L p пространство - Lp space

В математике , то L р пространства являются функциональными пространствами , определенные с использованием естественного обобщения р -норма для конечномерных векторных пространств . Иногда их называют пространствами Лебега в честь Анри Лебега ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), хотя, согласно группе Бурбаки ( Bourbaki 1987 ), они были впервые введены Фриджесом Риссом ( Riesz 1910 ). Пространства L p образуют важный класс банаховых пространств в функциональном анализе и топологических векторных пространств . Поскольку они играют ключевую роль в математическом анализе пространств меры и вероятностей, пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, финансов, инженерии и других дисциплин.

Приложения

Статистика

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , определяются в терминах показателей L p , а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач .

В регрессии со штрафами «штраф L1» и «штраф L2» относятся к штрафу либо нормы L 1 вектора значений параметров решения (то есть суммы его абсолютных значений), либо его нормы L 2 (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют решения, в которых многие параметры равны нулю. Методы, которые используют штраф L2, такие как регрессия гребня , поощряют решения, в которых большинство значений параметров малы. Упругая сетевая регуляризация использует штрафной член, который представляет собой комбинацию нормы L 1 и нормы L 2 вектора параметров.

Неравенство Хаусдорфа – Юнга.

Преобразование Фурье для вещественной прямой (или, для периодических функций , см. Ряд Фурье ), отображает L p ( R ) в L q ( R ) (или L p ( T ) в q ) соответственно, где 1 ≤ p ≤ 2 а также 1/п + 1/q= 1 . Это следствие интерполяционной теоремы Рисса – Торина и уточняется с помощью неравенства Хаусдорфа – Юнга .

Напротив, если p > 2 , преобразование Фурье не отображается в L q .

Гильбертовы пространства

Гильбертовые пространства занимают центральное место во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства L 2 и л 2 оба являются гильбертовыми. В самом деле, выбирая гильбертово базис (т.е. максимального ортонормированного подмножества L 2 или любого гильбертова пространства), один видит , что все гильбертовые изометричен л 2 ( Х ) , где Е представляет собой набор с соответствующей мощностью.

Р -норм в конечных размерах

Иллюстрации единичных окружностей (смотрите также суперэллипс ) в R 2 , основанные на различном р -норм (каждый вектор из начала координат к единичной окружности имеет длину одного, длина вычисляются с длиной-формулой соответствующего р ).

Длина вектора x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) в n -мерном вещественном векторном пространстве R n обычно задается евклидовой нормой :

Евклидово расстояние между двумя точками x и y равно длине || х - у || 2 прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние недостаточно для определения фактических расстояний в заданном пространстве. Аналогию с этим предлагают водители такси в сеточном плане улиц, которые должны измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до места назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельно друг другу. Класс p -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих областях математики , физики и информатики .

Определение

Для вещественного числа р ≥ 1 , то р -норм или L р -нормы из й определяются

Полоски абсолютных значений не нужны, если p - рациональное число и в сокращенном виде имеет четный числитель.

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является 2 -нормой , а 1 -норма - нормой, соответствующей прямолинейному расстоянию .

L -норм или максимальная норма (или равномерная норма) является пределом л р -норма для р → ∞ . Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению:

См. L -infinity .

Для всех р ≥ 1 , то р -норм и максимальная норма , как определено выше , действительно удовлетворяют свойства «функции длины» (или норма ), которые заключаются в следующем :

Абстрактно это означает, что R n вместе с p -нормой является банаховым пространством . Это банахово пространство является L p -пространством над R n .

Связь между p -нормами

Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает меньше, чем длина отрезка прямой между ними (евклидово или « прямолинейное » расстояние). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:

Этот факт обобщается на p -нормы в том смысле, что p -норма || х || p любого заданного вектора x не растет вместе с p :

|| х || p + a ≤ || х || p для любого вектора x и действительных чисел p ≥ 1 и a ≥ 0 . (На самом деле это остается верным для 0 < p <1 и a ≥ 0. )

Для противоположного направления известно следующее соотношение между 1- нормой и 2- нормой:

Это неравенство зависит от размерности n лежащего в основе векторного пространства и непосредственно следует из неравенства Коши – Шварца .

В общем, для векторов из C n, где 0 < r < p :

Это следствие неравенства Гёльдера .

Когда 0 < p <1

Астроид , единичный круг в p =2/3 метрика

В R n при n > 1 формула

определяет абсолютно однородную функцию при 0 < p <1 ; однако результирующая функция не определяет норму, потому что она не является субаддитивной . С другой стороны, формула

определяет субаддитивную функцию за счет потери абсолютной однородности. Однако он определяет F-норму , однородную степени p .

Следовательно, функция

определяет метрику . Метрическое пространство ( R n , d p ) обозначается n p .

Хотя p -единичный шар B n p вокруг начала координат в этой метрике является «вогнутым», топология, определяемая на R n метрикой d p, является обычной топологией векторного пространства R n , следовательно, n p является локально выпуклой топологической векторное пространство. Помимо этого качественного заявления, количественный способ измерения отсутствие выпуклости л п р является Обозначим через С р ( п ) наименьшая константа C такая , что многократное С В п р о р -Unit шара содержит выпуклую оболочку B n p , равное B n 1 . Тот факт, что при фиксированном p <1 имеем

показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей p, определенное ниже, больше не является локально выпуклым.

Когда p = 0

Существует одна 0 нормы , а другая функция называется 0 «норма» (в кавычках).

Математическое определение 0 нормы было установлено банаховом «s теории линейных операций . Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию , представленную F-норма

который обсуждается Стефаном Ролевичем в метрических линейных пространствах . 0 -нормированной пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармонического анализа.

Другая функция была названа 0 «нормой» Дэвидом Донохо - чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является правильной нормой - это количество ненулевых элементов вектора x . Многие авторы злоупотребляют терминологией , опуская кавычки. Определяя 0 0 = 0 , нулевая «норма» x равна

Анимированный gif p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.
Анимированный gif p-норм от 0,1 до 2 с шагом 0,05.

Это не норма, потому что он неоднороден . Например, масштабирование вектора x положительной константой не изменяет «норму». Несмотря на эти дефекты как математическую норму, ненулевая «норма» счета используется в научных вычислениях , теории информации и статистике, особенно в сжатых измерениях при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . Несмотря на то, что это не норма, соответствующая метрика, известная как расстояние Хэмминга , является допустимым расстоянием, поскольку для расстояний не требуется однородности.

Р -норм в бесконечных размерах и р пространствах

Пространство последовательностей p

Р -норм может быть расширен до векторов , которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательность ), что дает пространство л р . В качестве особых случаев сюда входят:

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются следующим образом:

Определите p -норму:

Здесь возникает сложность, заключающаяся в том, что ряд справа не всегда сходится, поэтому, например, последовательность, состоящая только из единиц, (1, 1, 1, ...) , будет иметь бесконечную p -норму для 1 ≤ p <∞ . Тогда пространство  p определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел таких, что p -норма конечна.

Можно проверить, что с увеличением p множество  p увеличивается. Например, последовательность

не в л  1 , но в л  р для р > 1 , как серия

расходится при p = 1 ( гармонический ряд ), но сходится при p > 1 .

Также можно определить -норму с помощью супремума :

и соответствующее пространство  ∞ всех ограниченных последовательностей. Оказывается, что

если правая часть конечна или левая бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать p пространств для 1 ≤ p ≤ ∞ .

Р -норме , таким образом , определенный на л  р действительно является нормой, а р вместе с этой нормой является банахово пространство . Полностью общее пространство L p получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции . Для определения p -нормы используется интеграл вместо суммы .

Общее ℓ p -пространство

В полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство над общим набором индексов (и ) как

,

где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых ненулевое (см. также Безусловная сходимость ). С нормой

пространство становится банаховым. В случае, когда конечно с элементами, эта конструкция дает R n с -нормой, определенной выше. Если счетно бесконечно, это в точности пространство последовательностей, определенное выше. Для несчетных множеств это не- отделимо банахово пространство , которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел из -sequence пространств.

Набор индексов можно превратить в пространство меры , придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру . Тогда пространство - это просто частный случай более общего -пространства (см. Ниже).

L p пространства и интегралы Лебега

Л р пространство может быть определено как пространство измеримых функций , для которых -м мощность абсолютного значения является Лебегу , где определены функции , которые согласны почти везде. В более общем смысле, пусть 1 ≤ p <∞ и ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой . Рассмотрим набор всех измеримых функций от S до C или R , абсолютное значение которых в p-й степени имеет конечный интеграл, или, что то же самое, что

Набор таких функций образует векторное пространство со следующими естественными операциями:

для любого скаляра λ .

То , что сумма два р -й мощности интегрируемых функций снова р -м мощность интегрируемые следует из неравенства

(Это происходит из-за выпуклости for .)

На самом деле, правда больше. Неравенство Минковского утверждает, что неравенство треугольника выполняется для || · || стр . Таким образом, набор функций, интегрируемых в p -й степени, вместе с функцией || · || p , является полунормированным векторным пространством, которое обозначается через .

