Фундаментальная единица (теория чисел) - Fundamental unit (number theory)

В теории алгебраических чисел , А основная единица является генератором ( по модулю корней из единицы ) для единичной группы в кольце целых чисел одного числового поля , когда эта группа имеет ранг 1 (то есть , когда блок группа по модулю ее подгруппа кручения является бесконечной циклический ). Теорема Дирихле о единицах показывает, что единичная группа имеет ранг 1 именно тогда, когда числовое поле является вещественным квадратичным полем , комплексным кубическим полем или полностью мнимым квадратичным полем . Когда группа единиц имеет ранг ≥ 1, ее базис по модулю кручения называется фундаментальной системой единиц . Некоторые авторы используют термин фундаментальная единица для обозначения любого элемента фундаментальной системы единиц, не ограничиваясь случаем ранга 1 (например, Neukirch 1999 , p. 42).

Действительные квадратичные поля

Для действительного квадратичного поля (с d без квадратов) фундаментальная единица ε обычно нормируется так, чтобы ε > 1 (как действительное число). Тогда это однозначно характеризуется как минимальный блок среди тех, которые больше , чем 1. Если Δ обозначает дискриминант из K , то основной единицей является ${\ Displaystyle К = \ mathbf {Q} ({\ sqrt {d}})}$

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {a + b {\ sqrt {\ Delta}}} {2}}}$

где ( a ,  b ) - наименьшее решение

${\ displaystyle x ^ {2} - \ Delta y ^ {2} = \ pm 4}$

в натуральных числах. Это уравнение в основном является уравнением Пелла или отрицательным уравнением Пелла, и его решения могут быть получены аналогичным образом, используя разложение в непрерывную дробь . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

Независимо от того или нет х ²  - Δ у ²  = -4 имеет решение определяет , является ли класс группы из K такой же , как его узкой группы классов , или что то же самое, независимо от того , существует или нет единица нормы -1 в K . Известно, что это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда период разложения непрерывной дроби нечетный. Более простое соотношение может быть получено с помощью сравнений: если Δ делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то K не имеет единицы нормы −1. Однако обратное утверждение неверно, как показано на примере d  = 34. В начале 1990-х годов Питер Стивенхаген предложил вероятностную модель, которая привела его к предположению о том, как часто обратное неверно. В частности, если D ( X ) - это количество вещественных квадратичных полей, дискриминант которых ∆ < X не делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, а D ^- ( X ) - это те, у которых есть единица нормы −1, то ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {X \ rightarrow \ infty} {\ frac {D ^ {-} (X)} {D (X)}} = 1- \ prod _ {j \ geq 1 {\ text {odd} }} \ left (1-2 ^ {- j} \ right).}$

Другими словами, примерно в 42% случаев обратное не удается. По состоянию на март 2012 г. недавний результат в отношении этой гипотезы был предоставлен Этьеном Фуври и Юргеном Клюнерсом, которые показали, что обратное утверждение не работает в 33–59% случаев.

Кубические поля

Если K - комплексное кубическое поле, то оно имеет единственное вещественное вложение и фундаментальную единицу ε можно выбрать однозначно так, что | ε | > 1 в этом вложении. Если дискриминант Δ группы K удовлетворяет | Δ | ≥ 33, то

${\ displaystyle \ epsilon ^ {3}> {\ frac {| \ Delta | -27} {4}}.}$

Например, фундаментальной единицей является и, тогда как дискриминант этого поля равен −108 и ${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle \ epsilon = 1 + {\ sqrt [{3}] {2}} + {\ sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {3} \ приблизительно 56,9}$

${\ displaystyle {\ frac {| \ Delta | -27} {4}} = 20,25}$

так что . ${\ displaystyle \ epsilon ^ {3}> 20,25}$

Ноты

Ссылки

• Алача, Шабан; Уильямс, Кеннет С. (2004), Вводная теория алгебраических чисел , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54011-7
• Дункан Бьюэлл (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , стр.  92–93 , ISBN 978-0-387-97037-0
• Фуври, Этьен; Klüners, Jürgen (2010), "О отрицательном Пелл уравнения", Annals математики , 2 (3): 2035-2104, DOI : 10.4007 / annals.2010.172.2035 , MR  2726105
• Нойкирх, Юрген (1999), алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 322 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Руководство по ремонту  1697859 , Zbl  0956.11021
• Stevenhagen, Питер (1993), "Число вещественных квадратичных полей , имеющих единицы отрицательной нормы", экспериментальная математика , 2 (2): 121-136, CiteSeerX  10.1.1.27.3512 , DOI : 10,1080 / 10586458.1993.10504272 , MR  1259426

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная единица» . MathWorld .