Список неравенств треугольника - List of triangle inequalities

В геометрии , треугольник неравенства являются неравенство с участием параметров из треугольников , которые имеют место для каждого треугольника или для каждого треугольника выполнения определенных условий. Неравенства определяют порядок двух различных значений: они имеют форму «меньше или равно», «больше или равно». Параметрами в неравенстве треугольника могут быть длины сторон, полупериметр , размеры углов , значения тригонометрических функций этих углов, площадь треугольника, медианы сторон, высоты , длины биссектрис внутренних углов. от каждого угла к противоположной стороне, серединный перпендикуляр сторон, расстояние от произвольной точки до другой точки, внутренний радиус , эксрадиус , радиус описанной окружности и / или другие величины.

Если не указано иное, в данной статье рассматриваются треугольники на евклидовой плоскости .

Основные параметры и обозначения

В неравенствах треугольника чаще всего встречаются следующие параметры:

  • длины сторон a , b и c ;
  • в полупериметре сек = (  +  б  +  гр ) / 2 (половина периметра р );
  • что угловые меры , B и C из углов вершин противоположных соответствующих сторон , б , и с (с вершинами , обозначенных теми же символами, что и их угловых мер);
  • значения тригонометрических функций углов;
  • область Т треугольника;
  • в медианы м а , м б и м гр из сторон (каждый из которых длина отрезка от середины в стороны к противоположной вершине);
  • высот ч , ч б и ч с (каждая из которых длина отрезка перпендикуляра к одной стороне и идущие с той стороны (или , возможно расширение той стороны) к противоположной вершине);
  • длины биссектрис внутреннего угла t a , t b и t c (каждая является отрезком от вершины до противоположной стороны и делит пополам угол вершины);
  • перпендикулярные биссектрисы р , р б и р с одной из сторон (каждый из которых длина перпендикуляра сегмента с одной стороны , на ее средней точке , и достигая к одной из других сторон);
  • длины отрезков прямой с концом в произвольной точке P на плоскости (например, длина отрезка от P до вершины A обозначается PA или AP );
  • inradius г (радиус окружности , вписанной в треугольник, касательной ко всем трем сторонам), то exradii г , г б и г с (каждый являющийся радиус вневписанной окружности , касательной к стороне а , б , или C , соответственно , и касательной к продолжений двух других сторон), и описанной окружности R (радиус окружности , описанной вокруг треугольника и проходящей через все три вершины).

Боковые длины

Основное неравенство треугольника :

или эквивалентно

Кроме того,

где значение правой части представляет собой наименьшую возможную границу, приближающуюся асимптотически по мере приближения определенных классов треугольников к вырожденному случаю нулевой площади. Левое неравенство, которое выполняется для всех положительных a, b, c , является неравенством Несбитта .

У нас есть

Если угол C тупой (больше 90 °), то

если C острый (менее 90 °), то

Промежуточный случай равенства, когда C - прямой угол, - это теорема Пифагора .

В основном,

при этом равенство приближается в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °.

Если центр тяжести треугольника находится внутри вписанной окружности треугольника , то

Хотя все вышеперечисленные неравенства верны, потому что a , b и c должны соответствовать основному неравенству треугольника, что самая длинная сторона меньше половины периметра, следующие соотношения выполняются для всех положительных a , b и c :

каждое владение с равенством только тогда, когда a = b = c . Это говорит о том, что в неравностороннем случае гармоническое среднее значение сторон меньше, чем их среднее геометрическое, которое, в свою очередь, меньше их среднего арифметического .

Углы

для полупериметра s с равенством только в равностороннем случае.

где золотое сечение .

Для радиуса окружности R и радиуса r имеем

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине больше или равным 60 °; а также

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине меньше или равным 60 °.

У нас также есть

и аналогично для углов B, C с равенством в первой части, если треугольник равнобедренный и угол при вершине не менее 60 °, и равенством во второй части, если и только если треугольник равнобедренный с углом при вершине не более 60 ° .

Кроме того, любые две угловые меры A и B, противоположные сторонам a и b соответственно, связаны согласно

которая связана с теоремой о равнобедренном треугольнике и ее обратной теоремой , согласно которой A = B тогда и только тогда, когда a = b .

По теореме Евклида о внешних углах любой внешний угол треугольника больше любого из внутренних углов в противоположных вершинах:

Если точка D находится внутри треугольника ABC , то

Для остроугольного треугольника имеем

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Кроме того, для не тупых треугольников имеем

с равенством тогда и только тогда, когда это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.

Площадь

Неравенство Вейценбёка , с точки зрения области Т ,

с равенством только в равностороннем случае. Это следствие из неравенства Хадвигер-Финслеровой , который

Также,

а также

Из самой правой верхней границы T с использованием неравенства среднего арифметико-геометрического получается изопериметрическое неравенство для треугольников :

для полупериметра s . Иногда это выражается в терминах периметра p как

с равенством для равностороннего треугольника . Это усилено

Неравенство Боннесена также усиливает изопериметрическое неравенство:

У нас также есть

с равенством только в равностороннем случае;

для полупериметра s ; а также

Неравенство Оно для острых треугольников (те, у которых все углы меньше 90 °) есть

Площадь треугольника можно сравнить с площадью вписанной окружности :

с равенством только для равностороннего треугольника.

Если внутренний треугольник вписан в опорный треугольник так, что вершины внутреннего треугольника разделяют периметр опорного треугольника на сегменты равной длины, соотношение их площадей ограничено

Пусть внутренний угол биссектриса A , B и C соответствуют противоположным сторонам при D , E и F . потом

Линия, проходящая через середину треугольника, разделяет площадь таким образом, чтобы отношение меньшей подобласти к площади исходного треугольника составляло не менее 4/9.

Медианы и центроид

Каждая из трех медиан треугольника соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, и сумма их длин удовлетворяет

Кроме того,

с равенством только в случае равностороннего, и для inradius г ,

Если мы далее обозначим длины медиан, продолженных до их пересечений с описанной окружностью, как M a , M b и M c , то

Центроид G является пересечением медиан. Пусть AG , BG и CG пересекают описанную окружность в точках U , V и W соответственно. Тогда оба

а также

Кроме того,

Для остроугольного треугольника имеем

через радиус описанной окружности R , тогда как для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Обозначив как IA, IB, IC расстояния от центра до вершин, справедливо следующее:

Три медианы любого треугольника могут образовывать стороны другого треугольника:

Более того,

Высоты

Каждая из высот h a и т. Д. Соединяет вершину с противоположной стороной и перпендикулярна этой стороне. Они удовлетворяют обоих

а также

Кроме того, если тогда

У нас также есть

Для биссектрис внутреннего угла t a , t b , t c из вершин A, B, C и центра описанной окружности R и внутреннего центра r имеем

Величины, обратные высотам любого треугольника, сами могут образовывать треугольник:

Биссектриса внутреннего угла и инцентр

Биссектрисы внутреннего угла - это сегменты внутри треугольника, идущие от одной вершины до противоположной стороны и делящие пополам угол при вершине на два равных угла. Биссектрисы углов t a и т. Д. Удовлетворяют

с точки зрения сторон, и

с точки зрения высот и медиан, а также для t b и t c . Дальше,

в терминах медиан, и

с точки зрения высоты, inradius г и описанной окружности R .

Пусть T a , T b и T c - длины биссектрис угла, продолженных до описанной окружности. потом

с равенством только в равностороннем случае, и

для описанного радиуса R и радиуса r , опять же с равенством только в равностороннем случае. Кроме того,.

Для центра I (пересечение биссектрис внутреннего угла),

Для средних точек L, M, N сторон

Для центра I , центроида G , центра описанной окружности O , центра из девяти точек N и ортоцентра H для неравносторонних треугольников справедливы неравенства расстояний

а также

и имеем угловое неравенство

Кроме того,

где v - самая длинная медиана.

Три треугольника с вершиной в центре, OIH , GIH и OGI , тупые:

>> 90 °, > 90 °.

Поскольку эти треугольники имеют указанные тупые углы, имеем

и на самом деле второй из них эквивалентен более сильному результату, чем первый, показанному Эйлером :

Больший из двух углов треугольника имеет более короткую биссектрису внутреннего угла:

Серединные перпендикулярные сторонам

Эти неравенства относятся к длинам р а и т. Д. Внутренних частей треугольника серединных перпендикуляров сторон треугольника. Обозначив стороны так, чтобы у нас было

а также

Сегменты из произвольной точки

Внутренняя точка

Рассмотрим любую точку P внутри треугольника с вершинами треугольника, обозначенными A , B и C, и с длинами отрезков, обозначенными PA и т. Д.

и более строго, чем второе из этих неравенств: если - кратчайшая сторона треугольника, то

Также имеем неравенство Птолемея

для внутренней точки P, а также для циклических перестановок вершин.

Если мы проведем перпендикуляры из внутренней точки P к сторонам треугольника, пересекая стороны в точках D , E и F , мы получим

Далее, неравенство Эрдеша – Морделла утверждает, что

с равенством в равностороннем случае. Более строго, неравенство Барроу утверждает, что если внутренние биссектрисы углов во внутренней точке P (а именно, APB , ∠ BPC и ∠ CPA ) пересекают стороны треугольника в точках U , V и W , то

Кроме того, более сильным, чем неравенство Эрдеша – Морделла, является следующее: пусть D, E, F - ортогональные проекции P на BC, CA, AB соответственно, а H, K, L - ортогональные проекции P на касательные к треугольнику. описанная окружность в точках A, B, C соответственно. потом

С ортогональными проекциями H, K, L из P на касательные к описанной окружности треугольника в точках A, B, C соответственно, имеем

где R - радиус описанной окружности.

Снова с расстояниями PD, PE, PF внутренней точки P по сторонам имеем эти три неравенства:

Для внутренней точки P с расстояниями PA, PB, PC от вершин и с площадью треугольника T ,

а также

Для внутренней точки P , центроида G , средних точек L, M, N сторон и полупериметра s ,

Кроме того, для положительных чисел k 1 , k 2 , k 3 и t с t меньше или равным 1:

а при t > 1 имеем

Внутренняя или внешняя точка

Существуют различные неравенства для произвольной внутренней или внешней точки плоскости относительно радиуса r вписанной окружности треугольника. Например,

Другие включают:

для k = 0, 1, ..., 6;

а также

для k = 0, 1, ..., 9.

Кроме того, для описанной окружности R ,

Пусть ABC - треугольник, G - его центроид, а D , E и F - середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC :

Inradius, exradii и окружность

Внутренний и окружной радиус

Неравенство Эйлера для описанной окружности R и inradius г устанавливает , что

с равенством только в равностороннем случае.

Более сильная версия

По сравнению,

где правая сторона может быть положительной или отрицательной.

Два других уточнения неравенства Эйлера:

а также

Еще одно симметричное неравенство

Кроме того,

по полупериметру s ;

по площади Т ;

а также

по полупериметру s ; а также

также с точки зрения полупериметра. Здесь выражение где d - расстояние между центром окружности и центром описанной окружности. В последнем двойном неравенстве первая часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не менее 60 °, а последняя часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине максимум 60 °. Таким образом, оба равны тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.

У нас также есть на любой стороне а

где, если центр описанной окружности находится на вписанной окружности или за ее пределами, и если центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности. Центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности тогда и только тогда, когда

Дальше,

Неравенство Бландона утверждает, что

У нас также есть для всех острых треугольников

Для центра вписанной окружности I пусть AI , BI и CI выходят за пределы I и пересекают описанную окружность в точках D , E и F соответственно. потом

В терминах углов при вершинах имеем

Обозначим танрадиусы треугольника. потом

с равенством только в равностороннем случае, и

с равенством только в равностороннем случае.

Циркумрадиус и другие длины

Для описанного радиуса R имеем

а также

У нас также есть

по высоте,

в терминах медиан, и

по площади.

Кроме того, для центра описанной окружности O пусть прямые AO , BO и CO пересекают противоположные стороны BC , CA и AB в точках U , V и W соответственно. потом

Для острого треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет условию

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Радиус описанной окружности как минимум в два раза больше расстояния между первой и второй точками Брокара B 1 и B 2 :

Inradius, exradii и другие длины

Для внутреннего радиуса r имеем

по высоте, и

по радиусам вневписанных окружностей. У нас дополнительно есть

а также

Экстрадиумы и медианы связаны соотношением

Кроме того, для острого треугольника расстояние между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет условию

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Кроме того, острый треугольник удовлетворяет

через радиус описанной окружности R , опять же с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.

Если внутренние биссектрисы углов A , B , C пересекаются с противоположными сторонами в точках U , V , W, то

Если биссектриса внутреннего угла проходит через центр I до пересечения описанной окружности в точках X , Y и Z, тогда

для описанного радиуса R и

Если вписанная окружность касается сторон в точках D , E , F , то

для полупериметра s .

Вписанные цифры

Вписанный шестиугольник

Если тангенциальный шестиугольник образован путем проведения трех сегментов, касательных к вписанной окружности треугольника и параллельных стороне, так что шестиугольник вписан в треугольник, а его три другие стороны совпадают с частями сторон треугольника, тогда

Вписанный треугольник

Если три точки D, E, F на сторонах AB, BC и CA контрольного треугольника ABC являются вершинами вписанного треугольника, который тем самым разделяет контрольный треугольник на четыре треугольника, то площадь вписанного треугольника больше чем площадь хотя бы одного из других внутренних треугольников, если только вершины вписанного треугольника не находятся в серединах сторон опорного треугольника (в этом случае вписанный треугольник является средним треугольником, а все четыре внутренних треугольника имеют равные площади ):

Выписанные квадраты

Острый треугольник состоит из трех вписанных квадратов , у каждого из которых одна сторона совпадает с частью стороны треугольника и с двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (Прямоугольный треугольник имеет только два различных вписанных квадрата.) Если один из этих квадратов имеет длину стороны x a, а другой - длину стороны x b, причем x a < x b , то

Более того, для любого квадрата, вписанного в любой треугольник, мы имеем

Линия Эйлера

Линия Эйлера треугольника проходит через его ортоцентр , центр описанной окружности и центр тяжести , но не проходит через центр, если треугольник не является равнобедренным . Для всех неравнобедренных треугольников расстояние d от центра до линии Эйлера удовлетворяет следующим неравенствам в терминах самой длинной медианы треугольника v , его самой длинной стороны u и его полупериметра s :

Для всех этих соотношений верхняя граница 1/3 является минимально возможной.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольных треугольниках катеты a и b и гипотенуза c подчиняются следующему с равенством только в равнобедренном случае:

По внутреннему радиусу гипотенуза подчиняется

а по высоте от гипотенузы ноги подчиняются

Равнобедренный треугольник

Если две равные стороны равнобедренного треугольника имеют длину a, а другая сторона имеет длину c , то внутренний биссектриса t угла t от одной из двух равнобедренных вершин удовлетворяет условию

Равносторонний треугольник

Для любой точки P на плоскости равностороннего треугольника ABC расстояния P от вершин PA , PB и PC таковы, что, если P не находится на описанной окружности треугольника , они подчиняются основному неравенству треугольника и, таким образом, сами могут образуют стороны треугольника:

Однако, когда P находится на описанной окружности, сумма расстояний от P до двух ближайших вершин в точности равна расстоянию до самой дальней вершины.

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда для каждой точки P на плоскости с расстояниями PD , PE и PF до сторон треугольника и расстояниями PA , PB и PC до его вершин,

Два треугольника

Неравенство Педо для двух треугольников, один со сторонами a , b и c и площадью T , а другой со сторонами d , e , f и площадью S , гласит, что

с равенством тогда и только тогда, когда два треугольника подобны .

Теорема о шарнире или теорема открытого рта утверждает, что если две стороны одного треугольника совпадают с двумя сторонами другого треугольника, и включенный угол первого больше, чем включенный угол второго, то третья сторона первого треугольника длиннее третьей стороны второго треугольника. То есть, в треугольники ABC и DEF со сторонами через , Ь , с и д , е , F соответственно (с в противоположность A и т.д.), если = д и б = е и угол С > угол Р , то

Справедливо и обратное утверждение: если с > е , то C > F .

Углы в любых двух треугольниках ABC и DEF связаны с помощью функции котангенса согласно формуле

Неевклидовы треугольники

В треугольнике на поверхности сферы , а также в эллиптической геометрии ,

Для гиперболических треугольников это неравенство обратное .

Смотрите также

использованная литература