При p = ∞ пространство - это пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду, с существенной верхней гранью его модуля как нормы:

Как и в дискретном случае, если существует q <∞ такое, что f   ∈ L ( S , μ ) ∩ L q ( S , μ ) , то

может быть преобразовано в нормированное векторное пространство стандартным способом; один просто занимает фактор - пространство относительно ядра из || · || стр . Поскольку для любой измеримой функции f имеем || f  || p = 0 тогда и только тогда, когда f   = 0 почти всюду , ядро || · || p не зависит от p ,

В фактор-пространстве две функции f и g отождествляются, если f   = g почти всюду. Результирующее нормированное векторное пространство по определению

В общем, этот процесс нельзя повернуть вспять: не существует последовательного способа определить «канонического» представителя каждого смежного класса in . Для Однако существует теория лифтов , позволяющих такое восстановление.

Когда понимается основное пространство меры S , L p ( S , μ ) часто обозначается сокращенно L p ( μ ) или просто L p .

Для 1 ≤ p ≤ ∞ L p ( S , μ ) - банахово пространство . Тот факт, что L p полон, часто называют теоремой Рисса-Фишера , и его можно доказать с помощью теорем сходимости для интегралов Лебега .

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .

Особые случаи

Подобно р пространств, L 2 является единственным гильбертово пространство между L р пространств. В комплексном случае, скалярное произведение на L 2 определяется

Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет использовать более обширную теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции L 2 иногда называют квадратично интегрируемых функций , интегрируемых с квадратом функций или квадратично суммируемых функций , но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком - то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана ( Titchmarsh 1976 ).

Если использовать комплекснозначные функции, пространство L является коммутативной C * -алгеброй с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент из L определяет ограниченный оператор в любом пространстве L p умножением .

Для 1 ≤ р ≤ ∞ в л р пространства являются частным случаем L р пространств, когда S = N , а μ является подсчет мера на N . В более общем смысле, если рассматривать любое множество S со счетной мерой, результирующее пространство L p обозначается p ( S ) . Например, пространство p ( Z ) - это пространство всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении p -нормы в таком пространстве суммируются все целые числа. Пространство p ( n ) , где n - множество из n элементов, есть R n с его p -нормой, как определено выше. В любом гильбертовом пространстве, каждое пространство L - линейно изометричен подходящим л 2 ( I ) , где мощность множества I является мощностью произвольного гильбертова основы для этого конкретного L 2 .

Свойства L р пространств

Двойные пространства

Сопряженное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) из L р ( ц ) для 1 < р <∞ имеет естественный изоморфизм с L д ( ц ) , где Q является таким , что1/п + 1/q= 1 (т.е. q =п/п - 1). Этот изоморфизм связывает gL q ( μ ) с функционалом κ p ( g ) ∈ L p ( μ ) ∗, определенным равенством

для каждого

Тот факт, что κ p ( g ) корректно определен и непрерывен, следует из неравенства Гёльдера . κ p  : L q ( μ ) → L p ( μ ) - линейное отображение, которое является изометрией в соответствии с экстремальным случаем неравенства Гёльдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона – Никодима , см.), Что любой GL p ( μ ) может быть выражен следующим образом: т. Е. Что κ p находится на . Поскольку κ р является на и изометрической, это изоморфизм из банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно просто говорят, что L q - двойственное банахово пространство к L p .

Для 1 < р <∞ , пространство L р ( μ ) является рефлексивный . Пусть κ p такое же, как указано выше, и пусть κ q  : L p ( μ ) → L q ( μ ) - соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение из L p ( μ ) в L p ( μ ) ∗∗ , полученное составлением κ q с транспонированным (или присоединенным) обратным к κ p :

Это отображение совпадает с каноническим вложением J множества L p ( µ ) в его бидуал. Более того, отображение j p на, как композиция двух на изометрии, и это доказывает рефлексивность.

Если мера μ на S является сигма-конечна , то сопряженное L 1 ( μ ) изометрически изоморфно L ( μ ) (более точно, отображение κ 1 , соответствующий р = 1 является изометрией из L ( μ ) на L 1 ( μ ) ).

Двойник L более тонкий. Элементы L ( μ ) можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами на S , абсолютно непрерывными относительно μ . Смотрите ba space для более подробной информации. Если мы примем аксиому выбора, это пространство будет намного больше, чем L 1 ( μ ), за исключением некоторых тривиальных случаев. Тем не менее, Сахарон Шелы доказали , что существует относительно последовательных расширений Цермели-Френкель теории множеств (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел имеет свойство Бэра ») , в котором сопряженный л является 1 .

