Морфизм - Morphism

В математике , особенно в теории категорий , морфизм - это сохраняющее структуру отображение одной математической структуры на другую того же типа. Понятие морфизма часто встречается в современной математике. В теории множеств морфизмы - это функции ; в линейной алгебре - линейные преобразования ; в теории групп , группа гомоморфизмам ; в топологии , непрерывных функциях и т. д.

В теории категорий , морфизм является широко похожа идеей: математические объекты вовлечены не должен быть множество, и отношения между ними могут быть чем - то иным , чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя так же , как карты в том , что они должны допускать ассоциативную операцию, аналогичную композиции функций . Морфизм в теории категорий - это абстракция гомоморфизма .

Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определены, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также лежащая в их основе интуиция происходит из конкретных категорий , где объекты - это просто множества с некоторой дополнительной структурой , а морфизмы - это функции, сохраняющие структуру . В теории категорий морфизмы иногда также называют стрелками .

Определение

Категория C состоит из двух классов , один из объектов , а другие из морфизмов . С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель . Морфизмом е с источником X и целевой Y записывается F  : XY , и представлена схематически с помощью стрелки от X к Y .

Для многих общих категорий объекты - это наборы (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы - это функции от одного объекта к другому. Поэтому источник и цель морфизма часто называют домен иcodomain соответственно.

Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией , называемой композицией . Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g , и обозначается gf (или иногда просто gf ). Источник gf является источником f , а цель gf является целью g . Композиция удовлетворяет двум аксиомам :

Личность
Для каждого объекта X , существует морфизм ID Х  : ХХ называется тождественный морфизм на X , такой , что для любого морфизма F  : AB мы имеем ID BF = F = F ∘ идентификатор A .
Ассоциативность
h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f, когда все композиции определены, то есть когда цель f является источником g , а цель g является источником h .

Для конкретной категории (категории, в которой объекты являются наборами, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), тождественный морфизм - это просто функция идентичности , а композиция - это просто обычная композиция функций .

Композицию морфизмов часто представляют коммутативной диаграммой . Например,

Коммутативная диаграмма для morphism.svg

Совокупность всех морфизмов из X в Y обозначается Hom C ( X , Y ) или просто Hom ( X , Y ) и называется Хом-набор между X и Y . Некоторые авторы пишут Mor C ( X , Y ), Mor ( X , Y ) или C ( X , Y ). Обратите внимание, что термин hom-set употребляется неправильно, поскольку не обязательно, чтобы набор морфизмов был набором; Категория, в которой Hom ( X , Y ) - множество для всех объектов X и Y , называется локально малой . Поскольку hom-наборы не могут быть наборами, некоторые люди предпочитают использовать термин «hom-class».

Обратите внимание, что домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории наборов , где морфизмы являются функциями, две функции могут быть идентичны как наборы упорядоченных пар (могут иметь один и тот же диапазон ), но иметь разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom ( X , Y ) не пересекались . На практике это не проблема, потому что, если эта дизъюнктность не выполняется, ее можно гарантировать, добавляя домен и кодомен к морфизмам (скажем, как второй и третий компоненты упорядоченной тройки).

Некоторые особые морфизмы

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Морфизмом F : XY называется мономорфизмом , если ег 1 = ег 2 следует , г 1 = г 2 для всех морфизмов г 1 , г 2 : ZX . Мономорфизм можно для краткости называть mono , и мы можем использовать monic как прилагательное. Морфизмом е имеет левый обратный или является разделение -мономорфизм , если существует морфизм г : YX такой , что гф = Id X . Таким образом , Fг : YY является идемпотентным ; то есть ( fg ) 2 = f ∘ ( gf ) ∘ g = fg . Левый обратный г также называется ретракцией из F .

Морфизмы с обратными слева всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; у мономорфизма может не быть левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая обратный слева, инъективна . Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекции сильнее, чем состояние мономорфизма, но слабее, чем условие расщепленного мономорфизма.

Двойственно к мономорфизмам, морфизм F : XY называется эпиморфизмом , если г -е = г -е означает , г 1 = г 2 для всех морфизмов г 1 , г 2 : YZ . Эпиморфизм можно для краткости называть epi , и мы можем использовать epic как прилагательное. Морфизмом е имеет правый обратный или является расщепляющим эпиморфизмом , если существует морфизм г : YX такое , что Fг = Id Y . Правый обратный г также называется раздел из F . Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но в целом обратное неверно, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.

Если мономорфизм f расщепляется с левым обратным g , то g является расщепляемым эпиморфизмом с правым обратным f . В конкретных категориях функция, имеющая правый обратный, сюръективна . Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Состояние сюръекции сильнее, чем состояние эпиморфизма, но слабее, чем состояние расщепленного эпиморфизма. В категории множеств утверждение, что каждая сюръекция имеет секцию, эквивалентно аксиоме выбора .

Морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом .

Изоморфизмы

Морфизмом F : XY называется изоморфизмом , если существует морфизм г : YX такое , что Fг = идентификатор Y и ге = идентификатор Х . Если морфизм имеет и левообратный, и правый обратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f . Обратные морфизмы, если они существуют, уникальны. Обратный g также является изоморфизмом с обратным f . Два объекта, между которыми имеется изоморфизм, называются изоморфными или эквивалентными.

Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение ZQ является биморфизмом, который не является изоморфизмом. Однако любой морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и расщепляемым мономорфизмом, или одновременно мономорфизмом и расщепленным эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set , в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированной категорией .

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Морфизм е : ХХ (то есть, морфизм с одинаковым источником и мишенью) является эндоморфизмом из X . Сплит эндоморфизм является идемпотентным эндоморфизм F , если F допускает разложение п = чг с гч = ID. В частности, оболочка Каруби категории разбивает любой идемпотентный морфизм.

Автоморфизм морфизм , который является одновременно эндоморфизмом и изоморфизм. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу , называемую группой автоморфизмов объекта.

Примеры

Дополнительные примеры см. В теории входных категорий .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки