Треугольник Герона - Heronian triangle

В геометрии , A геронов треугольник представляет собой треугольник , который имеет боковые длины и площади , которые все целые числа . Геронские треугольники названы в честь Героя Александрии . Этот термин иногда применяется более широко к треугольникам, стороны и площадь которых являются рациональными числами , поскольку можно изменить масштаб сторон на общее кратное, чтобы получить треугольник, который является героновским в указанном выше смысле.

Характеристики

Любой прямоугольный треугольник, стороны которого равны тройке Пифагора, является треугольником Герона, поскольку длины сторон такого треугольника являются целыми числами , а его площадь также является целым числом, равным половине произведения двух более коротких сторон треугольника, при хотя бы одно из которых должно быть четным.

Треугольник со сторонами c , e и b  +  d и высотой a .

Примером непрямоугольного треугольника Герона является равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается соединением двух копий прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, и 5 вдоль сторон длины 4. Этот подход в целом работает, как показано на рисунке рядом. Один берет тройку Пифагора ( a , b , c ), где c является наибольшим, затем другой ( a , d , e ), где e является наибольшим, строит треугольники с этими длинами сторон и соединяет их вместе по сторонам длины. a , чтобы получить треугольник с целыми длинами сторон c , e и b  +  d , а также площадью

(половина основания, умноженная на высоту).

Если а четно, то площадь А является целым числом. Менее очевидно то, что если a нечетное, то A по-прежнему является целым числом, так как b и d оба должны быть четными, что делает b + d четным.

Некоторые треугольники Герона не могут быть получены путем соединения двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, как описано выше. Например, треугольник Герона 5, 29, 30 с площадью 72 не может быть построен из двух целочисленных треугольников Пифагора, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Также никакой примитивный треугольник Пифагора не может быть построен из двух меньших целочисленных треугольников Пифагора. Такие треугольники Герона известны как неразложимые . Однако, если можно допустить пифагоровы тройки с рациональными значениями, не обязательно целыми числами, тогда всегда существует разложение на прямоугольные треугольники с рациональными сторонами, потому что каждая высота треугольника Герона рациональна (поскольку она равна удвоенной площади целого числа, деленной на основание целого числа) . Таким образом, треугольник Герона со сторонами 5, 29, 30 может быть построен из рациональных треугольников Пифагора со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Обратите внимание, что тройка Пифагора с рациональными значениями просто масштабированная версия тройки с целочисленными значениями.

Другие свойства треугольников Герона следующие:

  • Периметр треугольника Герона всегда является четным числом. Таким образом, каждый треугольник Герона имеет нечетное количество сторон четной длины, а каждый примитивный треугольник Герона имеет ровно одну четную сторону.
  • Полупериметр s треугольника Герона со сторонами a , b и c никогда не может быть простым. Это видно из того факта, что s (s − a) (s − b) (s − c) должен быть полным квадратом, и если s - простое число, то один из других членов должен иметь множитель s, но это невозможно, так как все эти члены меньше s .
  • Площадь треугольника Герона всегда делится на 6.
  • Все высоты треугольника Герона рациональны. Это можно увидеть из того факта, что площадь треугольника равна половине одной стороны, умноженной на высоту с этой стороны, а треугольник Герона имеет целые стороны и площадь. Некоторые треугольники Герона имеют три нецелочисленных высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой треугольник Герона с одной или несколькими нецелыми высотами может можно увеличить на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить аналогичный треугольник Герона с тремя целыми высотами.
  • Треугольники Герона, не имеющие целой высоты ( неразложимые и непифагоровы), имеют стороны, которые делятся на простые числа вида 4 k +1. Однако разложимые треугольники Герона должны иметь две стороны, являющиеся гипотенузами треугольников Пифагора. Следовательно, все треугольники Герона, не являющиеся пифагоровыми, имеют по крайней мере две стороны, которые делятся на простые числа вида 4 k +1. Остались только треугольники Пифагора. Следовательно, у всех треугольников Герона есть хотя бы одна сторона, которая делится на простые числа вида 4 k +1. Наконец, если треугольник Герона имеет только одну сторону, делящуюся на простые числа вида 4 k +1, он должен быть пифагоровым со стороной как гипотенуза, а гипотенуза должна делиться на 5 .
  • Все внутренние срединные перпендикуляры треугольника Герона рациональны: для любого треугольника они задаются формулой и, где стороны имеют размер abc, а площадь равна A ; в треугольнике Герона все a , b , c и A являются целыми числами.
  • Равносторонних треугольников Герона нет.
  • Не существует треугольников Герона со стороной 1 или 2.
  • Существует бесконечное количество примитивных треугольников Герона с длиной одной стороны, равной a, при условии, что a> 2.
  • Не существует треугольников Герона, стороны которых образуют геометрическую прогрессию .
  • Если любые две стороны (но не три) треугольника Герона имеют общий множитель, этот множитель должен быть суммой двух квадратов.
  • Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Area = (1/2) ab sin C , в которой площадь и стороны a и b являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
  • Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный косинус. Это следует из закона косинусов , c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C , в котором стороны a , b и c являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
  • Поскольку все треугольники Герона имеют рациональные синусы и косинусы углов, это означает, что каждый наклонный угол треугольника Герона имеет рациональную касательную, котангенс, секанс и косеканс. Кроме того, половина каждого угла имеет рациональную касательную, потому что tan C / 2 = sin C / (1 + cos C) , что эквивалентно для других углов.
  • Не существует треугольников Герона, три внутренних угла которых образуют арифметическую прогрессию. Это потому, что все плоские треугольники с углами в арифметической прогрессии должны иметь один угол 60 °, который не имеет рационального синуса.
  • Любой квадрат, вписанный в треугольник Герона, имеет рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет длину, где A - площадь треугольника; в треугольнике Герона и A, и a являются целыми числами.
  • Каждый треугольник Герона имеет рациональный внутренний радиус (радиус вписанной в него окружности): для общего треугольника внутренний радиус - это отношение площади к половине периметра, и оба они рациональны в треугольнике Герона.
  • Каждый треугольник имеет Heronian рациональной описанную окружность (радиус его окружность): Для общего треугольника равна описанная окружность один-четвертый продукт сторон , разделенных на области; в треугольнике Герона стороны и площадь являются целыми числами.
  • В треугольнике Герона расстояние от центра тяжести до каждой стороны является рациональным, потому что для всех треугольников это расстояние является отношением удвоенной площади к трехкратной длине стороны. Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с треугольниками Герона, барицентрические координаты которых являются рациональными соотношениями, имеют рациональное расстояние до каждой стороны. Эти центры включают Окружность , ортоцентр , девять пунктов центр , симедиан точку , точку Gergonne и точку Nagel .
  • Все треугольники Герона могут быть помещены на решетку с каждой вершиной в точке решетки.

Точная формула для всех треугольников Герона

Индийский математик Брахмагупта (598-668 гг. Н.э.) вывел параметрическое решение таким образом, что каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные:

для целых чисел m , n и k, где:

.

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным   pq,   где   q = gcd ( a, b, c ) уменьшает сгенерированный треугольник Герона до его примитива, а   p   увеличивает этот примитив до требуемого размера. Например, если взять m = 36, n = 4 и k = 3, получится треугольник с a = 5220, b = 900 и c = 5400, который аналогичен треугольнику Герона 5, 29, 30, а используемый коэффициент пропорциональности имеет p = 1 и q = 180.

Препятствием для вычислительного использования параметрического решения Брахмагупты является знаменатель q коэффициента пропорциональности. q может быть определено только путем вычисления наибольшего общего делителя трех сторон (gcd ( a, b, c )) и вносит элемент непредсказуемости в процесс генерации. Самый простой способ создания списков треугольников Герона - это создать все целочисленные треугольники с максимальной длиной стороны и проверить целую площадь.

Более быстрые алгоритмы были получены Курцем (2008) .

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагоровых треугольников Герона с целыми значениями внутреннего радиуса и всех трех внешних радиусов , включая те, которые порождаются

Существует бесконечно много треугольников Герона, которые могут быть размещены на решетке так, что не только вершины находятся в точках решетки, как это справедливо для всех треугольников Герона, но, кроме того, центры вписанной окружности и вневписанной окружности находятся в точках решетки.

См. Также формулы для треугольников Герона с одним углом, равным удвоенному другому , треугольников Герона со сторонами в арифметической прогрессии и равнобедренных треугольников Герона .

Все треугольники Герона с касательными половинными углами

Треугольник с обозначенными длинами сторон и внутренними углами. Заглавные буквы A , B и C - это углы, а строчные буквы a , b и c - противоположные стороны.

Касательная к половине любого внутреннего угла треугольника Герона обязательно рациональна; см. свойства выше. Эти половинные углы положительны, и их сумма составляет 90 ° ( π / 2 радиан), потому что внутренние углы ( A , B , C ) любого треугольника в сумме равны 180 ° ( π радиан). Начнем с выбора r = tan ( A / 2) и s = tan ( B / 2) в качестве любых положительных рациональных чисел, удовлетворяющих rs <1 . Предел 1 гарантирует, что угол A / 2 + B / 2 будет меньше 90 ° и, таким образом, угол C / 2 будет положительным. Значение t = tan ( C / 2) также будет положительным рациональным числом, потому что

Мы можем вычислить синус любого угла, используя формулу , поэтому синусы равны соответственно. Эти значения рациональны, потому что значения r , s и t рациональны.

Мы используем Закон синусов, чтобы заключить, что длины сторон треугольника пропорциональны этим синусам. Целочисленные значения для длин сторон получаются путем умножения синусов на наименьшее общее кратное их знаменателей, а затем путем деления на наибольший общий множитель результатов. Таким образом, мы вычислили длины сторон примитивного треугольника Герона по касательным к полууглам.

Когда также бывает, что r , s или t равны 1, тогда соответствующий внутренний угол будет прямым углом, и три стороны также будут определять пифагорову тройку .

Примеры

Список примитивных целочисленных треугольников Герона, отсортированных по площади и, если это то же самое, по периметру , начинается, как в следующей таблице. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трех длин сторон равен 1.

Площадь Периметр длина стороны b + d длина стороны e длина стороны c
6 12 5 4 3
12 16 6 5 5
12 18 8 5 5
24 32 15 13 4
30 30 13 12 5
36 36 17 10 9
36 54 26 год 25 3
42 42 20 15 7
60 36 13 13 10
60 40 17 15 8
60 50 24 13 13
60 60 29 25 6
66 44 год 20 13 11
72 64 30 29 5
84 42 15 14 13
84 48 21 год 17 10
84 56 25 24 7
84 72 35 год 29 8
90 54 25 17 12
90 108 53 51 4
114 76 37 20 19
120 50 17 17 16
120 64 30 17 17
120 80 39 25 16
126 54 21 год 20 13
126 84 41 год 28 год 15
126 108 52 51 5
132 66 30 25 11
156 78 37 26 год 15
156 104 51 40 13
168 64 25 25 14
168 84 39 35 год 10
168 98 48 25 25
180 80 37 30 13
180 90 41 год 40 9
198 132 65 55 12
204 68 26 год 25 17
210 70 29 21 год 20
210 70 28 год 25 17
210 84 39 28 год 17
210 84 37 35 год 12
210 140 68 65 7
210 300 149 148 3
216 162 80 73 9
234 108 52 41 год 15
240 90 40 37 13
252 84 35 год 34 15
252 98 45 40 13
252 144 70 65 9
264 96 44 год 37 15
264 132 65 34 33
270 108 52 29 27
288 162 80 65 17
300 150 74 51 25
300 250 123 122 5
306 108 51 37 20
330 100 44 год 39 17
330 110 52 33 25
330 132 61 60 11
330 220 109 100 11
336 98 41 год 40 17
336 112 53 35 год 24
336 128 61 52 15
336 392 195 193 4
360 90 36 29 25
360 100 41 год 41 год 18
360 162 80 41 год 41 год
390 156 75 68 13
396 176 87 55 34
396 198 97 90 11
396 242 120 109 13

Списки примитивных треугольников Герона, стороны которых не превышают 6 000 000, можно найти в «Списках примитивных треугольников Герона» . Саша Курц, Байройтский университет, Германия. Архивировано (PDF) из оригинала в мае 2016 года . Проверено 29 марта 2016 года .

Равные треугольники

Фигура называется ровной, если ее площадь равна периметру. Ровных треугольников Герона ровно пять: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10 , 17).

Почти равносторонние треугольники Герона

Поскольку площадь равностороннего треугольника с рациональными сторонами является иррациональным числом , ни один равносторонний треугольник не является героновым. Однако существует уникальная последовательность треугольников Герона, которые являются «почти равносторонними», поскольку три стороны имеют форму n  - 1, n , n  + 1. Метод генерации всех решений этой задачи на основе цепных дробей был описан в 1864 г. Эдвард Санг , а в 1880 г. Рейнхольд Хоппе дал замкнутое выражение для решений. Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Длина стороны Площадь Inradius
п - 1 п п + 1
3 4 5 6 1
13 14 15 84 4
51 52 53 1170 15
193 194 195 16296 56
723 724 725 226974 209
2701 2702 2703 3161340 780
10083 10084 10085 44031786 2911
37633 37634 37635 613283664 10864

Последующие значения n можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычтя предыдущее значение (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 и т. Д.), Таким образом:

где t обозначает любую строку в таблице. Это последовательность Лукаса . В качестве альтернативы формула генерирует все n . Аналогично, пусть A = площадь и y = радиус, тогда

где { n , y } являются решениями n 2  - 12 y 2  = 4. Небольшое преобразование n = 2x дает обычное уравнение Пелла x 2  - 3 y 2  = 1, решения которого затем могут быть получены из регулярного продолжения дробное разложение для 3 .

Переменная n имеет вид , где k равно 7, 97, 1351, 18817,…. Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательных целых чисел имеют целое стандартное отклонение .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки