количество может быть предсказано вычислительными методами, например, с помощью теории функционала плотности .

Общее определение

В локальной плотности состояний вклад каждого состояния взвешивается плотностью его волновой функции в точке. становится${\ Displaystyle N (E)}$${\ Displaystyle п (Е, х)}$

${\ displaystyle n (E, x) = \ sum _ {n} | \ phi _ {n} (x) | ^ {2} \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}$

коэффициент означает, что каждое государство вносит больший вклад в регионах с высокой плотностью. Среднее значение этого выражения восстановит обычную формулу для DOS. LDOS полезен в неоднородных системах, где содержится больше информации, чем одна. ${\ Displaystyle | \ фи _ {п} (х) | ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle п (Е, х)}$${\ displaystyle n (E)}$

Для одномерной системы со стенкой синусоидальные волны дают

${\ displaystyle n_ {1D} (E, x) = {\ frac {2} {\ pi \ hbar}} {\ sqrt {\ frac {2m} {E}}} \ sin ^ {2} {kx}}$

где . ${\ Displaystyle к = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}$

В трехмерной системе с выражением ${\ displaystyle x> 0}$

${\ displaystyle n_ {3D} (E, x) = \ left (1 - {\ frac {\ sin {2kx}} {2kx}} \ right) n_ {3D} (E)}$

Фактически, мы можем далее обобщить локальную плотность состояний на

${\ displaystyle n (E, x, x ') = \ sum _ {n} \ phi _ {n} (x) \ phi _ {n} ^ {*} (x') \ delta (E- \ varepsilon _ {n})}$

это называется спектральной функцией, и это функция, в которой каждая волновая функция отдельно находится в своей переменной. В более продвинутой теории он связан с функциями Грина и дает компактное представление некоторых результатов, таких как оптическое поглощение .

Пространство разрешено локальной плотностью состояний. Последовательность изображений с переменным смещением затвора в полевом МОП-транзисторе с нанопроволокой при смещении стока Vd = 0,6 В. Обратите внимание на ограниченные уровни энергии, поскольку они движутся с увеличением смещения затвора.

Твердотельные устройства

LDOS можно использовать для получения прибыли в твердотельном устройстве. Например, рисунок справа иллюстрирует LDOS транзистора, когда он включается и выключается при баллистическом моделировании. LDOS имеет четкую границу между истоком и стоком, что соответствует положению края полосы. В канале DOS увеличивается по мере увеличения напряжения затвора и снижения потенциального барьера.

Оптика и фотоника

В оптике и фотонике понятие локальной плотности состояний относится к состояниям, которые могут быть заняты фотоном. Свет обычно измеряется флуоресцентными методами, методами сканирования ближнего поля или катодолюминесцентными методами. Для разных фотонных структур LDOS имеют разное поведение и по-разному контролируют спонтанное излучение. В фотонных кристаллах ожидаются близкие к нулю LDOS, которые вызывают подавление спонтанного излучения. LDOS все еще находятся в фотонных кристаллах, но теперь они находятся в полости. В этом случае LDOS может быть значительно увеличен, и они пропорциональны усилению Парселла спонтанного излучения. Подобное усиление LDOS также ожидается в плазмонной полости. Однако в неупорядоченных фотонных наноструктурах LDOS ведут себя иначе. Они колеблются в пространстве, их статистика пропорциональна силе рассеивания структур. Кроме того, связь со средней длиной свободного пробега рассеяния тривиальна, поскольку на LDOS все еще могут сильно влиять краткие детали сильных нарушений в виде сильного усиления Парселла излучения. и, наконец, для плазмонного беспорядка этот эффект намного сильнее для флуктуаций LDOS, поскольку его можно наблюдать как сильную локализацию в ближнем поле.

Смотрите также

Ссылки

дальнейшее чтение

• Чен, банда. Наномасштабный перенос и преобразование энергии. Нью-Йорк: Оксфорд, 2005 г.
• Уличный человек, Бен Г. и Санджай Банерджи. Твердотельные электронные устройства. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2000.
• Мюллер, Ричард С. и Теодор И. Каминс. Приборная электроника для интегральных схем. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья, 2003.
• Киттель, Чарльз и Герберт Кремер. Теплофизика. Нью-Йорк: WH Freeman and Company, 1980.
• Зе, Саймон М. Физика полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1981

внешние ссылки

• Онлайн-лекция: ECE 606 Лекция 8: Плотность состояний М. Алама
• Ученые пролили свет на светящиеся материалы Как измерить фотонный LDOS