Функциональное уравнение - Functional equation
В математике , А функциональное уравнение является любое уравнение , в котором неизвестная представляет собой функцию . Часто уравнение связывает значение функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Например, свойства функций можно определить, рассматривая типы функциональных уравнений, которым они удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно относится к уравнениям, которые нельзя просто свести к алгебраическим уравнениям или дифференциальным уравнениям .
Примеры
- Функциональное уравнение
- удовлетворяется дзета-функцией Римана . Капитал Γ обозначает гамма - функцию .
- Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:
- Функциональное уравнение
- где a , b , c , d - целые числа, удовлетворяющие условию , т.е. = 1, определяет f как модульную форму порядка k .
- Разные примеры, не обязательно связанные со стандартными или именованными функциями:
- ( Функциональное уравнение Коши ), которому удовлетворяют линейные отображения
- удовлетворяются все экспоненциальные функции
- , удовлетворяющий всем логарифмическим функциям
- , удовлетворяющие всем степенным функциям
- (квадратное уравнение или закон параллелограмма )
- (Дженсен)
- (Даламбер)
- ( Уравнение Абеля )
- ( Уравнение Шредера ).
- ( Уравнение Бёттхера ).
- ( Уравнение Джулии ).
- (Леви-Чивита),
- и пара уравнений
- Простая форма функционального уравнения - это рекуррентное соотношение . Формально это касается неуказанных функций над целыми числами, а также операторов сдвига . Одним из таких примеров рекуррентного отношения является
- В коммутативных и ассоциативных законами являются функциональными уравнениями. В привычной форме ассоциативный закон выражается записью бинарной операции в инфиксной записи :
- но если мы напишем ƒ ( a , b ) вместо a ○ b, тогда ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение,
Общей чертой всех приведенных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известных функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция идентичности ) находятся внутри аргумента неизвестных функций. для решения.
Когда дело доходит до запроса всех решений, возможно, следует применить условия математического анализа ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями, являются `` разумными '', в то время как другие решения, которые вряд ли найдут практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Хамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа - еще один хорошо известный пример.
Решение
Решение функциональных уравнений может быть очень сложным, но есть несколько распространенных методов их решения. Например, в динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой . Некоторые классы функциональных уравнений могут быть решены с помощью компьютерных технологий.
Основным методом решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. Часто бывает полезно доказать сюръективность или инъективность и , если возможно, доказать нечетность или четность . Также полезно угадывать возможные решения. Индукция - полезный метод, который можно использовать, когда функция определена только для рациональных или целочисленных значений.
Актуально обсуждение инволютивных функций. Например, рассмотрим функцию
Составление f с самим собой дает функциональное уравнение Бэббиджа (1820),
Некоторые другие функции также удовлетворяют функциональному уравнению
включая
- а также
который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.
Пример 1 . Найдите все функции f , удовлетворяющие
для всех x, y ∈ ℝ в предположении, что ƒ - вещественная функция .
Пусть x = y = 0,
Итак, ƒ (0) 2 = 0 и ƒ (0) = 0.
Пусть теперь y = - x ,
Квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0.
Итак, ƒ (x) 2 = 0 для всех x и ƒ ( x ) = 0 - единственное решение.
Смотрите также
- Функциональное уравнение (L-функция)
- Уравнение беллмана
- Динамическое программирование
- Неявная функция
- Функционально-дифференциальное уравнение
Примечания
- ^ Rassias, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Dordrecht, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ISBN 0-7923-6484-8.CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ Хайерс, DH; Isac, G .; Рассиас, Th. М. (1998). Устойчивость функциональных уравнений от нескольких переменных . Бостон: Birkhäuser Verlag . п. 313 . ISBN 0-8176-4024-X.
- Перейти ↑ Jung, Soon-Mo (2001). Хайерс-Улам-Рассиас Устойчивость функциональных уравнений в математическом анализе . 35246 US 19 North # 115, Палм-Харбор, Флорида 34684 США: Hadronic Press, Inc. стр. 256. ISBN 1-57485-051-2.CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ Czerwik, Stephan (2002). Функциональные уравнения и неравенства от нескольких переменных . PO Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co., стр. 410 . ISBN 981-02-4837-7.CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Princeton University Press .
- ^ Sniedovich, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .
- ^ Хази, Аттила (2004-03-01). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Aequationes Mathematicae . 67 (1): 47–62. DOI : 10.1007 / s00010-003-2703-9 . ISSN 1420-8903 .
- Перейти ↑ Ritt, JF (1916). «О некоторых реальных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. DOI : 10.2307 / 2007270 . JSTOR 2007 270 .
использованная литература
- Янош Акзел , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN 0486445232 .
- Янош Акзель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
- К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; онлайн .
- Pl. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
- Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
- Хенрик Штеткер, Функциональные уравнения на группах , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
- Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.
внешние ссылки
- Функциональные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
- Функциональные уравнения: указатель на EqWorld: мир математических уравнений.
- Текст сборника IMO (в архиве) по функциональным уравнениям в решении задач.