Согласованные и противоречивые уравнения - Consistent and inconsistent equations

В математике и особенно в алгебре , А линейная или нелинейная система уравнений называются последовательной , если есть , по меньшей мере один набор значений для неизвестных , который удовлетворяет каждое уравнение в системе, то есть, когда замещено в каждый из уравнений, которые они делают каждое уравнение истинно как тождество . Напротив, система линейных или нелинейных уравнений называется несовместимой, если нет набора значений для неизвестных, который удовлетворяет всем уравнениям.

Если система уравнений несовместима, то можно манипулировать и комбинировать уравнения таким образом, чтобы получить противоречивую информацию, например, 2 = 1 или x ³ + y ³ = 5 и x ³ + y ³ = 6. (откуда следует 5 = 6).

Оба типа систем уравнений, непротиворечивые и непоследовательные, могут быть переопределенными (имеющими больше уравнений, чем неизвестных), недоопределенными (имеющими меньше уравнений, чем неизвестных) или точно определенными.

Простые примеры

Недоопределенный и последовательный

Система

${\ displaystyle x + y + z = 3,}$

${\ displaystyle x + y + 2z = 4}$

имеет бесконечное количество решений, все они имеют z = 1 (как можно увидеть, вычитая первое уравнение из второго), и все они, следовательно, имеют x + y = 2 для любых значений x и y .

Нелинейная система

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 10,}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 5}$

имеет бесконечное множество решений, все с участием ${\ displaystyle z = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Поскольку каждая из этих систем имеет более одного решения, это неопределенная система .

Недоопределенный и непоследовательный

Система

${\ displaystyle x + y + z = 3,}$

${\ displaystyle x + y + z = 4}$

не имеет решений, что можно увидеть, вычтя первое уравнение из второго, чтобы получить невозможное 0 = 1.

Нелинейная система

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 17,}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 14}$

не имеет решений, потому что если вычесть одно уравнение из другого, мы получим невозможное 0 = 3.

Точно решительный и последовательный

Система

${\ Displaystyle х + у = 3,}$

${\ displaystyle x + 2y = 5}$

имеет ровно одно решение: x = 1, y = 2.

Нелинейная система

${\ Displaystyle х + у = 1,}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

имеет два решения ( x, y ) = (1, 0) и ( x, y ) = (0, 1), а

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${\ displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${\ displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 34}$

имеет бесконечное количество решений, потому что третье уравнение - это первое уравнение плюс дважды второе и, следовательно, не содержит независимой информации; таким образом, можно выбрать любое значение z и найти значения x и y, удовлетворяющие первым двум (и, следовательно, третьему) уравнениям.

Точно определенная и непоследовательная

Система

${\ Displaystyle х + у = 3,}$

${\ displaystyle 4x + 4y = 10}$

не имеет решений; несоответствие можно увидеть, умножив первое уравнение на 4 и вычтя второе уравнение, чтобы получить невозможное 0 = 2.

Так же,

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} = 10,}$

${\ displaystyle x ^ {3} + 2y ^ {3} + z ^ {3} = 12,}$

${\ displaystyle 3x ^ {3} + 5y ^ {3} + 3z ^ {3} = 32}$

является несовместной системой, потому что первое уравнение плюс дважды второе минус третье содержит противоречие 0 = 2.

Сверхдетерминированный и последовательный

Система

${\ Displaystyle х + у = 3,}$

${\ displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ displaystyle 4x + 6y = 20}$

имеет решение x = –1, y = 4, потому что первые два уравнения не противоречат друг другу, а третье уравнение является избыточным (поскольку оно содержит ту же информацию, которая может быть получена из первых двух уравнений путем умножения каждого на 2 и их суммирование).

Система

${\ displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ displaystyle 3x + 6y = 21,}$

${\ displaystyle 7x + 14y = 49}$

имеет бесконечное количество решений, поскольку все три уравнения дают ту же информацию, что и друг друга (что можно увидеть, умножив первое уравнение на 3 или 7). Любое значение y является частью решения, при этом соответствующее значение x равно 7–2y.

Нелинейная система

${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0,}$

${\ displaystyle y ^ {2} -1 = 0,}$

${\ Displaystyle (х-1) (у-1) = 0}$

имеет три решения ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) и (1, 1).

Сверхдетерминированный и непоследовательный

Система

${\ Displaystyle х + у = 3,}$

${\ displaystyle x + 2y = 7,}$

${\ displaystyle 4x + 6y = 21}$

непоследовательно, потому что последнее уравнение противоречит информации, заложенной в первых двух, как видно из умножения каждого из первых двух на 2 и их суммирования.

Система

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1,}$

${\ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = 2,}$

${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3y ^ {2} = 4}$

противоречиво, поскольку сумма первых двух уравнений противоречит третьему.

Критерии согласованности

Как видно из приведенных выше примеров, непротиворечивость и непротиворечивость - это совсем другой вопрос, нежели сравнение количества уравнений и неизвестных.

Линейные системы

Линейная система является непротиворечивой тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов имеет тот же ранг, что и ее расширенная матрица (матрица коэффициентов с добавленным дополнительным столбцом, этот столбец является вектор-столбцом констант).

Нелинейные системы

Рекомендации