Вложения

Говоря простым языком, если 1 ≤ p < q ≤ ∞ , то L p ( S , μ ) содержит функции, которые являются более локально сингулярными, в то время как элементы L q ( S , μ ) могут быть более разбросанными. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой (0, ∞) . Непрерывная функция в L 1 может взорваться около 0, но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в L вовсе не обязательно должны убывать, но разрушение не допускается. Точный технический результат заключается в следующем. Предположим, что 0 < p < q ≤ ∞ . Потом:

  1. L q ( S , μ ) ⊂ L p ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры, и
  2. L p ( S , μ ) ⊂ L q ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств ненулевой, но сколь угодно малой меры.

Для вещественной прямой с мерой Лебега оба условия не выполняются. В обоих случаях вложение непрерывно, т. Е. Тождественный оператор является ограниченным линейным отображением из L q в L p в первом случае и из L p в L q во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств L p .) Действительно, если область S имеет конечную меру, можно выполнить следующее явное вычисление, используя неравенство Гёльдера

ведущий к

.

Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, является оптимальной в том смысле, что операторная норма тождества I  : L q ( S , μ ) → L p ( S , μ ) в точности равна

случай равенства достигается именно тогда, когда f   = 1 μ почти всюду.

Плотные подпространства

В этом разделе мы предполагаем, что: 1 ≤ p <∞ .

Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Интегрируемая простая функция F на S является одной из форм

где a j скаляр, A j ∈ Σ имеет конечную меру и является индикаторной функцией множества для j = 1, ..., n . По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в L p ( S , Σ, μ ) .

Можно сказать больше, когда S - нормальное топологическое пространство, а Σ - его борелевская σ –алгебра , т. Е. Наименьшая σ –алгебра подмножеств S, содержащая открытые множества .

Предположим, что VS - открытое множество с μ ( V ) <∞ . Можно доказать, что для любого борелевского множества A ∈ Σ, содержащегося в V , и для любого ε > 0 существуют замкнутое множество F и открытое множество U такие, что

Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона 0 ≤ φ ≤ 1 на S, которая равна 1 на F и 0 на SU , причем

Если S покрывается возрастающей последовательностью ( V n ) открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство p -интегрируемых непрерывных функций плотно в L p ( S , Σ, μ ) . Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств V n .

В частности, это применимо, когда S = R d и когда μ - мера Лебега. Пространство непрерывных функций с компактным носителем плотно в L p ( R d ) . Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в L p ( R d ) ; это пространство является линейной оболочкой индикаторных функций ограниченных интервалов, когда d = 1 , ограниченных прямоугольников, когда d = 2, и, в более общем случае, произведений ограниченных интервалов.

Некоторые свойства общих функций в L p ( R d ) сначала доказываются для непрерывных функций с компактным носителем (иногда для ступенчатых функций), а затем распространяются по плотности на все функции. Например, таким образом доказывается, что трансляции непрерывны на L p ( R d ) в следующем смысле:

куда

L p (0 < p <1)

Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Если 0 < p <1 , то L p ( μ ) можно определить, как указано выше: это векторное пространство тех измеримых функций f таких, что

Как и раньше, мы можем ввести p -норму || f  || p = N p (  f  ) 1 / p , но || · || p не удовлетворяет неравенству треугольника в этом случае и определяет только квазинорму . Из неравенства ( a + b ) pa  p + b  p , справедливого для a , b ≥ 0, следует, что ( Рудин 1991 , §1.47)

и поэтому функция

является метрикой на L p ( μ ) . Получающееся метрическое пространство полно ; проверка аналогична известному случаю, когда p ≥ 1 .

В этом случае L p удовлетворяет обратному неравенству Минковского , то есть для u , v в L p

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств L p для 1 < p <∞ ( Adams & Fournier 2003 ).

Пространство L p для 0 < p <1 является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Он также локально ограничен , как и в случае p ≥ 1 . Это прототипический пример F-пространство , что для большинства разумных пространств с мерой, не является локально выпуклым : в л  р или L р ([0, 1]) , каждое открытое множество выпукло , содержащий 0 функции не ограниченно для р -квазинорма; следовательно, вектор 0 не имеет фундаментальной системы выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой S содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры.

Единственное непустое выпуклое открытое множество в L p ([0, 1]) - это все пространство ( Рудин, 1991 , §1.47). Как частное следствие, на L p ([0, 1]) нет ненулевых линейных функционалов : двойственное пространство - это нулевое пространство. В случае подсчета меры на множество натуральных чисел (производящего пространство последовательностей L р ( х ) = л  р ), ограниченные линейные функционалы на л  р в точности те , которые ограничены на л  1 , а именно тех , кто задается последовательностями в л  ∞ . Хотя  p действительно содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу для топологии.

