Решеточные методы Больцмана - Lattice Boltzmann methods

Методы Lattice Больцмановские (LBM) , возникли из решеточного газа автоматы (LGA) метода (Хардите Помы -Pazzis и Фриш - Hasslacher - Пома модель), является классом вычислительной гидродинамики (CFD) метод для симуляции жидкости . Вместо решения уравнений Навье – СтоксаНепосредственно плотность жидкости на решетке моделируется с помощью процессов течения и столкновения (релаксации). Этот метод является универсальным, так как модельную жидкость можно легко заставить имитировать обычное поведение жидкости, такое как сосуществование пара и жидкости, и таким образом можно моделировать жидкостные системы, такие как жидкие капли. Кроме того, флюиды в сложных средах, таких как пористые среды, могут быть непосредственно смоделированы, тогда как со сложными границами другие методы CFD могут быть трудными для работы.

Воспроизвести медиа

Компьютерное моделирование в двух измерениях с использованием метода решетки Больцмана капли, которая начинает растягиваться и релаксирует до своей равновесной круглой формы.

Алгоритм

LBM - это относительно новый метод моделирования сложных жидкостных систем, который вызвал интерес у исследователей вычислительной физики. В отличие от традиционных методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (т. Е. Массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной решетке. Из-за своей дисперсной природы и локальной динамики LBM имеет несколько преимуществ перед другими традиционными методами CFD, особенно при работе со сложными границами, включая микроскопические взаимодействия и распараллеливание алгоритма. Иное толкование решетки уравнения Больцмана является то , что из дискретных скоростей уравнения Больцмана . Затем численные методы решения системы дифференциальных уравнений в частных производных приводят к дискретному отображению, которое можно интерпретировать как распространение и столкновение фиктивных частиц.

Схема векторов решетки D2Q9 для 2D решетки Больцмана

В алгоритме есть этапы столкновения и потоковой передачи. Они эволюционируют плотность текучей среды , для положения и времени. Поскольку жидкость находится на решетке, плотность имеет количество компонентов, равное количеству векторов решетки, связанных с каждой точкой решетки. В качестве примера здесь показаны векторы решетки для простой решетки, используемой при моделировании в двух измерениях. Эта решетка обычно обозначается D2Q9 для двух измерений и девяти векторов: четыре вектора по северу, востоку, югу и западу, плюс четыре вектора по углам единичного квадрата, плюс вектор с обоими нулевыми компонентами. Тогда, например, вектор , то есть он указывает на юг и поэтому не имеет компонента, кроме компонента . Таким образом, один из девяти компонентов общей плотности в центральной точке решетки - это та часть жидкости, которая движется строго на юг со скоростью в единицах решетки, равной единице. ${\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, т)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle f_ {i}, i = 0, \ ldots, a}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {4} = (0, -1)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle -1}$ ${\ displaystyle f_ {4} ({\ vec {x}}, т)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Тогда шаги, которые развивают жидкость во времени, таковы:

Шаг столкновения: ${\ displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + {\ frac {f_ {i} ^ {eq} ({\ vec {x}}, t) -f_ {i} ({\ vec {x}}, t)} {\ tau _ {f}}} \, \!}$; которая представляет собой модель Бхатнагара Гросса и Крука (BGK) для релаксации к равновесию посредством столкновений между молекулами жидкости. - равновесная плотность вдоль направления i при плотности тока там. Модель предполагает, что жидкость локально релаксирует до равновесия в течение характерного периода времени . Эта шкала времени определяет кинематическую вязкость , чем она больше, тем больше кинематическая вязкость. ${\ displaystyle f_ {i} ^ {eq} ({\ vec {x}}, т)}$ ${\ displaystyle \ tau _ {f}}$
Шаг потоковой передачи: ${\ displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, т) \, \!}$; По определению, плотность жидкости в определенный момент времени , которая движется со скоростью, равной одному временному шагу, затем на следующем временном шаге она потечет к точке . ${\ displaystyle f_ {я} ({\ vec {x}}, т)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle т + \ дельта _ {т}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {я}}$

Преимущества

LBM была разработана с нуля для эффективной работы на архитектурах с массовым параллелизмом , начиная от недорогих встроенных FPGA и DSP до графических процессоров, гетерогенных кластеров и суперкомпьютеров (даже с медленной сетью межсоединений). Это позволяет использовать сложную физику и сложные алгоритмы. Эффективность ведет к качественно новому уровню понимания, поскольку позволяет решать проблемы, к которым ранее невозможно было подойти (или только с недостаточной точностью).
Этот метод основан на молекулярном описании жидкости и может напрямую включать физические термины, вытекающие из знания взаимодействия между молекулами. Следовательно, это незаменимый инструмент в фундаментальных исследованиях, поскольку он сокращает цикл между разработкой теории и формулировкой соответствующей численной модели.
Автоматизированная предварительная обработка данных и создание решетки за время, которое составляет небольшую часть от общего моделирования.
Параллельный анализ данных, постобработка и оценка.
Полностью разрешенный многофазный поток с мелкими каплями и пузырьками.
Полностью решенный поток через сложные геометрические формы и пористые среды.
Сложный, сопряженный поток с теплопередачей и химическими реакциями.

Ограничения

Несмотря на растущую популярность LBM при моделировании сложных жидкостных систем, этот новый подход имеет некоторые ограничения. В настоящее время течения с высокими числами Маха в аэродинамике для LBM по-прежнему затруднены, а последовательная термогидродинамическая схема отсутствует. Однако, как и в случае с CFD на основе Навье – Стокса, методы LBM были успешно объединены с решениями для конкретных температур, чтобы обеспечить возможность моделирования теплопередачи (проводимости, конвекции и излучения на основе твердых тел). Для многофазных / многокомпонентных моделей толщина границы раздела обычно велика, а соотношение плотностей на границе раздела мало по сравнению с реальными жидкостями. Недавно эта проблема была решена Юань и Шефер, которые улучшили модели Шань и Чен, Свифт и Хе, Чен и Чжан. Они смогли достичь соотношения плотностей 1000: 1, просто изменив уравнение состояния . Было предложено применить преобразование Галилея для преодоления ограничений моделирования высокоскоростных потоков жидкости. Тем не менее, широкое применение и быстрое развитие этого метода в течение последних двадцати лет доказали его потенциал в вычислительной физике, включая микрофлюидику : LBM демонстрирует многообещающие результаты в области потоков с большим числом Кнудсена .

Разработка по методу LGA

LBM возникла из метода решеточных газовых автоматов (LGA), который можно рассматривать как упрощенную фиктивную модель молекулярной динамики, в которой пространство, время и скорости частиц дискретны. Например, в 2-мерной модели FHP каждый узел решетки связан со своими соседями шестью скоростями решетки на треугольной решетке; в узле решетки может находиться 0 или 1 частица, движущаяся с заданной скоростью решетки. Через некоторый промежуток времени каждая частица переместится к соседнему узлу в своем направлении; этот процесс называется этапом распространения или потоковой передачи. Когда более одной частицы прибывают в один и тот же узел с разных направлений, они сталкиваются и меняют свои скорости в соответствии с набором правил столкновения. Шаги потоковой передачи и шаги столкновения чередуются. Подходящие правила столкновения должны сохранять количество (массу), импульс и энергию частиц до и после столкновения. LGA страдает несколькими врожденными дефектами для использования в гидродинамическом моделировании: отсутствие галилеевой инвариантности для быстрых потоков, статистический шум и плохое масштабирование числа Рейнольдса с размером решетки. LGA, однако, хорошо подходят для упрощения и расширения возможностей моделей реакционной диффузии и молекулярной динамики .

Основной мотивацией перехода от LGA к LBM было желание устранить статистический шум путем замены логического числа частиц в направлении решетки его средним по ансамблю, так называемой функцией распределения плотности. Вместе с этой заменой правило дискретного столкновения также заменяется непрерывной функцией, известной как оператор столкновения. При разработке LBM важным упрощением является аппроксимация оператора столкновения с релаксационным членом Бхатнагара-Гросса-Крука (BGK). Эта решетчатая модель BGK (LBGK) делает моделирование более эффективным и обеспечивает гибкость транспортных коэффициентов. С другой стороны, было показано, что схему LBM также можно рассматривать как специальную дискретизированную форму непрерывного уравнения Больцмана. Из теории Чепмена-Энскога можно восстановить основные уравнения непрерывности и Навье-Стокса с помощью алгоритма LBM.

Решетки и классификация D n Q m

Решеточные модели Больцмана могут работать с множеством различных решеток, как кубических, так и треугольных, и с остальными частицами в дискретной функции распределения или без них.

Популярным способом классификации различных методов по решетке является схема D n Q m . Здесь «D n » обозначает « n размеров», а «Q m » обозначает « m скоростей». Например, D3Q15 представляет собой трехмерную решетчатую модель Больцмана на кубической сетке с присутствующими остальными частицами. Каждый узел имеет форму кристалла и может доставлять частицы к 15 узлам: каждому из 6 соседних узлов, которые имеют общую поверхность, 8 соседним узлам, имеющим общий угол, и самому себе. (Модель D3Q15 не содержит частиц, движущихся к 12 соседним узлам, имеющим общую границу; добавление их создало бы модель «D3Q27».)

Реальные величины, такие как пространство и время, необходимо преобразовать в единицы решетки до моделирования. Безразмерные величины, такие как число Рейнольдса , остаются прежними.

Преобразование решетчатых единиц

В большинстве симуляций решетки Больцмана является базовой единицей для шага решетки, поэтому, если область длины имеет элементы решетки по всей ее длине, пространственная единица просто определяется как . Скорости в моделировании решеточной Больцмана обычно выражаются в единицах скорости звука. Таким образом, дискретная единица времени может быть задана как , где знаменатель - это физическая скорость звука. ${\ displaystyle \ delta _ {x} \, \!}$ ${\ Displaystyle L \, \!}$ ${\ Displaystyle N \, \!}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x} = L / N \, \!}$ ${\ displaystyle \ delta _ {t} = {\ frac {\ delta _ {x}} {C_ {s}}} \, \!}$ ${\ displaystyle C_ {s}}$

Для мелкомасштабных потоков (например, наблюдаемых в механике пористых сред ) работа с истинной скоростью звука может привести к неприемлемо коротким временным шагам. Поэтому принято повышать число Маха решетки до значения, намного большего, чем реальное число Маха, и компенсировать это за счет увеличения вязкости , чтобы сохранить число Рейнольдса .

Моделирование смесей

Моделирование многофазных / многокомпонентных потоков всегда было проблемой для обычного CFD из-за движущихся и деформируемых поверхностей раздела . В более фундаментальном плане границы раздела между различными фазами (жидкость и пар) или компонентами (например, нефть и вода) возникают в результате специфических взаимодействий между молекулами жидкости. Поэтому такие микроскопические взаимодействия трудно реализовать в макроскопическом уравнении Навье – Стокса. Однако в LBM кинетика частиц обеспечивает относительно простой и последовательный способ включения лежащих в основе микроскопических взаимодействий путем изменения оператора столкновения. Было разработано несколько многофазных / многокомпонентных моделей LBM. Здесь фазовое разделение генерируется автоматически из динамики частиц, и никакой специальной обработки не требуется для манипулирования границами раздела, как в традиционных методах CFD. Успешные применения многофазных / многокомпонентных моделей LBM можно найти в различных сложных жидкостных системах, включая нестабильность границ раздела, динамику пузырьков / капель , смачивание твердых поверхностей, межфазное скольжение и электрогидродинамические деформации капель.

Недавно была предложена решеточная модель Больцмана для моделирования горения газовой смеси, способная выдерживать значительные изменения плотности в режиме низкого числа Маха.

В связи с этим стоит отметить, что, поскольку LBM имеет дело с большим набором полей (по сравнению с обычным CFD), моделирование реактивных газовых смесей представляет некоторые дополнительные проблемы с точки зрения потребности в памяти, поскольку большие детализированные механизмы горения обеспокоены. Однако эти проблемы можно решить, прибегнув к методам систематической редукции моделей.

Метод тепловой решетки-Больцмана

В настоящее время (2009 г.) метод тепловой решетки-Больцмана (TLBM) подпадает под одну из трех категорий: многоскоростной подход, пассивный скалярный подход и распределение тепловой энергии.

Вывод уравнения Навье – Стокса из дискретной LBE.

Начнем с уравнения Больцмана на дискретной решетке (также называемого уравнением ЛБГК из-за используемого оператора столкновения). Сначала мы выполняем разложение в ряд Тейлора 2-го порядка по левой стороне LBE. Это выбрано вместо более простого разложения Тейлора 1-го порядка, поскольку дискретный LBE не может быть восстановлен. При выполнении разложения в ряд Тейлора 2-го порядка член с нулевой производной и первый член справа отменяются, оставляя только первую и вторую производные члены разложения Тейлора и оператора столкновения:

{\ displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) = f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + {\ frac {\ delta _ {t}} {\ tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}

Для простоты напишите как . Слегка упрощенное расширение ряда Тейлора выглядит следующим образом, где ":" - произведение двоеточия между диадами: ${\ displaystyle f_ {я} ({\ vec {x}}, т)}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial t}} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} + \ left ({\ frac {1} {2}} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}: \ nabla \ nabla f_ {i} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ набла {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {i}} {\ partial t ^ { 2}}} \ right) = {\ frac {1} {\ tau}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}

Разложив функцию распределения частиц на равновесные и неравновесные компоненты и используя разложение Чепмена-Энскога, где - число Кнудсена, расширенная по Тейлору LBE может быть разложена на различные величины порядка числа Кнудсена для получения надлежащего уравнения континуума: ${\ displaystyle K}$

{\ displaystyle f_ {i} = f_ {i} ^ {\ text {eq}} + Kf_ {i} ^ {\ text {neq}},}

{\ displaystyle f_ {i} ^ {\ text {neq}} = f_ {i} ^ {(1)} + Kf_ {i} ^ {(2)} + O (K ^ {2}).}

Равновесные и неравновесные распределения удовлетворяют следующим соотношениям с их макроскопическими переменными (они будут использоваться позже, когда распределения частиц будут в «правильной форме» для масштабирования от частицы до макроскопического уровня):

{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ text {eq}},}

{\ displaystyle \ rho {\ vec {u}} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ text {eq}} {\ vec {e}} _ {i},}

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} \ qquad {\ text {for}} k = 1,2,}

{\ displaystyle 0 = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} {\ vec {e}} _ {i}.}

Таким образом, расширение Чепмена-Энскога:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} = K {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {1}}} + K ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial t_ {2}}} \ qquad {\ text {for}} t_ {2} ({\ text {диффузная шкала времени}}) \ ll t_ {1} ({\ text {конвективная шкала времени}}), }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} = K {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}.}

Подставляя расширенное равновесие и неравновесие в разложение Тейлора и разделяя их на разные порядки , уравнения континуума почти выводятся. ${\ displaystyle K}$

Для заказа : ${\ displaystyle K ^ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} {\ partial t_ {1}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla _ {1} f_ {i} ^ {\ text {eq}} = - {\ frac {f_ {i} ^ {(1)}} {\ tau}}.}.

Для заказа : ${\ displaystyle K ^ {1}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {(1)}} {\ partial t_ {1}}} + {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} { \ partial t_ {2}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla f_ {i} ^ {(1)} + {\ frac {1} {2}} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}: \ nabla \ nabla f_ {i} ^ {\ text {eq}} + {\ vec {e}} _ {i} \ cdot \ nabla {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} {\ partial t_ {1}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {i } ^ {\ text {eq}}} {\ partial t_ {1} ^ {2}}} = - {\ frac {f_ {i} ^ {(2)}} {\ tau}}.}

Затем второе уравнение можно упростить с помощью некоторой алгебры и первое уравнение до следующего:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i} ^ {\ text {eq}}} {\ partial t_ {2}}} + \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ вправо) \ влево [{\ frac {\ partial f_ {i} ^ {(1)}} {\ partial t_ {1}}} + {\ vec {e}} _ {i} \ nabla _ {1} f_ {i} ^ {(1)} \ right] = - {\ frac {f_ {i} ^ {(2)}} {\ tau}}.}.

Применяя соотношения между функциями распределения частиц и макроскопическими свойствами сверху, получаем уравнения массы и импульса:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ rho {\ vec {u}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho {\ vec {u}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ Pi = 0.}

Тогда тензор потока импульса имеет следующий вид: ${\ displaystyle \ Pi}$

{\ displaystyle \ Pi _ {xy} = \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} \ left [f_ {i} ^ {eq} + \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ right) f_ {i} ^ {(1)} \ right],}

где является сокращением для квадрата суммы всех компонентов (т.е. ), а равновесное распределение частиц со вторым порядком, сравнимым с уравнением Навье – Стокса, выглядит следующим образом: ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ left (\ sum _ {x} {\ vec {e}} _ {ix} \ right) ^ {2} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} {\ vec {e }} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy}}$

{\ displaystyle f_ {i} ^ {\ text {eq}} = \ omega _ {i} \ rho \ left (1 + {\ frac {{\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}) }} {c_ {s} ^ {2}}} + {\ frac {({\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}) ^ {2}} {2c_ {s} ^ { 4}}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2c_ {s} ^ {2}}} \ right).}

Равновесное распределение справедливо только для малых скоростей или малых чисел Маха . Вставка равновесного распределения обратно в тензор потока приводит к:

{\ displaystyle \ Pi _ {xy} ^ {(0)} = \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ { eq} = p \ delta _ {xy} + \ rho u_ {x} u_ {y},}

{\ displaystyle \ Pi _ {xy} ^ {(1)} = \ left (1 - {\ frac {1} {2 \ tau}} \ right) \ sum _ {i} {\ vec {e}} _ {ix} {\ vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ {(1)} = \ nu \ left (\ nabla _ {x} \ left (\ rho {\ vec {u}} _ { y} \ right) + \ nabla _ {y} \ left (\ rho {\ vec {u}} _ {x} \ right) \ right).}

Наконец, уравнение Навье – Стокса восстанавливается в предположении, что изменение плотности невелико:

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {u}} _ {x}} {\ partial t}} + \ nabla _ {y} \ cdot {\ vec {u}} _ { x} {\ vec {u}} _ {y} \ right) = - \ nabla _ {x} p + \ nu \ nabla _ {y} \ cdot \ left (\ nabla _ {x} \ left (\ rho { \ vec {u}} _ {y} \ right) + \ nabla _ {y} \ left (\ rho {\ vec {u}} _ {x} \ right) \ right).}

Этот вывод следует за работой Чена и Дулена.

Математические уравнения для моделирования

Непрерывное уравнение Больцмана представляет собой уравнение эволюции для функции распределения вероятностей одной частицы, а функция распределения плотности внутренней энергии (He et al.) Соответственно: ${\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$

{\ displaystyle \ partial _ {t} е + ({\ vec {e}} \ cdot \ nabla) f + F \ partial _ {v} f = \ Omega (f),}

{\ displaystyle \ partial _ {t} g + ({\ vec {e}} \ cdot \ nabla) g + G \ partial _ {v} f = \ Omega (g),}

где связано с ${\ displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t)}$

{\ displaystyle g ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t) = {\ frac {({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2}} f ({\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {i}, t),}

${\ displaystyle F}$ - внешняя сила, - интеграл столкновений и (также обозначается в литературе) - микроскопическая скорость. Внешняя сила связана с температурной внешней силой следующим соотношением. Типичным тестом для одной модели является конвекция Рэлея – Бенара для . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ vec {e}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle F = {\ frac {{\ vec {G}} \ cdot ({\ vec {e}} - {\ vec {u}})} {RT}} f ^ {\ text {eq}}, }

{\ displaystyle {\ vec {G}} = \ beta g_ {0} (T-T_ {avg}) {\ vec {k}}.}

Макроскопические переменные, такие как плотность , скорость и температура, могут быть вычислены как моменты функции распределения плотности: ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ rho = \ int е \, d {\ vec {e}},}

{\ displaystyle \ rho {\ vec {u}} = \ int {\ vec {e}} f \, d {\ vec {e}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ rho DRT} {2}} = \ rho \ epsilon = \ int g \, d {\ vec {e}}.}

Решеточный метод Больцмана дискретизирует это уравнение, ограничивая пространство решеткой, а пространство скоростей - дискретным набором микроскопических скоростей (т.е. ). Микроскопические скорости в D2Q9, D3Q15 и D3Q19, например, представлены как: ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = ({\ vec {e}} _ {ix}, {\ vec {e}} _ {iy})}$

{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {case} (0,0) & i = 0 \\ (1,0), (0,1), (- 1, 0), (0, -1) & i = 1,2,3,4 \\ (1,1), (- 1,1), (- 1, -1), (1, -1) & i = 5 , 6,7,8 \\\ end {case}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {cases} (0,0,0) & i = 0 \\ (\ pm 1,0,0), (0, \ pm 1,0), (0,0, \ pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 \\ (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1) & i = 7,8 ,. .., 13,14 \\\ end {case}}}

{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i} = c \ times {\ begin {cases} (0,0,0) & i = 0 \\ (\ pm 1,0,0), (0, \ pm 1,0), (0,0, \ pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 \\ (\ pm 1, \ pm 1,0), (\ pm 1,0, \ pm 1), (0, \ pm 1, \ pm 1) & i = 7,8, ..., 17,18 \\\ end {case}}}

Однофазное дискретизированное уравнение Больцмана для плотности массы и плотности внутренней энергии:

{\ displaystyle f_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - f_ {i} ({\ vec {x}}, t) + F_ {i} = \ Omega (f),}

{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - g_ {i} ({\ vec {x}}, t) + G_ {i} = \ Omega (g).}

Оператор столкновения часто аппроксимируется оператором столкновения BGK при условии, что он также удовлетворяет законам сохранения:

{\ displaystyle \ Omega (f) = {\ frac {1} {\ tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {\ text {eq}} - f_ {i}),}

{\ displaystyle \ Omega (g) = {\ frac {1} {\ tau _ {g}}} (g_ {i} ^ {\ text {eq}} - g_ {i}).}

В операторе столкновения есть дискретная равновесная функция распределения вероятностей частиц . В D2Q9 и D3Q19 это показано ниже для несжимаемого потока в непрерывной и дискретной форме, где D , R и T - размерность, универсальная газовая постоянная и абсолютная температура соответственно. Частный вывод для непрерывной или дискретной формы обеспечивается простым выводом до второго порядка точности. ${\ displaystyle f_ {i} ^ {\ text {eq}}}$

{\ displaystyle f ^ {\ text {eq}} = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}) } - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}

{\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} e ^ {{\ frac {{\ vec {e}} {\ vec {u}}} {RT}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} }}

{\ displaystyle = {\ frac {\ rho} {(2 \ pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} \ left (1 + {\ frac {{\ vec {e}} {\ vec {u}}} {RT}} + {\ frac {({\ vec {e}} {\ vec {u}) }) ^ {2}} {2 (RT) ^ {2}}} - {\ frac {{\ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} + ... \ right)}

Сдача дает конечный результат: ${\ displaystyle c = {\ sqrt {3RT}}}$

{\ displaystyle f_ {i} ^ {eq} = \ omega _ {i} \ rho \ left (1 + {\ frac {3 {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}} { c ^ {2}}} + {\ frac {9 ({\ vec {e}} _ {i} {\ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {4}}} - {\ frac {3 ({\ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle g ^ {eq} = {\ frac {\ rho ({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2 (2 \ pi RT) ^ {D / 2 }}} e ^ {- {\ frac {({\ vec {e}} - {\ vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ begin {case} 4/9 & i = 0 \\ 1/9 & i = 1,2,3,4 \\ 1/36 & i = 5,6,7,8 \\\ конец {case}}}

{\ displaystyle \ omega _ {i} = {\ begin {case} 1/3 & i = 0 \\ 1/18 & i = 1,2, ..., 5,6 \\ 1/36 & i = 7,8, .. ., 17,18 \\\ end {case}}}

Поскольку над однокомпонентным потоком уже проделано много работы, будет обсуждаться следующая TLBM. Многокомпонентный / многофазный TLBM также более интересен и полезен, чем просто один компонент. Чтобы соответствовать текущим исследованиям, определите набор всех компонентов системы (например, стенки из пористой среды, несколько жидкостей / газов и т. Д.) С элементами . ${\ displaystyle \ Psi}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j}}$

{\ displaystyle f_ {i} ^ {\ sigma} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i} \ delta _ {t}, t + \ delta _ {t}) - f_ { i} ^ {\ sigma} ({\ vec {x}}, t) + F_ {i} = {\ frac {1} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} (f_ {i} ^ {\ sigma, eq} (\ rho ^ {\ sigma}, v ^ {\ sigma}) - f_ {i} ^ {\ sigma})}

Параметр релаксации, , связан с кинематической вязкостью , , следующим соотношением: ${\ displaystyle \ tau _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} \, \!}$ ${\ displaystyle \ nu _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} \, \!}$

{\ displaystyle \ nu _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} = (\ tau _ {f} ^ {\ sigma _ {j}} - 0,5) c_ {s} ^ {2} \ delta _ { t}.}

В моменты из дают местные сохраняющиеся величины. Плотность определяется как ${\ displaystyle f_ {i} \, \!}$

{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {\ sigma} \ sum _ {i} f_ {i} \, \!}

{\ displaystyle \ rho \ epsilon = \ sum _ {i} g_ {i} \, \!}

{\ displaystyle \ rho ^ {\ sigma} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ sigma} \, \!}

а средневзвешенная скорость, и местный импульс задаются выражениями ${\ displaystyle {\ vec {u '}} \, \!}$

{\ displaystyle {\ vec {u '}} = \ left (\ sum _ {\ sigma} {\ frac {\ rho ^ {\ sigma} {\ vec {u ^ {\ sigma}}}} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} \ right) / \ left (\ sum _ {\ sigma} {\ frac {\ rho ^ {\ sigma}} {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}}} \Правильно)}

{\ displaystyle \ rho ^ {\ sigma} {\ vec {u ^ {\ sigma}}} = \ sum _ {i} f_ {i} ^ {\ sigma} {\ vec {e}} _ {i}. }

{\ displaystyle v ^ {\ sigma} = {\ vec {u '}} + {\ frac {\ tau _ {f} ^ {\ sigma}} {\ rho ^ {\ sigma}}} {\ vec {F }} ^ {\ sigma}}

В приведенном выше уравнении для равновесной скорости , то термин сила взаимодействия между компонентом и другими компонентами. Это до сих пор является предметом многочисленных дискуссий, поскольку обычно это параметр настройки, который определяет, как взаимодействуют жидкость-жидкость, жидкость-газ и т. Д. Франк и др. перечислить текущие модели для этого срока действия силы. Обычно используемые производные - это хромодинамическая модель Ганстенсена, подход Свифта, основанный на свободной энергии как для систем жидкость / пар, так и для бинарных жидкостей, модель, основанная на межмолекулярном взаимодействии He, подход Инамуро и подход Ли и Линя. ${\ Displaystyle v ^ {\ sigma} \, \!}$ ${\ Displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} \, \!}$

Ниже приводится общее описание, данное несколькими авторами. ${\ Displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} \, \!}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {\ sigma} = - \ psi ^ {\ sigma} ({\ vec {x}}) \ sum _ {\ sigma _ {j}} H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') \ sum _ {i} \ psi ^ {\ sigma _ {j}} ({\ vec {x}} + {\ vec {e}} _ {i}) {\ vec {e}} _ {i} \, \!}$

${\ displaystyle \ psi ({\ vec {x}}) \, \!}$ - эффективная масса и функция Грина, представляющая межчастичное взаимодействие с соседним узлом. Удовлетворение и где представляет силы отталкивания. Для D2Q9 и D3Q19 это приводит к ${\ Displaystyle Н ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') \, \!}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} '\, \!}$ ${\ displaystyle H ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = H ({\ vec {x}}', {\ vec {x}}) \, \!}$ ${\ displaystyle H ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ')> 0 \, \!}$

${\ displaystyle H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = {\ begin {case} h ^ {\ sigma \ sigma _ {j }} & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}} '\ right | \ leq c \\ 0 & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}}' \ right |> c \\\ end {case}}}$

${\ displaystyle H ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} ({\ vec {x}}, {\ vec {x}} ') = {\ begin {case} h ^ {\ sigma \ sigma _ {j }} & \ left | {\ vec {x}} - {\ vec {x}} '\ right | = c \\ h ^ {\ sigma \ sigma _ {j}} / 2 & \ left | {\ vec { x}} - {\ vec {x}} '\ right | = {\ sqrt {2c}} \\ 0 & {\ text {иначе}} \\\ end {case}}}$

Эффективная масса, предложенная Шаном и Ченом, использует следующую эффективную массу для однокомпонентной многофазной системы . Уравнение состояния также дано при условии одного компонента и многофазных.

{\ Displaystyle \ psi ({\ vec {x}}) = \ psi (\ rho ^ {\ sigma}) = \ rho _ {0} ^ {\ sigma} \ left [1-e ^ {(- \ rho ^ {\ sigma} / \ rho _ {0} ^ {\ sigma})} \ right] \, \!}

{\ displaystyle p = c_ {s} ^ {2} \ rho + c_ {0} h [\ psi ({\ vec {x}})] ^ {2} \, \!}

На данный момент кажется, что и являются свободными константами для настройки, но после включения в уравнение состояния системы (EOS) они должны удовлетворять термодинамическим соотношениям в критической точке, таким как и . Для EOS это 3,0 для D2Q9 и D3Q19, а для D3Q15 - 10,0. ${\ Displaystyle \ rho _ {0} ^ {\ sigma} \, \!}$ ${\ Displaystyle ч ^ {\ сигма \ сигма _ {j}} \, \!}$ ${\ displaystyle (\ partial P / \ partial {\ rho}) _ {T} = (\ partial ^ {2} P / \ partial {\ rho ^ {2}}) _ {T} = 0 \, \! }$ ${\ Displaystyle р = р_ {с} \, \!}$ ${\ displaystyle c_ {0} \, \!}$

Позже Юань и Шефер показали, что эффективная массовая плотность должна быть изменена для более точного моделирования многофазного потока. Они сравнили Шань и Чен (SC), Карнахан-Скворец (C – S), Ван дер Ваальс (vdW), Redlich – Kwong (R – K), Redlich – Kwong Soave (RKS) и Peng – Robinson (P– R) EOS. Их результаты показали, что SC EOS было недостаточным и что C – S, P – R, R – K и RKS EOS более точны при моделировании многофазного потока одного компонента.

Для популярных изотермических решеточных методов Больцмана это единственные сохраняющиеся величины. Тепловые модели также экономят энергию и, следовательно, имеют дополнительное количество сбережений:

{\ displaystyle \ rho \ theta + \ rho uu = \ sum _ {i} f_ {i} {\ vec {e}} _ {i} {\ vec {e}} _ {i}.}

Приложения

За последние годы LBM зарекомендовала себя как мощный инструмент для решения задач разной длины и времени. Некоторые из приложений LBM включают:

Потоки пористой среды
Биомедицинские потоки
Науки о Земле (Почвенная фильтрация).
Энергетические науки (топливные элементы).

внешние ссылки

дальнейшее чтение

Дойч, Андреас; Сабина Дорманн (2004). Моделирование формирования биологического паттерна клеточным автоматом . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4281-5.
Суччи, Сауро (2001). Решеточное уравнение Больцмана для динамики жидкости и не только . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850398-9.
Вольф-Гладроу, Дитер (2000). Ячеистые автоматы на решетке и газе и решеточные модели Больцмана . Springer Verlag . ISBN 978-3-540-66973-9.
Сукоп, Майкл С .; Дэниел Т. Торн младший (2007). Моделирование Больцмана на решетке: Введение для геофизиков и инженеров . Springer . ISBN 978-3-540-27981-5.
Цзянь Го Чжоу (2004). Решеточные методы Больцмана для течений мелкой воды . Springer . ISBN 978-3-540-40746-1.
Хе Х., Чен С., Дулен Г. (1998). Новая тепловая модель решеточного метода Больцмана в пределе несжимаемости . Академическая пресса .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Guo, ZL; Шу, C (2013). Решеточный метод Больцмана и его приложения в технике . Мировое научное издательство .
Huang, H .; МЦ Сукоп; XY. Лу (2015). Многофазные решеточные методы Больцмана: теория и применение . Вили-Блэквелл . ISBN 978-1-118-97133-8.
Krüger, T .; Kusumaatmaja, H .; Кузьмин А .; Shardt, O .; Silva, G .; Вигген, Э.М. (2017). Решеточный метод Больцмана: принципы и практика . Springer Verlag . ISBN 978-3-319-44647-9.

Примечания

^ ^a ^b ^c Чен, Шии; Дулен, Гэри Д. (1998). «Решеточный метод Больцмана для потоков жидкости». Ежегодный обзор гидромеханики . 30 (1): 329–364. Bibcode : 1998AnRFM..30..329C . DOI : 10.1146 / annurev.fluid.30.1.329 . ISSN 0066-4189 .
^ Бхатнагар, PL; Гросс, EP; Крук, М. (1954-05-01). «Модель столкновительных процессов в газах. I. Малоамплитудные процессы в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Физический обзор . 94 (3): 511–525. Bibcode : 1954PhRv ... 94..511B . DOI : 10.1103 / PhysRev.94.511 . ISSN 0031-899X .
^ Амир Х. Хеджрипур, Дэвид П. Каллаган и Том Э. Болдок, Обобщенное преобразование решеточного метода Больцмана для потоков мелкой воды, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881
^ Суччи, стр. 68
^ Суччи, Приложение D (стр. 261-262)
^ Succi, глава 8.3, стр. 117-119
^ Ди Риенцо, А. Фабио; Асинари, Пьетро; Кьяваццо, Элиодоро; Прасианакис, Николаос; Манцарас, Джон (2012). «Решетчатая модель Больцмана для моделирования реактивного потока» (PDF) . EPL . 98 (3): 34001. Bibcode : 2012EL ..... 9834001D . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 98/34001 .
^ Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булучос, Константинос (2010). «Сочетание метода редукции модели с методом решетки Больцмана для моделирования горения». Гореть. Пламя . 157 (10): 1833–1849. DOI : 10.1016 / j.combustflame.2010.06.009 .
^ Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булушос, Константинос (2012). «Эффективное моделирование детальных полей горения с помощью метода Больцмана на решетке» . Международный журнал численных методов тепловых и жидкостных потоков . 21 (5): 494–517. DOI : 10.1108 / 09615531111135792 .
^ Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булучос, Константинос (2009). «Моделирование горения через решетку Больцмана и восстановленную химическую кинетику». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (6): P06013. Bibcode : 2009JSMTE..06..013C . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/06 / P06013 .
^ Макнамара, Г., Гарсия, А., и Алдер, Б., "Гидродинамически правильная модель Больцмана на тепловой решетке", Журнал статистической физики, вып. 87, нет. 5. С. 1111-1121, 1997.
^ Шан, X., " Моделирование конвекции Рэлея-Бенара с использованием метода решетки Больцмана ", Physical Review E, vol. 55, стр. 2780-2788, Американское физическое общество, 1997.
^ He, X., Chen, S., и Doolen, GD, " Новая тепловая модель для решеточного метода Больцмана в пределе несжимаемой жидкости ", Journal of Computational Physics, vol. 146, стр. 282-300, 1998.
^ Chen, S., и Doolen, GD, " Lattice Больцмана Метод Fluid потоков ", Годовой обзор Fluid Mechanics, вып. 30, стр. 329–364, 1998.
^ Франк, X., Алмейда, Г., Перре, П., " Многофазный поток в сосудистой системе древесины: от микроскопических исследований до экспериментов Больцмана с трехмерной решеткой ", Международный журнал многофазного потока, том. 36, стр. 599-607, 2010.
^ Юань, П., Шефер, Л., "Уравнения состояния в решетчатой модели Больцмана", Physics of Fluids, vol. 18, 2006.
^ Хартинг, Дж., Чин, Дж., Маддалена, В., Ковени, П., " Моделирование сложных жидкостей на крупномасштабной решетке Больцмана: успехи благодаря появлению вычислительных гридов ", Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. . 363, стр. 1895–1915 2005.
^ Юань, П., Шефер, Л., " Модель двухфазного потока Больцмана с тепловой решеткой и ее применение к проблемам теплопередачи - Часть 1. Теоретические основы ", Journal of Fluid Engineering 142-150, vol. 128, 2006.
^ Юань, P .; Шефер, Л. (2006). «Уравнения состояния в решетчатой модели Больцмана». Физика жидкостей . 18 (4): 042101–042101–11. Bibcode : 2006PhFl ... 18d2101Y . DOI : 10.1063 / 1.2187070 .
^ Эспиноза, Mayken (2015). «Влияние сжатия на пористость, извилистость газовой фазы и газопроницаемость в смоделированном газодиффузионном слое PEM». Международный журнал энергетических исследований . 39 (11): 1528–1536. DOI : 10.1002 / er.3348 .

[:0-1] Чен, Шии; Дулен, Гэри Д. (1998). «Решеточный метод Больцмана для потоков жидкости». Ежегодный обзор гидромеханики . 30 (1): 329–364. Bibcode : 1998AnRFM..30..329C . DOI : 10.1146 / annurev.fluid.30.1.329 . ISSN 0066-4189 .

[2] Бхатнагар, PL; Гросс, EP; Крук, М. (1954-05-01). «Модель столкновительных процессов в газах. I. Малоамплитудные процессы в заряженных и нейтральных однокомпонентных системах». Физический обзор . 94 (3): 511–525. Bibcode : 1954PhRv ... 94..511B . DOI : 10.1103 / PhysRev.94.511 . ISSN 0031-899X .

[3] Амир Х. Хеджрипур, Дэвид П. Каллаган и Том Э. Болдок, Обобщенное преобразование решеточного метода Больцмана для потоков мелкой воды, https://doi.org/10.1080/00221686.2016.1168881

[4] Суччи, стр. 68

[5] Суччи, Приложение D (стр. 261-262)

[6] Succi, глава 8.3, стр. 117-119

[7] Ди Риенцо, А. Фабио; Асинари, Пьетро; Кьяваццо, Элиодоро; Прасианакис, Николаос; Манцарас, Джон (2012). «Решетчатая модель Больцмана для моделирования реактивного потока» (PDF) . EPL . 98 (3): 34001. Bibcode : 2012EL ..... 9834001D . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 98/34001 .

[8] Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булучос, Константинос (2010). «Сочетание метода редукции модели с методом решетки Больцмана для моделирования горения». Гореть. Пламя . 157 (10): 1833–1849. DOI : 10.1016 / j.combustflame.2010.06.009 .

[9] Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булушос, Константинос (2012). «Эффективное моделирование детальных полей горения с помощью метода Больцмана на решетке» . Международный журнал численных методов тепловых и жидкостных потоков . 21 (5): 494–517. DOI : 10.1108 / 09615531111135792 .

[10] Кьяваццо, Элиодоро; Карлин, Илья; Горбань Александр; Булучос, Константинос (2009). «Моделирование горения через решетку Больцмана и восстановленную химическую кинетику». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (6): P06013. Bibcode : 2009JSMTE..06..013C . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2009/06 / P06013 .

[11] Макнамара, Г., Гарсия, А., и Алдер, Б., "Гидродинамически правильная модель Больцмана на тепловой решетке", Журнал статистической физики, вып. 87, нет. 5. С. 1111-1121, 1997.

[12] Шан, X., " Моделирование конвекции Рэлея-Бенара с использованием метода решетки Больцмана ", Physical Review E, vol. 55, стр. 2780-2788, Американское физическое общество, 1997.

[13] He, X., Chen, S., и Doolen, GD, " Новая тепловая модель для решеточного метода Больцмана в пределе несжимаемой жидкости ", Journal of Computational Physics, vol. 146, стр. 282-300, 1998.

[14] Chen, S., и Doolen, GD, " Lattice Больцмана Метод Fluid потоков ", Годовой обзор Fluid Mechanics, вып. 30, стр. 329–364, 1998.

[15] Франк, X., Алмейда, Г., Перре, П., " Многофазный поток в сосудистой системе древесины: от микроскопических исследований до экспериментов Больцмана с трехмерной решеткой ", Международный журнал многофазного потока, том. 36, стр. 599-607, 2010.

[16] Юань, П., Шефер, Л., "Уравнения состояния в решетчатой модели Больцмана", Physics of Fluids, vol. 18, 2006.

[17] Хартинг, Дж., Чин, Дж., Маддалена, В., Ковени, П., " Моделирование сложных жидкостей на крупномасштабной решетке Больцмана: успехи благодаря появлению вычислительных гридов ", Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. . 363, стр. 1895–1915 2005.

[18] Юань, П., Шефер, Л., " Модель двухфазного потока Больцмана с тепловой решеткой и ее применение к проблемам теплопередачи - Часть 1. Теоретические основы ", Journal of Fluid Engineering 142-150, vol. 128, 2006.

[19] Юань, P .; Шефер, Л. (2006). «Уравнения состояния в решетчатой модели Больцмана». Физика жидкостей . 18 (4): 042101–042101–11. Bibcode : 2006PhFl ... 18d2101Y . DOI : 10.1063 / 1.2187070 .

[20] Эспиноза, Mayken (2015). «Влияние сжатия на пористость, извилистость газовой фазы и газопроницаемость в смоделированном газодиффузионном слое PEM». Международный журнал энергетических исследований . 39 (11): 1528–1536. DOI : 10.1002 / er.3348 .

Languages

In other projects