Многочлены Эрмита - Hermite polynomials

В математике , то полиномы Эрмита являются классическим ортогональным многочленом последовательности .

Многочлены возникают в:

• обработка сигналов в виде эрмитовых вейвлетов для анализа вейвлет-преобразования
• вероятность , такая как ряд Эджворта , а также в связи с броуновским движением ;
• комбинаторика , как пример последовательности Аппеля , подчиняющейся теневому исчислению ;
• численный анализ в виде квадратуры Гаусса ;
• физики , где они приводят к собственным состояниям в квантовом гармоническом осцилляторе ; и они также встречаются в некоторых случаях уравнения теплопроводности (когда присутствует член );${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} xu_ {x} \ end {выровнено}}}$
• теория систем в связи с нелинейными операциями над гауссовским шумом .
• теория случайных матриц в гауссовских ансамблях .

Многочлены Эрмита были определены Пьером-Симоном Лапласом в 1810 году, хотя и в трудно узнаваемой форме, и подробно изучены Пафнутым Чебышевым в 1859 году. Работы Чебышева не были замечены , и они были названы позже в честь Чарльза Эрмита , писавшего о многочленах в 1864 году. описывая их как новые. Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.

Определение

Как и другие классические ортогональные многочлены , многочлены Эрмита могут быть определены из нескольких различных отправных точек. С самого начала отмечая, что широко используются две различные стандартизации, один из удобных методов состоит в следующем:

• В «Эрмита вероятностник в» определяются

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {\ frac {x ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {n }} {dx ^ {n}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}},}$

• в то время как "полиномы Эрмита физика" даются

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}}.}$

Эти уравнения имеют форму формулы Родригеса, а также могут быть записаны как,

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = \ left (x - {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} \ cdot 1, \ quad H_ {n} (x) = \ left (2x - {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} \ cdot 1.}$

Эти два определения не совсем идентичны; каждый является изменением масштаба другого:

${\ displaystyle H_ {n} (x) = 2 ^ {\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ left ({\ sqrt {2}} \, x \ right) , \ quad {\ mathit {He}} _ {n} (x) = 2 ^ {- {\ frac {n} {2}}} H_ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt { 2}}} \ right).}$

Это полиномиальные последовательности Эрмита различной дисперсии; см. материал о вариациях ниже.

Обозначения He и H используются в стандартных ссылках. Многочлены He _n иногда обозначают H _n , особенно в теории вероятностей, потому что

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$

- функция плотности вероятности для нормального распределения с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

• Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {0} (x) & = 1, \\ {\ mathit {He}} _ {1} (x) & = x, \\ { \ mathit {He}} _ {2} (x) & = x ^ {2} -1, \\ {\ mathit {He}} _ {3} (x) & = x ^ {3} -3x, \ \ {\ mathit {He}} _ {4} (x) & = x ^ {4} -6x ^ {2} +3, \\ {\ mathit {He}} _ {5} (x) & = x ^ {5} -10x ^ {3} + 15x, \\ {\ mathit {He}} _ {6} (x) & = x ^ {6} -15x ^ {4} + 45x ^ {2} -15 , \\ {\ mathit {He}} _ {7} (x) & = x ^ {7} -21x ^ {5} + 105x ^ {3} -105x, \\ {\ mathit {He}} _ { 8} (x) & = x ^ {8} -28x ^ {6} + 210x ^ {4} -420x ^ {2} +105, \\ {\ mathit {He}} _ {9} (x) & = x ^ {9} -36x ^ {7} + 378x ^ {5} -1260x ^ {3} + 945x, \\ {\ mathit {He}} _ {10} (x) & = x ^ {10} -45x ^ {8} + 630x ^ {6} -3150x ^ {4} + 4725x ^ {2} -945. \ End {выравнивается}}}$

• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физика:

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {0} (x) & = 1, \\ H_ {1} (x) & = 2x, \\ H_ {2} (x) & = 4x ^ {2} - 2, \\ H_ {3} (x) & = 8x ^ {3} -12x, \\ H_ {4} (x) & = 16x ^ {4} -48x ^ {2} +12, \\ H_ { 5} (x) & = 32x ^ {5} -160x ^ {3} + 120x, \\ H_ {6} (x) & = 64x ^ {6} -480x ^ {4} + 720x ^ {2} - 120, \\ H_ {7} (x) & = 128x ^ {7} -1344x ^ {5} + 3360x ^ {3} -1680x, \\ H_ {8} (x) & = 256x ^ {8} - 3584x ^ {6} + 13440x ^ {4} -13440x ^ {2} +1680, \\ H_ {9} (x) & = 512x ^ {9} -9216x ^ {7} + 48384x ^ {5} -80640x ^ {3} + 30240x, \\ H_ {10} (x) & = 1024x ^ {10} -23040x ^ {8} + 161280x ^ {6} -403200x ^ {4} + 302400x ^ {2} -30240. \ конец {выровнено}}}$

Характеристики

П - го порядка полином Эрмита многочлен степени п . Версия вероятностного He _n имеет старший коэффициент 1, а версия физика H _n имеет старший коэффициент 2 ⁿ .

Ортогональность

Н _п ( х ) , и он _п ( х ) являются п - й степени-полиномы для п = 0, 1, 2, 3, ... . Эти многочлены ортогональны относительно весовой функции ( меры )

${\ displaystyle w (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ quad ({\ text {for}} {\ mathit {He}})}$

или

${\ Displaystyle ш (х) = е ^ {- х ^ {2}} \ quad ({\ text {for}} H),}$

т.е. у нас есть

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, w (x) \, dx = 0 \ quad {\ text {для всех} } m \ neq n.}$

Более того,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ mathit {He}} _ {m} (x) {\ mathit {He}} _ {n} (x) \, e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \, dx = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n! \, \ delta _ {nm},}$

или

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt { \ pi}} \, 2 ^ {n} n! \, \ delta _ {nm},}$

где - дельта Кронекера . ${\ displaystyle \ delta _ {нм}}$

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны по отношению к стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота

Эрмита многочлены (вероятностник - й или физика) образует ортогональный базис в гильбертовом пространстве функций , удовлетворяющей

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ bigl |} е (х) {\ bigr |} ^ {2} \, ш (х) \, dx <\ infty,}$

в котором внутреннее произведение дается интегралом

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, w (x) \, dx}$

включая гауссову весовую функцию w ( x ), определенную в предыдущем разделе

Ортогональный базис для L ² ( R , ш ( х ) ого ) является полной ортогональной системой . Для ортогональной системы полнота эквивалентна тому факту, что функция 0 является единственной функцией f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ), ортогональной всем функциям в системе.

Поскольку линейная оболочка многочленов Эрмита - это пространство всех многочленов, нужно показать (в случае физики), что если f удовлетворяет

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х) х ^ {п} е ^ {- х ^ {2}} \, dx = 0}$

для любого n ≥ 0 , то f = 0 .

Один из возможных способов сделать это - понять, что вся функция

${\ Displaystyle F (z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ {zx-x ^ {2}} \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} \ int f (x) x ^ {n} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = 0}$

тождественно пропадает. Тот факт, что F ( it ) = 0 для любого действительного t, означает, что преобразование Фурье функции f ( x ) e ^{- x 2} равно 0, следовательно, f равно 0 почти всюду. Варианты приведенного выше доказательства полноты применимы к другим весам с экспоненциальным убыванием.

В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, которое подразумевает полноту (см. Раздел об отношении полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта , что Эрмит многочлены ортогональный базис для L ² ( R , ш ( х ) ого ) состоит во введении Эрмита функции (см ниже), и, говоря , что функции Эрмита являются ортонормированным базисом L ² ( R ) .

Дифференциальное уравнение Эрмита

Полиномы Эрмита вероятностного являются решениями дифференциального уравнения

${\ displaystyle \ left (e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} u '\ right)' + \ lambda e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} u = 0,}$

где λ - постоянная. Налагая граничное условие, что u должно быть полиномиально ограничено на бесконечности, уравнение имеет решения только в том случае, если λ - неотрицательное целое число, и решение однозначно задается выражением , где обозначает константу. ${\ displaystyle u (x) = C_ {1} He _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Переписываем дифференциальное уравнение как задачу на собственные значения

${\ displaystyle L [u] = u '' - xu '= - \ lambda u,}$

полиномы Эрмита можно понимать как собственные функции дифференциального оператора . Эта проблема собственных значений называется уравнением Эрмита , хотя этот термин также используется для тесно связанного уравнения ${\ Displaystyle He _ {\ lambda} (х)}$${\ displaystyle L [u]}$

${\ displaystyle u '' - 2xu '= - 2 \ lambda u.}$

решение которой однозначно дается в терминах полиномов Эрмита физика в форме , где обозначает константу, после наложения граничного условия, что u должна быть полиномиально ограничена на бесконечности. ${\ Displaystyle и (х) = C_ {1} H _ {\ lambda} (х)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Общие решения вышеупомянутых дифференциальных уравнений второго порядка фактически являются линейными комбинациями как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физика

${\ displaystyle u '' - 2xu '+ 2 \ lambda u = 0,}$

общее решение принимает вид

${\ displaystyle u (x) = C_ {1} H _ {\ lambda} (x) + C_ {2} h _ {\ lambda} (x),}$

где и - константы, - полиномы Эрмита физика (первого рода) и - функции Эрмита физика (второго рода). Последние функции компактно представлены в виде где - конфлюэнтные гипергеометрические функции первого рода . Обычные полиномы Эрмита также могут быть выражены в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций, см. Ниже. ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda} (х)}$${\ Displaystyle ч _ {\ лямбда} (х)}$${\ displaystyle h _ {\ lambda} (x) = {} _ {1} F_ {1} (- {\ tfrac {\ lambda} {2}}; {\ tfrac {1} {2}}; x ^ { 2})}$${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (а; b; z)}$

С более общими граничными условиями , многочлены Эрмита можно обобщить , чтобы получить более общие аналитические функции для комплекснозначного Л . Также возможна явная формула полиномов Эрмита в терминах контурных интегралов ( Курант и Гильберт, 1989 ).

Отношение повторения

Последовательность вероятностных многочленов Эрмита также удовлетворяет рекуррентному соотношению

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n + 1} (x) = x {\ mathit {He}} _ {n} (x) - {\ mathit {He}} _ {n} '(x ).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\ displaystyle a_ {n + 1, k} = {\ begin {cases} -na_ {n-1, k} & k = 0, \\ a_ {n, k-1} -na_ {n-1, k} & k> 0, \ end {case}}}$

и _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 1 .

Для полиномов физика в предположении

${\ displaystyle H_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} x ^ {k},}$

у нас есть

${\ displaystyle H_ {n + 1} (x) = 2xH_ {n} (x) -H_ {n} '(x).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\ displaystyle a_ {n + 1, k} = {\ begin {cases} -a_ {n, k + 1} & k = 0, \\ 2a_ {n, k-1} - (k + 1) a_ {n , k + 1} & k> 0, \ end {case}}}$

и _0,0 = 1 , _1,0 = 0 , _1,1 = 2 .

Полиномы Эрмита составляют последовательность Аппеля , т. Е. Представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} '(x) & = n {\ mathit {He}} _ {n-1} (x), \\ H_ {n} '(x) & = 2nH_ {n-1} (x). \ end {выравнивается}}}$

Эквивалентно, расширяя Тейлора ,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} (x + y) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} x ^ {nk} {\ mathit {He}} _ {k} (y) && = 2 ^ {- {\ frac {n} {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {nk} \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) {\ mathit {He}} _ {k} \ left (y {\ sqrt {2}} \ right), \\ H_ {n} (x + y) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} H_ {k} (x) (2y) ^ {(nk)} && = 2 ^ {- {\ frac {n} {2}}} \ cdot \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} H_ {nk} \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) H_ {k} \ left (y {\ sqrt {2}} \ right). \ End {align}}}$

Эти темные тождества очевидны и включены в представление дифференциального оператора, подробно описанное ниже:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = e ^ {- {\ frac {D ^ {2}} {2}}} x ^ {n}, \\ H_ {n} (x) & = 2 ^ {n} e ^ {- {\ frac {D ^ {2}} {4}}} x ^ {n}. \ End {выровнено}}}$

Следовательно, для m- й производной выполняются следующие соотношения:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} ^ {(m)} (x) & = {\ frac {n!} {(nm)!}} {\ mathit {Он }} _ {nm} (x) && = m! {\ binom {n} {m}} {\ mathit {He}} _ {nm} (x), \\ H_ {n} ^ {(m)} (x) & = 2 ^ {m} {\ frac {n!} {(нм)!}} H_ {nm} (x) && = 2 ^ {m} m! {\ binom {n} {m}} H_ {нм} (x). \ End {выравнивается}}}$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n + 1} (x) & = x {\ mathit {He}} _ {n} (x) -n {\ mathit {He} } _ {n-1} (x), \\ H_ {n + 1} (x) & = 2xH_ {n} (x) -2nH_ {n-1} (x). \ end {align}}}$

Эти последние соотношения вместе с исходными многочленами H ₀ ( x ) и H ₁ ( x ) могут использоваться на практике для быстрого вычисления многочленов.

Неравенства Турана являются

${\ displaystyle {\ mathit {H}} _ {n} (x) ^ {2} - {\ mathit {H}} _ {n-1} (x) {\ mathit {H}} _ {n + 1 } (x) = (n-1)! \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {2 ^ {ni}} {i!}} {\ mathit {H}} _ {i } (x) ^ {2}> 0.}$

Более того, справедлива следующая теорема умножения :

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} \ гамма ^ {n-2i} (\ gamma ^ {2} -1) ^ {i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} H_ {n-2i } (x), \\ {\ mathit {He}} _ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} \ gamma ^ {n-2i} (\ gamma ^ {2} -1) ^ {i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} 2 ^ {- i} {\ mathit {He}} _ {n-2i} (x). \ End {выравнивается}}}$

Явное выражение

Многочлены Эрмита физика могут быть явно записаны как

${\ displaystyle H_ {n} (x) = {\ begin {case} \ displaystyle n! \ sum _ {l = 0} ^ {\ frac {n} {2}} {\ frac {(-1) ^ { {\ tfrac {n} {2}} - l}} {(2l)! \ left ({\ tfrac {n} {2}} - l \ right)!}} (2x) ^ {2l} & {\ текст {для четных}} n, \\\ displaystyle n! \ sum _ {l = 0} ^ {\ frac {n-1} {2}} {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {n -1} {2}} - l}} {(2l + 1)! \ Left ({\ frac {n-1} {2}} - l \ right)!}} (2x) ^ {2l + 1} & {\ text {для нечетных}} n. \ end {case}}}$

Эти два уравнения могут быть объединены в одну , используя функцию пола :

${\ Displaystyle Н_ {п} (х) = п! \ сумма _ {м = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! (n-2m)!}} (2x) ^ {n-2m}.}$

У вероятностных многочленов Эрмита He есть аналогичные формулы, которые можно получить из них, заменив степень 2 x соответствующей степенью √ 2  x и умножив всю сумму на 2 ^{- п/2}:

${\ Displaystyle He_ {п} (х) = п! \ сумма _ {м = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! (n-2m)!}} {\ frac {x ^ {n-2m}} {2 ^ {m}}}.}.}$

Обратное явное выражение

Обратные к вышеприведенным явным выражениям, то есть выражения для мономов в терминах вероятностных многочленов Эрмита He имеют вид

${\ displaystyle x ^ {n} = n! \ sum _ {m = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {2 ^ { m} m! (n-2m)!}} He_ {n-2m} (x).}$

Соответствующие выражения для полиномов Эрмита H физика следуют непосредственно, правильно масштабируя это:

${\ displaystyle x ^ {n} = {\ frac {n!} {2 ^ {n}}} \ sum _ {m = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {m! (n-2m)!}} H_ {n-2m} (x).}$

Производящая функция

Многочлены Эрмита задаются экспоненциальной производящей функцией

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {xt - {\ frac {1} {2}} t ^ {2}} & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ mathit {Он }} _ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}, \\ e ^ {2xt-t ^ {2}} & = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}. \ end {align}}}$

Это равенство справедливо для всех комплексных значений x и t и может быть получено записью разложения Тейлора в точке x всей функции z → e ^{- z 2} (в случае физика). Можно также вывести производящую функцию (физика), используя интегральную формулу Коши для записи полиномов Эрмита в виде

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {(zx) ^ {n + 1}}} \, dz.}$

Используя это в сумме

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}},}$

можно вычислить оставшийся интеграл, используя исчисление вычетов, и прийти к желаемой производящей функции.

Ожидаемые значения

Если X - случайная величина с нормальным распределением со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ , то

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ left [{\ mathit {He}} _ {n} (X) \ right] = \ mu ^ {n}.}$

Моменты стандартной нормали (с нулевым математическим ожиданием) могут быть считаны непосредственно из соотношения для четных индексов:

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ left [X ^ {2n} \ right] = (- 1) ^ {n} {\ mathit {He}} _ {2n} (0) = (2n- 1) !!,}$

где (2 n - 1) !! - двойной факториал . Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления полиномов Эрмита вероятности в виде моментов:

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x + iy) ^ {n} e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} {2}}} \, dy.}$

Асимптотическое разложение

Асимптотически при n → ∞ разложение

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2 ^ {n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right) \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}} - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right )}$

Справедливо. В некоторых случаях, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо включить коэффициент изменения амплитуды:

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2 ^ {n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right) \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}} - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right) ) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2n + 1}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}}} = {\ frac {2 \ Gamma (n) } {\ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right)}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}} - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right ) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2n + 1}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}}},}$

которое, используя приближение Стирлинга , можно упростить в пределе до

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ left ({\ frac {2n} {e}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}} - {\ frac {n \ pi} {2}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2n + 1}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}}}.}.$

Это расширение необходимо для решения волновых из более квантового гармонического осциллятора таким образом, что она согласуется с классическим приближением в пределе принципа соответствия .

Лучшее приближение, которое учитывает изменение частоты, дается формулой

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ left ({\ frac {2n} {e}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n + 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3}}}} - {\ гидроразрыв {n \ pi} {2}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {2n + 1}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {4}} }.}$

Более тонкое приближение, учитывающее неравномерное расстояние между нулями у краев, использует замену

${\ Displaystyle х = {\ sqrt {2n + 1}} \ соз (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ pi - \ varepsilon,}$

с которым имеется равномерное приближение

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + {\ frac { 1} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n) ^ {- {\ frac {1} {4}}} (\ sin \ varphi) ^ {- {\ frac {1} { 2}}} \ cdot \ left (\ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {4}} + \ left ({\ frac {n} {2}} + {\ frac {1} {4}) } \ right) \ left (\ sin 2 \ varphi -2 \ varphi \ right) \ right) + O \ left (n ^ {- 1} \ right) \ right).}$

Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если

${\ displaystyle x = {\ sqrt {2n + 1}} \ cosh (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ omega <\ infty,}$

тогда

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2 ^ {{\ frac {n} {2}} - {\ frac { 3} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n) ^ {- {\ frac {1} {4}}} (\ sinh \ varphi) ^ {- {\ frac {1} { 2}}} \ cdot e ^ {\ left ({\ frac {n} {2}} + {\ frac {1} {4}} \ right) \ left (2 \ varphi - \ sinh 2 \ varphi \ right )} \ left (1 + O \ left (n ^ {- 1} \ right) \ right),}$

в то время как для

${\ Displaystyle х = {\ sqrt {2n + 1}} + t}$

с t комплексным и ограниченным приближением

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = \ pi ^ {\ frac {1} {4}} 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + {\ frac {1} {4}}} {\ sqrt {n!}} \, n ^ {- {\ frac {1} {12}}} \ left (\ operatorname {Ai} \ left (2 ^ {\ frac {1} {2}} n ^ {\ frac {1} {6}} t \ right) + O \ left (n ^ {- {\ frac {2} { 3}}} \ right) \ right),}$

где Ai - функция Эйри первого рода.

Особые ценности

Полиномы Эрмита физика, вычисленные при нулевом аргументе H _n (0) , называются числами Эрмита .

${\ displaystyle H_ {n} (0) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {для нечетных}} n, \\ (- 2) ^ {\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {для четных}} n, \ end {case}}}$

которые удовлетворяют рекурсивному соотношению H _n (0) = −2 ( n - 1) H _{n - 2} (0) .

В терминах вероятностных полиномов это означает

${\ displaystyle He_ {n} (0) = {\ begin {case} 0 & {\ text {для нечетных}} n, \\ (- 1) ^ {\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {для четных}} n. \ end {case}}}$

Отношения к другим функциям

Полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай полиномов Лагерра :

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {2n} (x) & = (- 4) ^ {n} n! L_ {n} ^ {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right )} (x ^ {2}) && = 4 ^ {n} n! \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {\ binom {n - {\ frac {1}) {2}}} {nk}} {\ frac {x ^ {2k}} {k!}}, \\ H_ {2n + 1} (x) & = 2 (-4) ^ {n} n! XL_ {n} ^ {\ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} (x ^ {2}) && = 2 \ cdot 4 ^ {n} n! \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {\ binom {n + {\ frac {1} {2}}} {nk}} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {k!}}. \ конец {выровнен}}}$

Связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями

Полиномы Эрмита физика могут быть выражены как частный случай функций параболического цилиндра :

${\ displaystyle H_ {n} (x) = 2 ^ {n} U \ left (- {\ tfrac {1} {2}} n, {\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ Правильно)}$

в правой полуплоскости , где U ( a , b , z ) - вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми . Сходным образом,

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {2n} (x) & = (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n)!} {n!}} \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {1} {2}}; x ^ {2} {\ big)}, \\ H_ {2n + 1} (x) & = (- 1) ^ {n } {\ frac {(2n + 1)!} {n!}} \, 2x \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {3} {2}}; x ^ {2} {\ big)}, \ end {выравнивается}}}$

где ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера .

Дифференциально-операторное представление

Многочлены Эрмита вероятностного удовлетворяют тождеству

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = e ^ {- {\ frac {D ^ {2}} {2}}} x ^ {n},}$

где D представляет собой дифференцирование по x , а экспонента интерпретируется как степенной ряд . Когда этот ряд работает с многочленами, нет деликатных вопросов о сходимости этого ряда, поскольку все члены, кроме конечного числа, равны нулю.

Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а производные высшего порядка монома x ⁿ могут быть записаны явно, это представление дифференциального оператора приводит к конкретной формуле для коэффициентов при H _n, которую можно использовать чтобы быстро вычислить эти полиномы.

Поскольку формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W есть e ^{D 2} , мы видим, что преобразование Вейерштрасса для ( √ 2 ) ⁿ He _n (Икс/√ 2) есть x ⁿ . Таким образом, по сути преобразование Вейерштрасса превращает ряд многочленов Эрмита в соответствующий ряд Маклорена .

Существование некоторого формального степенного ряда g ( D ) с ненулевым постоянным коэффициентом, такого что He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют последовательность Аппеля . Поскольку они являются последовательностью Аппеля, они тем более являются последовательностью Шеффера .

Контурно-интегральное представление

Из представленного выше представления производящей функции мы видим, что многочлены Эрмита имеют представление в терминах контурного интеграла , как

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {e ^ {tx - {\ frac {t ^ {2}} {2}}}} {t ^ {n + 1}}} \, dt, \\ H_ {n} (x) & = {\ frac {n !} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {e ^ {2tx-t ^ {2}}} {t ^ {n + 1}}} \, dt, \ end {выровнено} }}$

контуром, охватывающим начало координат.

Обобщения

Полиномы Эрмита, определенные выше, ортогональны по отношению к стандартному нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого равна

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}},}$

который имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию 1.

Масштабируя аналогично можно говорить об обобщенных полиномах Эрмита

${\ Displaystyle {\ mathit {Он}} _ {п} ^ {[\ альфа]} (х)}$

дисперсии α , где α - любое положительное число. Тогда они ортогональны относительно нормального распределения вероятностей, функция плотности которого

${\ displaystyle (2 \ pi \ alpha) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ alpha}}}.}$

Они даны

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} ^ {[\ alpha]} (x) = \ alpha ^ {\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {\ alpha}}} \ right) = \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} H_ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2 \ alpha}}} \ right) = e ^ {- {\ frac {\ alpha D ^ {2}} {2}}} \ left ( x ^ {n} \ right).}$

Сейчас если

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} ^ {[\ alpha]} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} h_ {n, k} ^ {[\ alpha]} х ^ {к},}$

то полиномиальная последовательность, n- й член которой

${\ displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n} ^ {[\ alpha]} \ circ {\ mathit {He}} ^ {[\ beta]} \ right) (x) \ эквив \ сумма _ {k = 0} ^ {n} h_ {n, k} ^ {[\ alpha]} \, {\ mathit {He}} _ {k} ^ {[\ beta]} (x)}$

называется теневой композицией двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что удовлетворяются тождества

${\ displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n} ^ {[\ alpha]} \ circ {\ mathit {He}} ^ {[\ beta]} \ right) (x) = {\ mathit {Он}} _ {n} ^ {[\ alpha + \ beta]} (x)}$

а также

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} ^ {[\ alpha + \ beta]} (x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k }} {\ mathit {He}} _ {k} ^ {[\ alpha]} (x) {\ mathit {He}} _ {nk} ^ {[\ beta]} (y).}$

Последняя идентичность выражается в том, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей известно как перекрестная последовательность. (См. Раздел выше, посвященный последовательностям Аппеля и представлению дифференциального оператора , который приводит к готовому его выводу. Это тождество биномиального типа для α = β =1/2, уже встречался в предыдущем разделе, посвященном отношениям #Recursion .)

«Отрицательная дисперсия»

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группу при операции умбральной композиции , можно обозначить через

${\ Displaystyle {\ mathit {Он}} _ {п} ^ {[- \ альфа]} (х)}$

последовательность, которая обратна той, которая обозначена аналогично, но без знака минус, и, таким образом, говорит о полиномах Эрмита с отрицательной дисперсией. При α> 0 коэффициенты являются абсолютными значениями соответствующих коэффициентов при . ${\ Displaystyle {\ mathit {Он}} _ {п} ^ {[- \ альфа]} (х)}$${\ Displaystyle {\ mathit {Он}} _ {п} ^ {[\ альфа]} (х)}$

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: n- й момент нормального распределения с ожидаемым значением μ и дисперсией σ ² равен

${\ displaystyle E [X ^ {n}] = {\ mathit {He}} _ {n} ^ {[- \ sigma ^ {2}]} (\ mu),}$

где X - случайная величина с заданным нормальным распределением. Частный случай идентичности кросс-последовательностей говорит, что

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {k} ^ {[\ alpha]} (x) {\ mathit { He}} _ {nk} ^ {[- \ alpha]} (y) = {\ mathit {He}} _ {n} ^ {[0]} (x + y) = (x + y) ^ {n }.}$

Приложения

Функции Эрмита

Можно определить функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физика:

${\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ left (2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} \ left (2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}) } \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {\ frac {x ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n} }} e ^ {- x ^ {2}}.}$

Таким образом,

${\ displaystyle {\ sqrt {2 (n + 1)}} ~~ \ psi _ {n + 1} (x) = \ left (x- {d \ over dx} \ right) \ psi _ {n} ( Икс).}$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовой функции и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированы :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = \ delta _ {nm},}$

и они образуют ортогональный базис L ² ( R ) . Этот факт эквивалентен соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. Выше).

Функции Эрмита тесно связаны с функцией Уиттекера ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\ displaystyle D_ {n} (z) = \ left (n! {\ sqrt {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ psi _ {n} \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ right) = (- 1) ^ {n} e ^ {\ frac {z ^ {2}} {4}} {\ frac {d ^ {n}} { dz ^ {n}}} e ^ {\ frac {-z ^ {2}} {2}}}$

и тем самым к другим функциям параболического цилиндра .

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\ Displaystyle \ psi _ {n} '' (x) + \ left (2n + 1-x ^ {2} \ right) \ psi _ {n} (x) = 0.}$

Это уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственными функциями .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ psi _ {0} (x) & = \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}} \, e ^ {- {\ frac {1} {2 }} x ^ {2}}, \\\ psi _ {1} (x) & = {\ sqrt {2}} \, \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}} \, x \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}}, \\\ psi _ {2} (x) & = \ left ({\ sqrt {2}} \, \ pi ^ {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {- 1} \, \ left (2x ^ {2} -1 \ right) \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}}, \\\ psi _ {3} (x) & = \ left ({\ sqrt {3}} \, \ pi ^ {\ frac {1} {4}} \ right) ^ { -1} \, \ left (2x ^ {3} -3x \ right) \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}}, \\\ psi _ {4} ( x) & = \ left (2 {\ sqrt {6}} \, \ pi ^ {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {- 1} \, \ left (4x ^ {4} -12x ^ {2} +3 \ right) \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}}, \\\ psi _ {5} (x) & = \ left (2 { \ sqrt {15}} \, \ pi ^ {\ frac {1} {4}} \ right) ^ {- 1} \, \ left (4x ^ {5} -20x ^ {3} + 15x \ right) \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}}. \ end {align}}}$

Отношение рекурсии

Следуя рекурсивным соотношениям многочленов Эрмита, функции Эрмита подчиняются

${\ displaystyle \ psi _ {n} '(x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x) - {\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n + 1} (x)}$

а также

${\ displaystyle x \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x) + {\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n + 1} (x).}$

Распространение первого соотношения на произвольные производные m для любого натурального числа m приводит к

${\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {(m)} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ binom {m} {k}} (- 1) ^ {k} 2 ^ {\ frac {mk} {2}} {\ sqrt {\ frac {n!} {(n-m + k)!}}} \ psi _ {n-m + k} (x) {\ mathit { He}} _ {k} (x).}$

Эта формула может использоваться в сочетании с рекуррентными соотношениями для He _n и ψ _n для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера

Для действительного x функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке Харальда Крамера и Джека Индрица:

${\ displaystyle {\ bigl |} \ psi _ {n} (x) {\ bigr |} \ leq \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}}.}$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье

Функции Эрмита i | _п ( х ) представляет собой набор собственных функций непрерывного преобразования Фурье F . Чтобы убедиться в этом, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на e ^{-1/2х 2} . Это дает

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + 2xt-t ^ {2}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- { \ frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Преобразование Фурье левой части дается выражением

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ left \ {e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2} + 2xt-t ^ {2}} \ right \} (k) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ixk} e ^ {- {\ frac { 1} {2}} x ^ {2} + 2xt-t ^ {2}} \, dx \\ & = e ^ {- {\ frac {1} {2}} k ^ {2} -2kit + t ^ {2}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {1} {2}} k ^ {2}} H_ {n} (k) { \ frac {(-it) ^ {n}} {n!}}. \ end {выравнивается}}}$

Преобразование Фурье правой части дается формулой

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n } (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n} (x) \ right \} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Приравнивание одинаковых степеней t в преобразованных версиях левой и правой частей, наконец, дает

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} H_ {n} (x) \ right \} = (- i) ^ {n} e ^ {- {\ frac {1} {2}} k ^ {2}} H_ {n} (k).}$

Функции Эрмита i | _п ( х ) , таким образом , ортонормированный базис L ² ( R ) , который диагонализует оператор преобразования Фурье .

Распределения Вигнера функций Эрмита

Функция распределения Вигнера в п функции Эрмита го порядка связано с п го порядка лагеровском полинома . Многочлены Лагерра равны

${\ displaystyle L_ {n} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k! }} x ^ {k},}$

приводящие к осциллятору функций Лагерра

${\ displaystyle l_ {n} (x): = e ^ {- {\ frac {x} {2}}} L_ {n} (x).}$

Для всех натуральных чисел n легко увидеть, что

${\ displaystyle W _ {\ psi _ {n}} (t, f) = (- 1) ^ {n} l_ {n} {\ big (} 4 \ pi (t ^ {2} + f ^ {2}) ){\большой )},}$

где распределение Вигнера функции x ∈ L ² ( R , C ) определяется как

${\ displaystyle W_ {x} (t, f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ left (t + {\ frac {\ tau} {2}} \ right) \, x \ left (t - {\ frac {\ tau} {2}} \ right) ^ {*} \, e ^ {- 2 \ pi i \ tau f} \, d \ tau.}$

Это фундаментальный результат для квантового гармонического осциллятора, открытого Хипом Греневольдом в 1946 году в его докторской диссертации. Это стандартная парадигма квантовой механики в фазовом пространстве .

Есть и другие отношения между двумя семействами многочленов.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

В полиноме Эрмита He _n ( x ) с дисперсией 1 абсолютное значение коэффициента при x ^k представляет собой количество (неупорядоченных) разбиений n -элементного множества на k одиночных элементов ип - к/2(неупорядоченные) пары. Эквивалентно, это количество инволюций n -элементного множества с точно k неподвижными точками, или, другими словами, количество паросочетаний в полном графе на n вершинах, которые оставляют k вершин непокрытыми (действительно, полиномы Эрмита являются паросочетаниями полиномы этих графов). Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

Эта комбинаторная интерпретация может быть связана с полными экспоненциальными многочленами Белла следующим образом:

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, \ ldots, 0),}$

где x _i = 0 для всех i > 2 .

Эти числа также могут быть выражены как специальное значение полиномов Эрмита:

${\ displaystyle T (n) = {\ frac {{\ mathit {He}} _ {n} (i)} {i ^ {n}}}.}$

Отношение полноты

Формула Кристоффеля – Дарбу для полиномов Эрмита имеет вид

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {H_ {k} (x) H_ {k} (y)} {k! 2 ^ {k}}} = {\ frac {1 } {n! 2 ^ {n + 1}}} \, {\ frac {H_ {n} (y) H_ {n + 1} (x) -H_ {n} (x) H_ {n + 1} ( y)} {xy}}.}$

Более того, для указанных функций Эрмита в смысле распределений выполняется следующее тождество полноты :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {n} (y) = \ delta (xy),}$

где δ является дельта - функция Дирака , ψ _п функции Эрмита, и δ ( х - у ) представляет собой меру Лебега на прямой у = х в R ² , нормированы так , что его проекция на горизонтальной оси является обычной мерой Лебега.

Это распределительное тождество следует Винеру (1958) , взяв u → 1 в формуле Мелера , справедливой при −1 < u <1 :

${\ displaystyle E (x, y; u): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u ^ {n} \, \ psi _ {n} (x) \, \ psi _ {n} (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi (1-u ^ {2})}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {1-u} {1 + u}} \, {\ frac {(x + y) ^ {2}} {4}} - {\ frac {1 + u} {1-u}} \, {\ frac {(xy) ^ {2}} { 4}} \ right),}$

которое часто эквивалентно формулируется как сепарабельное ядро,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} (x) H_ {n} (y)} {n!}} \ left ({\ frac {u} { 2}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} e ^ {{\ frac {2u} {1 + u}} xy - {\ гидроразрыв {u ^ {2}} {1-u ^ {2}}} (xy) ^ {2}}.}$

Функция ( х , у ) → E ( х , у , у ) является двумерный гауссовой плотностью вероятности на R ² , которая, когда у близко к 1, очень сосредоточен вокруг линии у = х , и очень распространена на эта линия. Следует, что

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u ^ {n} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n}, g \ rangle = \ iint E ( x, y; u) f (x) {\ overline {g (y)}} \, dx \, dy \ to \ int f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx = \ langle f, g \ rangle}$

когда f и g непрерывны и имеют компактную опору.

Это дает , что F может быть выражен в функции Эрмита в виде суммы ряда векторов в L ² ( R ) , а именно,

${\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ psi _ {n}.}$

Для того , чтобы доказать выше равенства Е ( х , у ; ¯u ) , то преобразование Фурье от функций Гаусса используется повторно:

${\ displaystyle \ rho {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- {\ frac {\ rho ^ {2} x ^ {2}} {4}}} = \ int e ^ {isx - {\ frac { s ^ {2}} {\ rho ^ {2}}}} \, ds \ quad {\ text {for}} \ rho> 0.}$

Тогда полином Эрмита представляется как

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left ({ \ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int e ^ {isx - {\ frac {s ^ {2}} {4}}} \, ds \ right) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int (is) ^ {n} e ^ {isx - {\ frac {s) ^ {2}} {4}}} \, ds.}$

При таком представлении для H _n ( x ) и H _n ( y ) очевидно, что

${\ displaystyle {\ begin {align} E (x, y; u) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {u ^ {n}} {2 ^ {n} n! {\ sqrt {\ pi}}}} \, H_ {n} (x) H_ {n} (y) e ^ {- {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}} } \\ & = {\ frac {e ^ {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}} \ iint \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} (- ust) ^ {n} \ right) e ^ {isx + ity - {\ frac {s ^ {2}} {4}} - {\ frac {t ^ {2}} {4}}} \, ds \, dt \\ & = {\ frac {e ^ {\ frac {x ^) {2} + y ^ {2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}} \ iint e ^ {- {\ frac {ust} {2}}} \, e ^ {isx + ity - {\ frac {s ^ {2}} {4}} - {\ frac {t ^ {2}} {4}}} \, ds \, dt, \ end {align}}}$

и это дает желаемое разрешение тождественного результата, снова используя преобразование Фурье гауссовых ядер при подстановке

${\ displaystyle s = {\ frac {\ sigma + \ tau} {\ sqrt {2}}}, \ quad t = {\ frac {\ sigma - \ tau} {\ sqrt {2}}}.}$

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• СМИ, связанные с полиномами Эрмита на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Эрмита» . MathWorld .
• Научная библиотека GNU - включает версию C полиномов Эрмита, функций, их производных и нулей (см. Также Научную библиотеку GNU )