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на R n вместо того, чтобы работать с L p для 0 < p <1 , обычно по возможности работают с пространством Харди H  p , так как оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы различать точки друг от друга. Однако теорема Хана – Банаха все еще неверна в H  p для p <1 ( Duren 1970 , §7.5).

L 0 пространство измеримых функций

Векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на ( S , Σ, μ ) обозначается L 0 ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). По определению он содержит все L p и снабжен топологией сходимости по мере . Когда μ является вероятностной мерой (т. Е. Μ ( S ) = 1 ), этот способ сходимости называется сходимостью по вероятности .

Описание проще, когда μ конечно. Если μ - конечная мера на ( S , Σ) , функция 0 допускает сходимость по мере следующей фундаментальной системы окрестностей

Топология может быть определена любой метрикой d вида

где φ - ограниченная непрерывная вогнутая и неубывающая на [0, ∞) , причем φ (0) = 0 и φ ( t )> 0 при t > 0 (например, φ ( t ) = min ( t , 1) ) . Такая метрика называется метрикой Леви для L 0 . Под этой метрикой пространство L 0 полно (это снова F-пространство). Пространство L 0, вообще говоря, не является локально ограниченным и не локально выпуклым.

Для бесконечной меры Лебега λ на R n определение фундаментальной системы окрестностей может быть изменено следующим образом

Полученное пространство L 0 ( R n , λ ) совпадает как топологическое векторное пространство с L 0 ( R n , g ( x ) d λ (x)) для любой положительной λ –интегрируемой плотности g .

Обобщения и расширения

Слабый L p

Пусть ( S , Е , М ) пространство с мерой, и е в измеримой функции с действительными или комплексными значениями на S . Функция распределения по F определяется для т ≥ 0 с помощью

Если F в L р ( S , μ ) для некоторого р с 1 ≤ р <∞ , то в силу неравенства Маркова ,

Функция F называется в пространстве слабым L р ( S , μ ) , или L р , ш ( S , ц ) , если существует постоянная С > 0 такое , что при всех т > 0 ,

Наилучшая константа C для этого неравенства является L p , w -нормой функции f и обозначается через

Слабые L p совпадают с пространствами Лоренца L p , ∞ , поэтому эти обозначения также используются для их обозначения.

L р , ш -нормой не является истинной нормой, так как неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для F в L р ( S , μ ) ,

и, в частности, L p ( S , μ ) ⊂ L p , w ( S , μ ) .

Фактически, есть

,

возведя в степень 1 / p и взяв верхнюю грань по t, получим

Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны μ почти всюду, пространства L p , w полны ( Grafakos 2004 ).

Для любого 0 < r < p выражение

сравнимо с L p , w -нормой. Далее, в случае p > 1 это выражение определяет норму, если r = 1 . Следовательно, при p > 1 слабые L p- пространства являются банаховыми пространствами ( Grafakos 2004 ).

Основным результатом, который использует L p , w -пространства, является интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов .

Весовые пространства L p

Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой ( S , Σ, μ ) . Пусть w  : S → [0, ∞) - измеримая функция. Ш - взвешенное L р пространство определяется как L р ( S , ш  г ц ) , где W  d М означает меру ν , определяемой

или, в терминах производной Радона – Никодима , w =d ν/d μнорма для L р ( S , ш  г ц ) явно

Как L p -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, поскольку L p ( S , w  d µ ) равно L p ( S , d ν ) . Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа ( Grafakos 2004 ); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для 1 < p <∞ классическое преобразование Гильберта определено на L p ( T , λ ), где T обозначает единичную окружность, а λ - меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен на L p ( R n , λ ) . Теорема Макенхаупта описывает веса w такие, что преобразование Гильберта остается ограниченным на L p ( T , w  d λ ) и максимальный оператор на L p ( R n , w  d λ ) .

L p пространств на многообразиях

Можно также определить пространства L p ( M ) на многообразии, называемые внутренними пространствами L p многообразия, используя плотности .

Векторнозначные пространства L p

Для пространства с мерой ( X , Σ, µ ) и локально-выпуклого пространства E можно также различными способами определить пространства p -интегрируемых E-значных функций. Наиболее распространенным из них является пространства интегрируемых по Бохнеру и Петтису интегрируемых функций. Используя тензорное произведение локально выпуклых пространств, они могут быть соответственно определены как и ; где и обозначают соответственно проективное и инъективное тензорные произведения локально выпуклых пространств. Когда E - ядерное пространство , Гротендик показал, что эти две конструкции неразличимы.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки