Лемма Гурса - Goursat's lemma

Лемма Гурса , названная в честь французского математика Гурса , является алгебраической теоремой о подгруппах в прямом произведении двух групп .

Это может быть сформулировано в более общем виде в многообразии Гурса (и, следовательно, оно также верно в любом многообразии Мальцева ), из которого можно восстановить более общую версию леммы Цассенхауза о бабочке . В этой форме из теоремы Гурса также следует лемма о змее .

Группы

Лемму Гурса для групп можно сформулировать следующим образом.

Пусть , будут группы, и пусть подгруппа таких , что две проекции и являются сюръективна (т.е. является подпрямым продуктом из и ). Пусть будет ядро и ядро из . Можно определить , как нормальная подгруппа в , и как нормальный делитель . Тогда образ ин является графиком из изоморфизма . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle G \ times G '}$ ${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle G / N \ times G '/ N'}$ ${\ Displaystyle G / N \ приблизительно G '/ N'}$

Непосредственным следствием этого является то, что подпрямой продукт двух групп может быть описан как продукт волокна и наоборот.

Обратите внимание , что если есть какие - либо подгруппы (проекция и не должны быть сюръективны), то проекции с на и являются сюръективны. Тогда можно применить лемму Гурса к . ${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle G \ times G '}$${\ displaystyle p_ {1}: H \ rightarrow G}$${\ displaystyle p_ {2}: H \ rightarrow G '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle p_ {1} (H)}$${\ displaystyle p_ {2} (H)}$ ${\ Displaystyle H \ Leq p_ {1} (H) \ times p_ {2} (H)}$

Для того, чтобы мотивировать доказательство, рассмотрим срез в , для любой произвольной . По сюръективности отображения проекции в , это имеет нетривиальное пересечение с . Тогда, по сути, это пересечение представляет собой ровно один конкретный смежный класс . Действительно, если бы мы имели различные элементы с и , затем быть группой, мы получаем , что и , следовательно, . Но это противоречие, поскольку принадлежат различным смежным классам , и, следовательно , и, таким образом, элемент не может принадлежать ядру карты проекции из в . Таким образом, пересечение с каждым "горизонтальным" срезом, изоморфным к, является в точности одним конкретным смежным классом с in . По тому же аргументу пересечение с каждым "вертикальным" срезом, изоморфным к, является точно одним конкретным смежным классом in . ${\ Displaystyle S = {g} \ times G '}$${\ Displaystyle G \ times G '}$${\ displaystyle {g} \ in G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle N '}$${\ Displaystyle (г, а), (г, Ь) \ в S \ cap H}$${\ displaystyle a \ in pN '\ subset G'}$${\ displaystyle b \ in qN '\ subset G'}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) \ в H}$${\ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle ab ^ {- 1} N '\ neq N'}$${\ displaystyle (е, ab ^ {- 1}) \ in N '}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G '\ in G \ times G'}$${\ displaystyle N '}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle G \ in G \ times G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle G}$

Все смежные классы присутствуют в группе , и, согласно приведенному выше аргументу, между ними существует точное соответствие 1: 1. Приведенное ниже доказательство показывает, что отображение является изоморфизмом. ${\ Displaystyle G, G '}$${\ displaystyle H}$

Доказательство

Прежде чем приступить к доказательству , и приведены к нормальным в и , соответственно. Именно в этом смысле и можно идентифицировать как нормальные в G и G ' соответственно. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$${\ Displaystyle G \ раз \ {е '\}}$${\ Displaystyle \ {е \} \ раз G '}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N '}$

Так как это гомоморфизм , его ядро Н является нормальным в H . Более того, данное существует , поскольку является сюръективным. Следовательно, это нормально в G , а именно: ${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle h = (g, g ') \ in H}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {1} (N)}$

${\ Displaystyle gp_ {1} (N) = p_ {1} (h) p_ {1} (N) = p_ {1} (hN) = p_ {1} (Nh) = p_ {1} (N) g }$ .

Отсюда следует, что это нормально, поскольку ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle G \ раз \ {е '\}}$

${\ displaystyle (g, e ') N = (g, e') (p_ {1} (N) \ times \ {e '\}) = gp_ {1} (N) \ times \ {e' \} = p_ {1} (N) g \ times \ {e '\} = (p_ {1} (N) \ times \ {e' \}) (g, e ') = N (g, e')}$ .

Доказательство, которое является нормальным, проводится аналогичным образом. ${\ displaystyle N '}$${\ Displaystyle \ {е \} \ раз G '}$

Учитывая отождествление с , мы можем написать и вместо и , . Кроме того , мы можем написать и , . ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G \ раз \ {е '\}}$${\ Displaystyle G / N}$${\ displaystyle gN}$${\ Displaystyle (G \ раз \ {е '\}) / N}$${\ displaystyle (g, e ') N}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle G '/ N'}$${\ displaystyle g'N '}$${\ displaystyle g '\ in G'}$

Переходим к доказательству. Рассмотрим карту, определяемую . Изображение под этой картой есть . Поскольку это отношение является сюръективным, оно представляет собой график четко определенной функции, предусмотренной для каждого , по сути, применения теста вертикальной линии . ${\ displaystyle H \ rightarrow G / N \ times G '/ N'}$${\ displaystyle (g, g ') \ mapsto (gN, g'N')}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle \ {(gN, g'N ') | (g, g') \ в H \}}$${\ Displaystyle H \ rightarrow G / N}$${\ Displaystyle G / N \ rightarrow G '/ N'}$${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N \ Rightarrow g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ in H}$

Поскольку (точнее ) у нас есть . Таким образом , откуда , то есть . ${\ displaystyle g_ {1} N = g_ {2} N}$${\ displaystyle (g_ {1}, e ') N = (g_ {2}, e') N}$${\ displaystyle (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e ') \ in N \ subset H}$${\ displaystyle (е, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') = (g_ {2}, g_ {2} ') ^ {- 1} (g_ {1}, g_ {1} ') (g_ {2} ^ {- 1} g_ {1}, e') ^ {- 1} \ in H}$${\ displaystyle (е, g_ {2} '^ {- 1} g_ {1}') \ in N '}$${\ displaystyle g_ {1} 'N' = g_ {2} 'N'}$

Кроме того, на все, что у нас есть . Следовательно, эта функция является гомоморфизмом групп. ${\ displaystyle (g_ {1}, g_ {1} '), (g_ {2}, g_ {2}') \ in H}$${\ displaystyle (g_ {1} g_ {2}, g_ {1} 'g_ {2}') \ in H}$

По симметрии является графиком корректно определенного гомоморфизма . Эти два гомоморфизма явно обратны друг другу и, следовательно, действительно являются изоморфизмами. ${\ Displaystyle \ {(g'N ', gN) | (g, g') \ в H \}}$${\ Displaystyle G '/ N' \ rightarrow G / N}$

Сорта гурса

Как следствие теоремы Гурса можно вывести очень общую версию теоремы Жордана – Гёльдера – Шрайера для многообразий Гурса.

Рекомендации

• Эдуард Гурса, "Sur les замещающие ортогональные и ле регулярные подразделения пространства", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (1889), том: 6, страницы 9–102
• Дж. Ламбек (1996). «Бабочка и змей». В Альдо Урсини; Пауло Альяно (ред.). Логика и алгебра . CRC Press. С. 161–180. ISBN   978-0-8247-9606-8 .
• Кеннет А. Рибет (осень 1976 г.), « Действие Галуа на точках деления абелевых многообразий с действительными умножениями», American Journal of Mathematics , Vol. 98, № 3, 751–804.