Обобщенная функция - Generalized function

В математике , обобщенные функции являются объектами , расширяющие понятие функций . Существует несколько признанных теорий, например теория распределений . Обобщенные функции особенно полезны для того, чтобы сделать прерывистые функции более похожими на гладкие , а также для описания дискретных физических явлений, таких как точечные заряды . Они широко применяются, особенно в физике и технике .

Общей чертой некоторых подходов является то, что они основаны на операторных аспектах повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми идеями по операционному исчислению , а более современные разработки в определенных направлениях тесно связаны с идеями Микио Сато о том, что он называет алгебраическим анализом . Важное влияние на этот предмет оказали технические требования теорий уравнений в частных производных и теории представлений групп.

Некоторая ранняя история

В математике девятнадцатого века аспекты теории обобщенных функций появились, например , в определении функции Грина , в преобразовании Лапласа , и в римановой теории «s из тригонометрических рядов , которые не были обязательно рядом Фурье по интегрируемому функция . В то время это были разрозненные аспекты математического анализа .

Интенсивное использование преобразования Лапласа в технике привело к эвристическому использованию символических методов, называемых операционным исчислением . Поскольку приводились обоснования с использованием расходящихся рядов , эти методы имели плохую репутацию с точки зрения чистой математики . Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельной книгой по операционному исчислению была « Электромагнитная теория» Оливера Хевисайда 1899 года.

Когда был введен интеграл Лебега , впервые в математике возникло понятие обобщенной функции. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, которая одинакова почти всюду . Это означает, что его ценность в данной точке (в некотором смысле) не является его самой важной особенностью. В функциональном анализе дается ясная формулировка существенной особенности интегрируемой функции, а именно того, как она определяет линейный функционал на других функциях. Это позволяет определить слабую производную .

В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие шаги, необходимые для будущей работы. Дельта - функция Дирака смело определяется Поль Дирак (аспект его научного формализма ); это должно было относиться к мерам , рассматриваемым как плотности (например, плотность заряда ), как к истинным функциям. Сергей Соболев , занимающийся теорией уравнений в частных производных , определил первую адекватную с математической точки зрения теорию обобщенных функций для работы со слабыми решениями уравнений в частных производных. В то время другие теории, выдвигавшие похожие теории, были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс . Работа Соболева получила дальнейшее развитие в развернутой форме Лораном Шварцем .

Распределения Шварца

Реализацией такой концепции, которая должна была стать окончательной для многих целей, стала теория распределений , разработанная Лораном Шварцем . Ее можно назвать принципиальной теорией, основанной на теории двойственности для топологических векторных пространств . Его главный соперник в прикладной математике - это использование последовательностей гладких приближений ( объяснение Джеймса Лайтхилла ), которое носит более специальный характер . Теперь это входит в теорию как успокаивающую теорию.

Эта теория оказалась очень успешной и до сих пор широко используется, но имеет главный недостаток, заключающийся в том, что она допускает только линейные операции. Другими словами, распределения нельзя умножать (за исключением очень особых случаев): в отличие от большинства классических функциональных пространств , они не являются алгеброй . Например, возведение дельта-функции Дирака в квадрат не имеет смысла . Работа Шварца примерно в 1954 году показала, что это внутренняя трудность.

Были предложены некоторые решения проблемы умножения. Один основан на очень простом и интуитивно понятном определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егорова (см. Также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), который допускает произвольные операции над обобщенными функциями и между ними.

Другое решение задачи умножения диктуется пути интегральной формулировке из квантовой механики . Поскольку требуется, чтобы это было эквивалентно теории квантовой механики Шредингера, которая инвариантна относительно преобразований координат, это свойство должно быть общим для интегралов по путям. Это фиксирует все произведения обобщенных функций, как показано Х. Клейнертом и А. Червяковым. Результат эквивалентен тому, что можно получить из размерной регуляризации .

Алгебры обобщенных функций

Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, в том числе Ю. М. Широкова и Э. Розингера, Ю. Егорова, Р. Робинсона. В первом случае умножение определяется некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений . Оба случая обсуждаются ниже.

Некоммутативная алгебра обобщенных функций

Алгебра обобщенных функций может быть построена с помощью соответствующей процедуры проектирования функции на ее гладкую и сингулярную части. Продукт обобщенных функций и выглядит как ${\ Displaystyle F = F (х)}$ ${\ displaystyle F _ {\ rm {гладко}}}$ ${\ Displaystyle F _ {\ rm {единственное число}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle FG ~ = ~ F _ {\ rm {smooth}} ~ G _ {\ rm {smooth}} ~ + ~ F _ {\ rm {smooth}} ~ G _ {\ rm {singular}} ~ + F _ {\ rm {singular}} ~ G _ {\ rm {smooth}}.}

( 1 )

Такое правило применяется как к пространству основных функций, так и к пространству операторов, действующих в пространстве основных функций. Достигнута ассоциативность умножения; а функция signum определяется таким образом, что ее квадрат равен единице всюду (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение особых частей не фигурирует в правой части ( 1 ); в частности, . Такой формализм включает обычную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции signum и delta антикоммутируют. Было предложено несколько приложений алгебры. ${\ Displaystyle \ дельта (х) ^ {2} = 0}$

Умножение распределений

Проблема умножения распределений , являющаяся ограничением теории распределений Шварца, становится серьезной для нелинейных задач.

