Линейная система - Linear system

В теории систем , линейная система представляет собой математическую модель из системы , основанной на использовании линейного оператора . Линейные системы обычно обладают функциями и свойствами, которые намного проще, чем в нелинейном случае. В качестве математической абстракции или идеализации линейные системы находят важные приложения в теории автоматического управления , обработке сигналов и телекоммуникациях . Например, среду распространения для систем беспроводной связи часто можно моделировать линейными системами.

Определение

Блок-схема, иллюстрирующая свойство аддитивности для детерминированной системы SISO с непрерывным временем. Система удовлетворяет свойству аддитивности или является аддитивной тогда и только тогда, когда для всех времен и для всех входов и . Щелкните изображение, чтобы развернуть его.${\ Displaystyle у_ {3} (т) = у_ {1} (т) + у_ {2} (т)}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$${\ Displaystyle x_ {2} (т)}$

Блок-схема, иллюстрирующая свойство однородности для детерминированной системы SISO с непрерывным временем. Система удовлетворяет свойству однородности или является однородной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех реальных постоянных и для всех входных данных . Щелкните изображение, чтобы развернуть его.${\ Displaystyle у_ {2} (т) = а \, у_ {1} (т)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции для детерминированной системы SISO с непрерывным временем. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и, таким образом, является линейной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех реальных констант и и для всех входов и . Щелкните изображение, чтобы развернуть его.${\ Displaystyle у_ {3} (т) = а_ {1} \, у_ {1} (т) + а_ {2} \, у_ {2} (т)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$${\ Displaystyle x_ {2} (т)}$

Общая детерминированная система может быть описана оператором H , который отображает вход, x ( t ) , как функцию t, на выход, y ( t ) , тип описания черного ящика .

Система является линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет принципу суперпозиции или, что то же самое, свойствам аддитивности и однородности без ограничений (то есть для всех входных данных, всех масштабных констант и за все время).

Принцип суперпозиции означает, что линейная комбинация входов в систему создает линейную комбинацию отдельных выходов с нулевым состоянием (то есть выходов, устанавливающих начальные условия равными нулю), соответствующих отдельным входам.

В системе, которая удовлетворяет свойству однородности, масштабирование входа всегда приводит к масштабированию отклика в нулевом состоянии с тем же коэффициентом. В системе, которая удовлетворяет свойству аддитивности, добавление двух входов всегда приводит к добавлению соответствующих двух откликов с нулевым состоянием из-за отдельных входов.

Математически, для системы с непрерывным временем, учитывая два произвольных входа

${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$

${\ Displaystyle x_ {2} (т)}$

а также их соответствующие выходы с нулевым состоянием

${\ displaystyle y_ {1} (t) = H \ left \ {x_ {1} (t) \ right \}}$

${\ displaystyle y_ {2} (t) = H \ left \ {x_ {2} (t) \ right \}}$

то линейная система должна удовлетворять

${\ Displaystyle \ альфа y_ {1} (t) + \ beta y_ {2} (t) = H \ left \ {\ alpha x_ {1} (t) + \ beta x_ {2} (t) \ right \ }}$

для любых скалярных значений α и β , для любых входных сигналов x ₁ (t) и x ₂ (t) и для всего времени t .

Затем система определяется уравнением H ( x ( t )) = y ( t ) , где y ( t ) - некоторая произвольная функция времени, а x ( t ) - состояние системы. Учитывая y ( t ) и H , система может быть решена относительно x ( t ) .

Поведение результирующей системы, подвергающейся сложному входу, можно описать как сумму ответов на более простые входные данные. В нелинейных системах такой связи нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования проще, чем решение многих нелинейных систем. Для систем, не зависящих от времени, это основа импульсной характеристики или методов частотной характеристики (см. Теорию систем LTI ), которые описывают общую входную функцию x ( t ) в терминах единичных импульсов или частотных составляющих .

Типичные дифференциальные уравнения линейных систем, не зависящих от времени , хорошо адаптированы для анализа с использованием преобразования Лапласа в непрерывном случае и Z-преобразования в дискретном случае (особенно в компьютерных реализациях).

Другая перспектива состоит в том, что решения линейных систем содержат систему функций, которые действуют как векторы в геометрическом смысле.

Обычно линейные модели используются для описания нелинейных систем путем линеаризации . Обычно это делается для математического удобства.

Предыдущее определение линейной системы применимо к системам SISO (один вход - один выход). Для MIMO ( со многими входами и многими выходами) систем, входных и выходных сигналов векторов ( , , , ) рассматриваются вместо входных и выходных сигналов ( , , , .) ${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1} (т)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} _ {2} (т)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {y}} _ {1} (т)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {y}} _ {2} (т)}$${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$${\ Displaystyle x_ {2} (т)}$${\ Displaystyle у_ {1} (т)}$${\ Displaystyle y_ {2} (т)}$

Это определение линейной системы аналогично определению линейного дифференциального уравнения в исчислении и линейного преобразования в линейной алгебре .

Примеры

Простой гармонический осциллятор удовлетворяет дифференциальное уравнение:

${\ Displaystyle м {\ гидроразрыва {d ^ {2} (x)} {dt ^ {2}}} = - kx}$.

Если

${\ Displaystyle Н (х (т)) = м {\ гидроразрыва {d ^ {2} (х (т))} {dt ^ {2}}} + kx (t)}$,

тогда H - линейный оператор. Положив y ( t ) = 0 , мы можем переписать дифференциальное уравнение в виде H ( x ( t )) = y ( t ) , что показывает, что простой гармонический осциллятор является линейной системой.

Другие примеры линейных систем включают те , которые описаны , , и любой системы , описываемой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы , описанные , , , , , , , и система с выходным нечетной симметрией , состоящими из линейной области и области насыщения (постоянный), являются нелинейными , поскольку они не всегда удовлетворяют принцип суперпозиции. ${\ Displaystyle у (т) = к \, х (т)}$${\ Displaystyle у (т) = к \, {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} х (т)} {\ mathrm {d} t}}}$${\ Displaystyle у (т) = к \, \ int _ {- \ infty} ^ {т} х (\ тау) \ mathrm {д} \ тау}$${\ Displaystyle у (т) = к}$${\ Displaystyle у (т) = к \, х (т) + к_ {0}}$${\ Displaystyle у (т) = \ грех {[х (т)]}}$${\ Displaystyle у (т) = \ соз {[х (т)]}}$${\ Displaystyle у (т) = х ^ {2} (т)}$${\ Displaystyle у (т) = {\ sqrt {х (т)}}}$${\ Displaystyle у (т) = | х (т) |}$

График выходных и входных данных линейной системы не обязательно должен быть прямой линией, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим систему, описываемую (например, конденсатор постоянной емкости или катушка индуктивности постоянной индуктивности ). Он линейный, потому что удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда вход является синусоидой, выход также является синусоидой, и поэтому его график выход-вход представляет собой эллипс с центром в начале координат, а не прямую линию, проходящую через начало координат. ${\ Displaystyle у (т) = к \, {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} х (т)} {\ mathrm {d} t}}}$

Кроме того, выход линейной системы может содержать гармоники (и иметь меньшую основную частоту, чем входная), даже если вход является синусоидой. Например, рассмотрим систему, описанную . Он линейный, потому что удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда вход является синусоидой формы , используя тригонометрические тождества произведения на сумму, можно легко показать, что выход , то есть выход, состоит не только из синусоид той же частоты, что и вход ( 3 рад / с ), но вместо синусоид частот 2 рад / с и 4 рад / с ; кроме того, взяв наименьшее общее кратное основного периода синусоид выходного сигнала, можно показать, что основная угловая частота выходного сигнала равна 1 рад / с , что отличается от входной. ${\ Displaystyle у (т) = (1,5+ \ соз {(т)}) \, х (т)}$${\ Displaystyle х (т) = \ соз {(3t)}}$${\ Displaystyle y (t) = 1,5 \ соз {(3t)} + 0,5 \ соз {(2t)} + 0,5 \ соз {(4t)}}$

Импульсный отклик, изменяющийся во времени

Изменяющихся во времени импульсной характеристикой ч ( т ₂ , т ₁ ) линейной системы определяется как отклик системы в момент времени т = т ₂ до одного импульса применяется в момент времени T = T ₁ . Другими словами, если вход x ( t ) в линейную систему равен

${\ Displaystyle х (т) = \ дельта (т-т_ {1})}$

где δ ( t ) представляет дельта-функцию Дирака , а соответствующий отклик y ( t ) системы равен

${\ Displaystyle у (т) | _ {т = т_ {2}} = ч (т_ {2}, т_ {1})}$

тогда функция h ( t ₂ , t ₁ ) является изменяющейся во времени импульсной характеристикой системы. Поскольку система не может ответить до того, как будет применен вход, должно быть выполнено следующее условие причинности :

${\ displaystyle h (t_ {2}, t_ {1}) = 0, t_ {2} <t_ {1}}$

Интеграл свертки

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности:

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} h (t, t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t, t ') x (t') dt '}$

Если свойства системы не зависят от времени, в которое она работает, то говорят, что она инвариантна во времени, а h является функцией только разницы во времени τ = t - t ', которая равна нулю при τ <0 ( а именно t < t ' ). Путем переопределения h можно записать эквивалентное отношение ввода-вывода любым из способов:

${\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} h (t-t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t-t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) x (t- \ tau) d \ tau = \ int _ {0} ^ { \ infty} ч (\ тау) х (т- \ тау) д \ тау}$

Линейные неизменяющиеся во времени системы обычно характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемой передаточной функцией, которая:

${\ Displaystyle H (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt.}$

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция от s . Поскольку h ( t ) равно нулю для отрицательного t , интеграл также может быть записан в дважды бесконечном диапазоне, и положив s = iω, следует формула для функции частотной характеристики :

${\ Displaystyle H (я \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- я \ omega t} dt}$

Дискретно-временные системы

Выход любой линейной системы с дискретным временем связан с входом изменяющейся во времени сверточной суммой:

${\ displaystyle y [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {n} {h [n, m] x [m]} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} {ч [п, м] х [м]}}$

или эквивалентно для инвариантной во времени системы при переопределении h (),

${\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {h [k] x [nk]} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h [ k] x [nk]}}$

где

${\ Displaystyle к = нм \,}$

представляет собой время задержки между стимулом в момент времени m и ответом во время n .

Смотрите также

• Линейная система дивизоров в алгебраической геометрии
• Система инварианта сдвига
• Линейная инвариантная во времени система
• Нелинейная система
• Системный анализ
• Система линейных уравнений

Рекомендации