В математике , обобщенные средства (или средняя мощность или Гельдеровское среднее от Гёльдер ) представляют собой семейство функций для объединения наборов чисел. К ним относятся как частные случаи пифагорейские средние ( арифметические , геометрические и гармонические средние ).
Определение
Если p - ненулевое действительное число и положительные действительные числа, то обобщенное среднее или степенное среднее с показателем p этих положительных действительных чисел равно:
(См. P -norm ). Для p = 0 мы устанавливаем его равным среднему геометрическому (который является пределом средних значений с показателями, приближающимися к нулю, как показано ниже):
Кроме того, для последовательности положительных весов w i с суммой мы определяем средневзвешенное значение мощности как:
Невзвешенные средние соответствуют установке всех w i = 1 / n .
Особые случаи
Визуальное изображение некоторых из указанных случаев для
n = 2 с
a = x 1 = M ∞ и
b = x 2 = M −∞ :
гармоническое среднее, H = M −1 ( a , b ) ,
среднее геометрическое, G = M 0 ( a , b )
среднее арифметическое, A = M 1 ( a , b )
среднее квадратичное, Q = M 2 ( a , b )
Несколько конкретных значений p дают особые случаи с собственными именами:
|
минимум
|
|
гармоническое среднее
|
|
среднее геометрическое
|
|
среднее арифметическое
|
|
среднеквадратичное значение или среднее квадратичное
|
|
кубическое среднее
|
|
максимум
|
Доказательство (среднее геометрическое). Мы можем переписать определение M p, используя экспоненциальную функцию
В пределе p → 0 мы можем применить правило Лопиталя к аргументу экспоненциальной функции. Дифференцируя числитель и знаменатель по p , имеем
По непрерывности экспоненциальной функции мы можем снова подставить в указанное выше соотношение, чтобы получить
по желанию.
Доказательство и -
Предположим (возможно, после переименования и объединения терминов), что . потом
Формула для следует из
Характеристики
Пусть - последовательность положительных действительных чисел, тогда выполняются следующие свойства:
-
.
Каждое обобщенное среднее всегда находится между наименьшим и наибольшим из значений x .
-
, где - оператор перестановки.
Каждое обобщенное среднее является симметричной функцией своих аргументов; перестановка аргументов обобщенного среднего значения не меняет его значения.
-
.
Как и большинство
средств , обобщенное среднее является
однородной функцией своих аргументов
x 1 , ..., x n . То есть, если
b - положительное действительное число, то обобщенное среднее с показателем
p чисел равно
b, умноженному на обобщенное среднее чисел x 1 , ..., x n .
-
.
Обобщенное среднее неравенство
В общем случае, если p < q , то
и два средних значения равны тогда и только тогда, когда x 1 = x 2 = ... = x n .
Неравенство верно для реальных значений p и q , а также для положительных и отрицательных значений бесконечности.
Это следует из того , что для всех вещественных р ,
что можно доказать с помощью неравенства Йенсена .
В частности, для p в {−1, 0, 1} обобщенное неравенство среднего влечет неравенство пифагоровых средних, а также неравенство средних арифметических и геометрических .
Доказательство силы означает неравенство
Мы докажем взвешенное неравенство степенных средств, в целях доказательства без ограничения общности предположим следующее:
Доказательство для невзвешенных средних значений мощности легко получить, подставив w i = 1 / n .
Равнозначность неравенств между средствами противоположных знаков
Предположим, что имеет место среднее значение между средними степенями с показателями p и q :
применяя это, тогда:
Возводим обе части в степень −1 (строго убывающая функция в положительных числах):
Мы получаем неравенство для средних с показателями −p и −q , и мы можем использовать те же рассуждения в обратном порядке, тем самым доказывая, что неравенства эквивалентны, что будет использоваться в некоторых из последующих доказательств.
Среднее геометрическое
При любом q > 0 и сумме неотрицательных весов, равных 1, выполняется неравенство
Доказательство следует из неравенства Дженсена с использованием вогнутости логарифма :
Применяя экспоненциальную функцию к обеим частям и замечая, что как строго возрастающая функция она сохраняет знак неравенства, мы получаем
Взяв q- ю степень x i , мы закончили для неравенства с положительным q ; корпус для негативов идентичен.
Неравенство между любыми двумя силовыми средствами
Нам нужно доказать, что для любого p < q выполняется неравенство
если p отрицательно, а q положительно, неравенство эквивалентно доказанному выше:
Доказательство положительных значений p и q выглядит следующим образом: Определите следующую функцию: f : R + → R + . f - степенная функция, поэтому у нее есть вторая производная:
который строго положителен в области определения f , так как q > p , поэтому мы знаем, что f выпукло.
Используя это и неравенство Дженсена, мы получаем:
возведя обе стороны в степень 1 / q (возрастающая функция, поскольку 1 / q положительно), мы получаем неравенство, которое требовалось доказать:
Используя ранее показанную эквивалентность, мы можем доказать неравенство для отрицательных p и q , заменив их на −q и −p соответственно.
Обобщенное f- среднее
Степенное среднее можно обобщить до обобщенного f- среднего :
Это покрывает среднее геометрическое без использования предела с f ( x ) = log ( x ) . Среднее значение мощности получается для f ( x ) = x p .
Приложения
Обработка сигналов
Среднее значение мощности служит нелинейным скользящим средним, которое смещается в сторону малых значений сигнала для малых значений p и подчеркивает большие значения сигнала для больших значений p . При наличии эффективной реализации подвижного среднего арифметического, называемого, smooth
можно реализовать подвижное среднее значение мощности в соответствии со следующим кодом Haskell .
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
Смотрите также
Примечания
-
^ a b
Sýkora, Станислав (2009). Математические и средние: основные свойства . 3 . Библиотека Стэна: Кастано Примо, Италия. DOI : 10.3247 / SL3Math09.001 .
-
^ a b П. С. Буллен: Справочник по средствам и их неравенствам . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, стр. 175-177.
-
^ Вайсштейн, Эрик В. "Power Mean" . MathWorld . (Проверено 17.08.2019)
-
^ Томпсон, Сильванус П. (1965). Исчисление стало проще . Международное высшее образование Macmillan. п. 185. ISBN 9781349004874. Дата обращения 5 июля 2020 .
-
^ Джонс, Алан Р. (2018). Вероятность, статистика и другие пугающие вещи . Рутледж. п. 48. ISBN 9781351661386. Дата обращения 5 июля 2020 .
-
^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
Используя подобные треугольники ,
HC/GC знак равно GC/OC ∴ HC = GC²/OC= HM .
Ссылки и дополнительная литература
- PS Bullen: Справочник средств и их неравенств . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer, 2003, глава III (Силовые средства), стр. 175-265.
внешние ссылки