Баранина сдвиг - Lamb shift

Тонкая структура уровней энергии в водороде - релятивистские поправки к модели Бора

В физике , то Лэмбовский сдвиг , названный в честь Лэмб , разница в энергии между двумя энергетическими уровнями ²S _1/2 и ²P _1/2 (в перспективе символ обозначении) от атома водорода , который не был предсказываемых уравнение Дирака , согласно которому эти состояния должны иметь одинаковую энергию.

Взаимодействие между флуктуациями энергии вакуума и электроном водорода на этих разных орбиталях является причиной лэмбовского сдвига, как было показано после его открытия. Лэмбовский сдвиг с тех пор сыграл значительную роль через флуктуации энергии вакуума в теоретическом предсказании излучения Хокинга от черных дыр .

Этот эффект был впервые измерен в 1947 году в эксперименте Лэмба – Ретерфорда по микроволновому спектру водорода, и это измерение послужило стимулом для теории перенормировки, чтобы справиться с расходимостями. Это было предвестником современной квантовой электродинамики, разработанной Джулианом Швингером , Ричардом Фейнманом , Эрнстом Штюкельбергом , Син-Итиро Томонага и Фриманом Дайсоном . Лэмб получил Нобелевскую премию по физике в 1955 году за открытия, связанные со сдвигом Лэмба.

Важность

В день 65-летия Лэмба Фримен Дайсон обратился к нему следующим образом: «Те годы, когда сдвиг Лэмба был центральной темой физики, были золотыми годами для всех физиков моего поколения. Вы были первыми, кто увидел этот крошечный сдвиг, поэтому неуловимые и трудноизмеримые, прояснили бы наши представления о частицах и полях ".

Вывод

Это эвристический вывод электродинамического сдвига уровня в соответствии с подходом Теодора А. Велтона .

Флуктуации электрического и магнитного полей, связанные с вакуумом QED, возмущают электрический потенциал из-за атомного ядра . Это возмущение вызывает колебания положения электрона , что объясняет сдвиг энергии. Разность потенциальной энергии определяется выражением

{\ Displaystyle \ Delta V = V ({\ vec {r}} + \ delta {\ vec {r}}) - V ({\ vec {r}}) = \ delta {\ vec {r}} \ cdot \ nabla V ({\ vec {r}}) + {\ frac {1} {2}} (\ delta {\ vec {r}} \ cdot \ nabla) ^ {2} V ({\ vec {r} }) + \ cdots}

Поскольку колебания изотропны ,

{\ displaystyle \ langle \ delta {\ vec {r}} \ rangle _ {\ rm {vac}} = 0,}

{\ displaystyle \ langle (\ delta {\ vec {r}} \ cdot \ nabla) ^ {2} \ rangle _ {\ rm {vac}} = {\ frac {1} {3}} \ langle (\ delta {\ vec {r}}) ^ {2} \ rangle _ {\ rm {vac}} \ nabla ^ {2}.}

Таким образом, можно получить

{\ displaystyle \ langle \ Delta V \ rangle = {\ frac {1} {6}} \ langle (\ delta {\ vec {r}}) ^ {2} \ rangle _ {\ rm {vac}} \ left \ langle \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \ right) \ right \ rangle _ {\ rm {at}} .}

Классическое уравнение движения для смещения электрона ( δr ) _{k →,} индуцированного одной модой поля волнового вектора k → и частоты ν, имеет вид

{\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} (\ delta r) _ {\ vec {k}} = - eE _ {\ vec {k}},}

и это справедливо только тогда , когда частота ν больше , чем v , ₀ на орбите Бора . Электрон не может реагировать на флуктуирующее поле, если флуктуации меньше естественной орбитальной частоты в атоме. ${\ displaystyle \ nu> \ pi c / a_ {0}}$

Для поля, осциллирующего при ν ,

{\ displaystyle \ delta r (t) \ cong \ delta r (0) e ^ {- i \ nu t} + cc,}

следовательно

{\ displaystyle (\ delta r) _ {\ vec {k}} \ cong {\ frac {e} {mc ^ {2} k ^ {2}}} E _ {\ vec {k}} = {\ frac { e} {mc ^ {2} k ^ {2}}} {\ mathcal {E}} _ {\ vec {k}} \ left (a _ {\ vec {k}} e ^ {- i \ nu t + я {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}} + hc \ right) \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ mathcal {E}} _ {\ vec {k}} = \ left ({\ frac {\ hbar ck / 2} {\ epsilon _ {0} \ Omega}} \ right) ^ {1/2},}

где - некоторый большой нормировочный объем (объем гипотетического «ящика», содержащего атом водорода). Суммируя по всем ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}},}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle (\ delta {\ vec {r}}) ^ {2} \ rangle _ {\ rm {vac}} & = \ sum _ {\ vec {k}} \ left ({\ frac {e} {mc ^ {2} k ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ left \ langle 0 \ left | (E _ {\ vec {k}}) ^ {2} \ right | 0 \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {\ vec {k}} \ left ({\ frac {e} {mc ^ {2} k ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ hbar ck} {2 \ epsilon _ {0} \ Omega}} \ right) \\ & = 2 {\ frac {\ Omega} {(2 \ pi) ^ {3}}} 4 \ pi \ int dkk ^ {2} \ left ({\ frac {e} {mc ^ {2} k ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ hbar ck} {2 \ epsilon _ {0} \ Omega}} \ right) && {\ text {, поскольку непрерывность}} {\ vec {k}} {\ text {подразумевает}} \ sum _ {\ vec {k}} \ в 2 {\ frac {\ Omega} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int d ^ {3} k \\ & = {\ frac {1} {2 \ epsilon _ {0} \ pi ^ {2}}} \ left ({\ frac {e ^ {2}} {\ hbar c}} \ right) \ left ({\ frac {\ hbar} {mc}} \ right) ^ {2} \ int {\ frac {dk} {k}} \ end {align}}}

Этот результат расходится, когда нет ограничений на интеграл (как на больших, так и на малых частотах). Как упоминалось выше, ожидается, что этот метод будет действителен только тогда , или эквивалентно . Это также справедливо только для длин волн, превышающих длину волны Комптона или эквивалентную . Следовательно, можно выбрать верхний и нижний предел интеграла, и эти пределы приводят к сходимости результата. ${\ displaystyle \ nu> \ pi c / a_ {0}}$ ${\ displaystyle k> \ pi / a_ {0}}$ ${\ displaystyle k <mc / \ hbar}$

{\ displaystyle \ langle (\ delta {\ vec {r}}) ^ {2} \ rangle _ {\ rm {vac}} \ cong {\ frac {1} {2 \ epsilon _ {0} \ pi ^ { 2}}} \ left ({\ frac {e ^ {2}} {\ hbar c}} \ right) \ left ({\ frac {\ hbar} {mc}} \ right) ^ {2} \ ln { \ frac {4 \ epsilon _ {0} \ hbar c} {е ^ {2}}}}

.

Для атомных орбиталей и кулоновский потенциал ,

{\ displaystyle \ left \ langle \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \ right) \ right \ rangle _ {\ rm {at}} = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int d {\ vec {r}} \ psi ^ {*} ({\ vec { r}}) \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) \ psi ({\ vec {r}}) = {\ frac {e ^ {2}} {\ эпсилон _ {0}}} | \ psi (0) | ^ {2},}

поскольку известно, что

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) = - 4 \ pi \ delta ({\ vec {r}}).}

Для p- орбиталей нерелятивистская волновая функция обращается в нуль в начале координат, поэтому сдвига энергии нет. Но для s- орбиталей в начале координат существует некоторое конечное значение,

{\ displaystyle \ psi _ {2S} (0) = {\ frac {1} {(8 \ pi a_ {0} ^ {3}) ^ {1/2}}},}

где радиус Бора является

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {me ^ {2}}}.}

Следовательно,

{\ displaystyle \ left \ langle \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}} \ right) \ right \ rangle _ {\ rm {at}} = {\ frac {e ^ {2}} {\ epsilon _ {0}}} | \ psi _ {2S} (0) | ^ {2} = {\ frac {e ^ {2} } {8 \ pi \ epsilon _ {0} a_ {0} ^ {3}}}}

.

