Нерациональное вращение - Irrational rotation

Последовательность Штурма, порожденная иррациональным вращением с theta = 0,2882748715208621 и x = 0,078943143

В математической теории динамических систем , иррациональное вращение является карта

{\ Displaystyle T _ {\ theta}: [0,1] \ rightarrow [0,1], \ quad T _ {\ theta} (x) \ треугольникq x + \ theta \ mod 1}

где θ - иррациональное число . Под идентификации круга с R / Z , или в интервале [0, 1] с граничными точками склеены, эта карта становится вращение в виде окружности с помощью пропорции & thetas от полного оборота (т.е. под углом 2 πθ радиан). Поскольку θ иррационально, вращение имеет бесконечный порядок в группе окружностей, а отображение T _θ не имеет периодических орбит .

В качестве альтернативы мы можем использовать мультипликативную запись для иррационального вращения, введя отображение

{\ Displaystyle T _ {\ theta}: S ^ {1} \ к S ^ {1}, \ quad \ quad \ quad T _ {\ theta} (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}

Связь между аддитивными и мультипликативными обозначениями - это групповой изоморфизм

{\ Displaystyle \ varphi: ([0,1], +) \ к (S ^ {1}, \ cdot) \ quad \ varphi (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}

.

Можно показать, что $φ$ - изометрия .

Существует сильное различие в вращении окружности, которое зависит от того, рационально или иррационально $θ$ . Рациональные вращения - менее интересные примеры динамических систем, потому что если и , то когда . Также можно показать, что когда . ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {a} {b}}}$ ${\ Displaystyle \ НОД (а, Ь) = 1}$ ${\ Displaystyle Т _ {\ тета} ^ {Ь} (х) = х}$ ${\ Displaystyle х \ в [0,1]}$ ${\ Displaystyle Т _ {\ тета} ^ {я} (х) \ neq х}$ ${\ Displaystyle 1 \ Leq я <Ь}$

Значение

Иррациональные вращения являются фундаментальным примером в теории динамических систем . Согласно теореме Данжуа , каждый сохраняющей ориентацию $С 2$ -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения $θ$ есть топологический сопряжено с $Т & thetas$ . Иррациональное вращение - это сохраняющее меру эргодическое преобразование , но не перемешивание . Отображение Пуанкаре для динамической системы , связанной с слоения Кронекера на торе с углом & $thetas$ является иррациональным вращение на & $thetas$ . C * -алгебры, связанные с иррациональными вращениями, известные как иррациональные алгебры вращений , широко изучаются.

Характеристики

Если $θ$ иррационально, то орбита любого элемента $[0,1]$ при повороте $T & thetas$ является плотным в $[0,1]$ . Следовательно, иррациональные повороты топологически транзитивны .
Иррациональные (и рациональные) повороты топологически не перемешивают .
Иррациональные вращения однозначно эргодичны , а мера Лебега служит единственной инвариантной вероятностной мерой.
Предположим, что $[a, b] \subset [0,1]$ . Так как $Т θ$ эргодично, .
${\ displaystyle {\ text {lim}} _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} \ chi _ {[a, b )} (T _ {\ theta} ^ {n} (t)) = ba}$

Обобщения

Вращения круга - это примеры групповых переводов .
Для общей ориентации сохраняющего гомоморфизма $п$ от $S 1$ к себе мы называем Гомеоморфизм подъемом из $F$ , если где . ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ пи \ сирк F = е \ сирк \ пи}$ ${\ Displaystyle \ пи (т) = т {\ bmod {1}}}$
Вращение круга можно рассматривать как подразделение круга на две части, которые затем обмениваются друг с другом. Подразделение более чем на две части, которые затем переставляются друг с другом, называется преобразованием интервального обмена .
Жесткие вращения компактных групп эффективно ведут себя как вращения окружности; инвариантная мера - это мера Хаара .

Приложения

Косые произведения над вращениями окружности. В 1969 году Уильям А. Вич построил примеры минимальных и не однозначно эргодических динамических систем следующим образом: «Возьмите две копии единичной окружности и отметьте на каждой из них отрезок $J$ длиной $2 πα$ против часовой стрелки. один с конечной точкой в 0. Теперь возьмем $θ$ иррационально и рассмотрим следующую динамическую систему. Начните с точки $p$ , скажем, в первом круге. Поверните против часовой стрелки на $2 πθ,$ пока орбита не приземлится в $J$ ; затем переключитесь на соответствующую точку. во втором круге поверните на $2 πθ,$ пока точка не приземлится в $J$ ; переключитесь обратно на первый круг и т. д. Вич показал, что если $θ$ иррационально, то существует иррациональное $α,$ для которого эта система минимальна и Мера Лебега не является однозначно эргодической ».

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

CE Silva, Приглашение к эргодической теории , Студенческая математическая библиотека, том 42, Американское математическое общество , 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5

Languages

In other projects