Пропорциональность (математика) - Proportionality (mathematics)

Переменная y прямо пропорциональна переменной x с константой пропорциональности ~ 0,6.
Переменная y обратно пропорциональна переменной x с константой пропорциональности 1.

В математике , два различных количествах , как говорят, в связи с пропорциональности , мультипликативно , соединенного с константой ; то есть, когда либо их соотношение, либо их произведение дает константу. Величина этой константы называется коэффициентом пропорциональности или константой пропорциональности .

  • Если соотношение ( у/Икс) двух переменных ( x и y ) равна константе ( k =у/Икс) , то переменная в числителе отношения ( y ) может быть произведением другой переменной и константы ( y = k  ⋅  x ) . В этом случае у называется прямо пропорционально к х с постоянной пропорциональности к . Эквивалентно можно написать x =1/k ⋅  y ; то есть x прямо пропорционален y с константой пропорциональности1/k знак равно Икс/у) . Если термин пропорциональный связан с двумя переменными без дальнейших уточнений, обычно можно предположить прямую пропорциональность.
  • Если произведение двух переменных ( x  ⋅  y ) равно константе ( k = x  ⋅  y ) , то говорят, что они обратно пропорциональны друг другу с константой пропорциональности k . Эквивалентно, обе переменные прямо пропорциональны обратной величине соответствующей другой с константой пропорциональности k ( x = k  ⋅ 1/уи y = k  ⋅ 1/Икс).

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение, выражающее равенство этих соотношений, называется пропорцией , например,а/б знак равно Икс/у= ⋯ = k (подробнее см. Соотношение ).

Прямая пропорциональность

При наличии два переменных х и у , у находится прямо пропорционально к й , если существует ненулевая константа K такой , что

Unicode символы
  • U + 221D ПРОПОРЦИОНАЛЬНО (HTML ∝  · ∝, ∝, ∝, ∝, ∝ )
  • U + 007E ~ ТИЛЬДА (HTML ~)
  • U + 223C ТИЛЬДНЫЙ ОПЕРАТОР (HTML ∼  · ∼, ∼, ∼, ∼ )
  • U + 223A ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ (HTML ∺  · ∺ )

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~»:

 или 

Для получения от константы пропорциональности может быть выражена как отношение

Ее также называют постоянной вариации или постоянной пропорциональности .

Прямая пропорциональность также можно рассматривать в качестве линейного уравнения в двух переменных с у -intercept из 0 и наклон от к . Это соответствует линейному росту .

Примеры

  • Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени, затраченному на путешествие, а скорость является константой пропорциональности.
  • Окружность из круга прямо пропорциональна его диаметр , с константой пропорциональности , равная П .
  • На карте достаточно небольшой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально прямому расстоянию между двумя местоположениями, представленными этими точками; константа пропорциональности - это масштаб карты.
  • Сила , действующая на небольшой объект с небольшой массой по близлежащей большой расширенной массы за счет силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как ускорение свободного падения .
  • Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности в этом втором законе Ньютона - это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность с функцией y = 1 / x

Концепции обратной пропорциональности можно противопоставить прямую пропорциональность . Рассмотрим две переменные, которые считаются «обратно пропорциональными» друг другу. Если все другие переменные остаются постоянными , величина или абсолютное значение одной обратно пропорциональной переменной уменьшается, если другая переменная увеличивается, в то время как их произведение (константа пропорциональности k ) всегда одинаково. Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.

Формально две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратной вариации , в обратной пропорции , в обратной пропорции ), если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) другой, или эквивалентно, если их произведение равно константа. Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k такая, что

или, что то же самое, Следовательно, константа « k » является произведением x и y .

График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно коэффициенту пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Гиперболические координаты

Понятия прямой и обратной пропорции приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенном луче, и константе обратной пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенной гиперболе.

Смотрите также

Рост

Примечания

использованная литература

  • Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом : Высшая математика для начинающих , с. 34–35 .
  • Брайан Баррелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Merriam-Webster, 1998, ISBN  9780877796213 , стр. 85–101 .
  • Lanius, Cynthia S .; Уильямс Сьюзен Э .: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов . Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), стр. 392–396.
  • Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф .: Взгляд на развитие соотношений, ставок и пропорциональности . Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007 г., стр. 140–142.
  • Ван Дурен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлен; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование студентами принципа пропорциональности при решении проблем с отсутствием значений: как числа могут изменить решения . Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.