Наконец, разность потенциальной энергии становится:

{\ displaystyle \ langle \ Delta V \ rangle = {\ frac {4} {3}} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ { 2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar c}} \ left ({\ frac {\ hbar} {mc}} \ right) ^ {2} {\ frac {1} {8 \ pi a_ {0} ^ {3}}} \ ln {\ frac {4 \ epsilon _ {0} \ hbar c} {e ^ {2}}} = \ alpha ^ {5} mc ^ {2} {\ frac { 1} {6 \ pi}} \ ln {\ frac {1} {\ pi \ alpha}},}

где - постоянная тонкой структуры . Этот сдвиг составляет около 500 МГц, в пределах порядка наблюдаемого сдвига в 1057 МГц. ${\ displaystyle \ alpha}$

Эвристический вывод Велтона лэмбовского сдвига похож на вычисление дарвиновского члена с использованием Zitterbewegung , но отличается от него, что является вкладом в тонкую структуру, который имеет более низкий порядок, чем лэмбовский сдвиг. ${\ displaystyle \ alpha}$

Эксперимент Лэмба – Ретерфорда

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд провели эксперимент с использованием микроволновых методов, чтобы стимулировать радиочастотные переходы между уровнями водорода ²S _1/2 и ²P _1/2 . Используя более низкие частоты, чем для оптических переходов, доплеровским уширением можно пренебречь (доплеровское уширение пропорционально частоте). Разница энергий, обнаруженная Лэмбом и Ретерфордом, представляла собой повышение уровня ²S _1/2 примерно на 1000 МГц (0,03 см ^-1 ) над уровнем ²P _1/2 .

Эта конкретная разница является эффект один контур из квантовой электродинамики , и могут быть интерпретированы как влияние виртуальных фотонов , которые были излучаемых и вновь поглощаемых атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантовано, и, как и у гармонического осциллятора в квантовой механике , его низшее состояние не равно нулю. Таким образом, существуют небольшие нулевые колебания, которые заставляют электрон совершать быстрые колебательные движения. Электрон «размазывается», и каждое значение радиуса изменяется с r на r + δr (небольшое, но конечное возмущение).

Поэтому кулоновский потенциал незначительно возмущается, и вырождение двух энергетических уровней снимается. Новый потенциал можно аппроксимировать (используя атомные единицы ) следующим образом:

{\ displaystyle \ langle E _ {\ mathrm {pot}} \ rangle = - {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left \ langle {\ frac {1} { r + \ delta r}} \ right \ rangle.}

Сам сдвиг Лэмба определяется выражением

{\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {Lamb}} = \ alpha ^ {5} m_ {e} c ^ {2} {\ frac {k (n, 0)} {4n ^ {3}}} \ \ mathrm {for} \ \ ell = 0 \,}

с k ( n , 0) около 13, слегка изменяющимся с n , и

{\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {Lamb}} = \ alpha ^ {5} m_ {e} c ^ {2} {\ frac {1} {4n ^ {3}}} \ left [k (n, \ ell) \ pm {\ frac {1} {\ pi (j + {\ frac {1} {2}}) (\ ell + {\ frac {1} {2}})}} \ right] \ \ mathrm {для} \ ell \ neq 0 \ \ mathrm {и} \ j = \ ell \ pm {\ frac {1} {2}},}

с log ( k ( n , ℓ)) небольшим числом (приблизительно -0,05), делающим k ( n , ℓ) близким к единице.

Для вывода Δ E _Lamb см., Например:

В водородном спектре

В 1947 году Ганс Бете был первым, кто объяснил лэмбовский сдвиг в спектре водорода , и таким образом заложил основу для современного развития квантовой электродинамики . Бете смог получить лэмбовский сдвиг, реализовав идею перенормировки массы, которая позволила ему вычислить наблюдаемый сдвиг энергии как разность между сдвигом связанного электрона и сдвигом свободного электрона. Сдвиг Лэмба в настоящее время обеспечивает измерение постоянной тонкой структуры α с точностью до одной миллионной, что позволяет проводить точные испытания квантовой электродинамики .

Смотрите также

Потенциал Юлинга , первое приближение к лэмбовскому сдвигу
Конференция острова Шелтер
Эффект Зеемана, используемый для измерения сдвига Лэмба

дальнейшее чтение

Борис М Смирнов (2003). Физика атомов и ионов . Нью-Йорк: Спрингер. С. 39–41. ISBN 0-387-95550-X.
Марлан Орвил Скалли и Мухаммад Сухайль Зубайри (1997). Квантовая оптика . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. С. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.

Languages

In other projects