Сегодня используются разные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров. Другой подход к построению ассоциативных дифференциальных алгебр основан на Ж.-Ф. Конструкция Коломбо: см. Алгебру Коломбо . Это факторные пространства

{\ Displaystyle G = M / N}

«умеренных» по модулю «ничтожных» сетей функций, где «умеренность» и «пренебрежимость» относятся к росту по отношению к индексу семьи.

Пример: алгебра Коломбо

Простой пример получают с использованием полиномиальных шкал на N , . Тогда для любой полунормированной алгебры (E, P) фактор-пространство будет ${\ displaystyle s = \ {a_ {m}: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R}, n \ mapsto n ^ {m}; ~ m \ in \ mathbb {Z} \}}$

{\ Displaystyle G_ {s} (E, P) = {\ frac {\ {е \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ существует m \ in \ mathbb {Z} : p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}} {\ {f \ in E ^ {\ mathbb {N}} \ mid \ forall p \ in P, \ forall m \ in \ mathbb {Z}: p (f_ {n}) = o (n ^ {m}) \}}}.}

В частности, для ( E , P ) = ( C , |. |) Получаются обобщенные комплексные числа (Коломбо) (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и при этом допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа ). Для ( E , P ) = ( C ^∞ ( R ), { p _k }) (где p _k - верхняя грань всех производных порядка меньшего или равного k на шаре радиуса k ) получается упрощенная алгебра Коломбо .

Введение распределений Шварца

Эта алгебра "содержит" все распределения T группы D ' посредством инъекции

j ( T ) = (φ _n ∗ T ) _n + N ,

где ∗ - операция свертки , а

φ _n ( x ) = n φ ( nx ).

Эта инъекция неканонична в том смысле, что она зависит от выбора смягчителя φ, который должен быть C ^∞ , от целого, и все его производные в 0 обращаются в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексации может быть изменен до N × D ( R ) с удобной базой фильтров на D ( R ) (функции исчезающих моментов до порядка q ).

Структура снопа

Если ( E , P ) является (пред) пучком полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве X , то G _s ( E , P ) также будет обладать этим свойством. Это означает, что будет определено понятие ограничения , которое позволяет определить поддержку обобщенной функции относительно подпучка, в частности:

Для подпучка {0} получается обычная опора (дополнение к наибольшему открытому подмножеству, где функция равна нулю).
Для подпучка E (вложенного с помощью канонической (постоянной) инъекции) получается так называемый сингулярный носитель , т. Е. , Грубо говоря, замыкание множества, в котором обобщенная функция не является гладкой функцией (при E = C ^∞ ) .

Микролокальный анализ

Преобразование Фурье определяется (хорошо) для финитных обобщенных функций (покомпонентно), можно применить такую же конструкцию , как и для распределений, и определить Хёрмандер «ы волнового фронта и для обобщенных функций.

Это имеет особенно важное применение в анализе распространения из особенностей .

Другие теории

К ним относятся: свертка фактор теория Яна Микусинский , основанная на поле дробей из сверточных алгебр, интегральные области ; и теории гиперфункций , основанные (в своей первоначальной концепции) на граничных значениях аналитических функций , а теперь использующие теорию пучков .

Топологические группы

Брюа ввел класс пробных функций , функции Шварца – Брюа, как они теперь известны, на классе локально компактных групп , выходящих за пределы многообразий, которые являются типичными функциональными областями . Приложения в основном относятся к теории чисел , особенно к адельным алгебраическим группам . Андре Вейль переписал тезис Тейта на этом языке, охарактеризовав дзета-распределение на группе иделей ; и также применил его к явной формуле L-функции .

Обобщенный раздел

Дальнейшее развитие теории - это обобщенные сечения гладкого векторного расслоения . Это шаблон Шварца, построение объектов, двойственных тестовым объектам, гладких участков пучка, имеющих компактную опору . Наиболее развита теория токов Де Рама , двойственных дифференциальным формам . Они гомологичны по своей природе, так же как дифференциальные формы порождают когомологии Де Рама . Их можно использовать для формулировки очень общей теоремы Стокса .

Смотрите также

Книги

Л. Шварц: Теория распределений
Л. Шварц: Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 239 (1954) 847-848.
И. М. Гельфанд и др.: Обобщенные функции, т. I – VI, Academic Press, 1964. (Пер. С рус.)
Л. Хёрмандер: Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Springer Verlag, 1983.
А.С. Демидов: Обобщенные функции в математической физике: основные идеи и концепции (Nova Science Publishers, Хантингтон, 2001). С дополнением Ю. В. Егоров .
М. Обергуггенбергер: Умножение распределений и приложения к уравнениям в частных производных (Longman, Harlow, 1992).
Обергуггенбергер, М. (2001). «Обобщенные функции в нелинейных моделях - обзор». Нелинейный анализ . 47 (8): 5029–5040. DOI : 10.1016 / s0362-546x (01) 00614-9 .
Ж.-Ф. Коломбо : Новые обобщенные функции и умножение распределений, Северная Голландия, 1983.
М. Гроссер и др.: Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности, Kluwer Academic Publishers, 2001.
Х. Кляйнерт , Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2006 г.) ( онлайн здесь ). См. Главу 11 для получения информации о продуктах обобщенных функций.

Languages

In other projects