Функциональное уравнение - Functional equation

В математике , А функциональное уравнение является любое уравнение , в котором неизвестная представляет собой функцию . Часто уравнение связывает значение функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Например, свойства функций можно определить, рассматривая типы функциональных уравнений, которым они удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно относится к уравнениям, которые нельзя просто свести к алгебраическим уравнениям или дифференциальным уравнениям .

Примеры

  • Функциональное уравнение
удовлетворяется дзета-функцией Римана . Капитал Γ обозначает гамма - функцию .
  • Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:
       ( Формула отражения Эйлера )
  • Функциональное уравнение
где a , b , c , d - целые числа, удовлетворяющие условию , т.е. = 1, определяет f как модульную форму порядка k .
  • Разные примеры, не обязательно связанные со стандартными или именованными функциями:
( Функциональное уравнение Коши ), которому удовлетворяют линейные отображения
удовлетворяются все экспоненциальные функции
, удовлетворяющий всем логарифмическим функциям
, удовлетворяющие всем степенным функциям
(квадратное уравнение или закон параллелограмма )
(Дженсен)
(Даламбер)
( Уравнение Абеля )
( Уравнение Шредера ).
( Уравнение Бёттхера ).
( Уравнение Джулии ).
( Уравнение перевода )
(Леви-Чивита),
и пара уравнений
( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),
( формула сложения косинуса ),
( формула сложения гиперболического косинуса ).
  • Простая форма функционального уравнения - это рекуррентное соотношение . Формально это касается неуказанных функций над целыми числами, а также операторов сдвига . Одним из таких примеров рекуррентного отношения является
но если мы напишем ƒ ( a ,  b ) вместо a  ○  b, тогда ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение,

Общей чертой всех приведенных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известных функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция идентичности ) находятся внутри аргумента неизвестных функций. для решения.

Когда дело доходит до запроса всех решений, возможно, следует применить условия математического анализа ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями, являются `` разумными '', в то время как другие решения, которые вряд ли найдут практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Хамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа - еще один хорошо известный пример.

Решение

Решение функциональных уравнений может быть очень сложным, но есть несколько распространенных методов их решения. Например, в динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой . Некоторые классы функциональных уравнений могут быть решены с помощью компьютерных технологий.

Основным методом решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. Часто бывает полезно доказать сюръективность или инъективность и , если возможно, доказать нечетность или четность . Также полезно угадывать возможные решения. Индукция - полезный метод, который можно использовать, когда функция определена только для рациональных или целочисленных значений.

Актуально обсуждение инволютивных функций. Например, рассмотрим функцию

Составление f с самим собой дает функциональное уравнение Бэббиджа (1820),

Некоторые другие функции также удовлетворяют функциональному уравнению

включая

а также

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Пример 1 . Найдите все функции f , удовлетворяющие

для всех x, y ∈ ℝ в предположении, что ƒ - вещественная функция .

Пусть x  =  y  = 0,

Итак, ƒ (0) 2  = 0 и ƒ (0) = 0.

Пусть теперь y  = - x ,

Квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0.

Итак, ƒ (x) 2  = 0 для всех x и ƒ ( x ) = 0 - единственное решение.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Rassias, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Dordrecht, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ISBN  0-7923-6484-8.CS1 maint: location ( ссылка )
  2. ^ Хайерс, DH; Isac, G .; Рассиас, Th. М. (1998). Устойчивость функциональных уравнений от нескольких переменных . Бостон: Birkhäuser Verlag . п. 313 . ISBN  0-8176-4024-X.
  3. Перейти ↑ Jung, Soon-Mo (2001). Хайерс-Улам-Рассиас Устойчивость функциональных уравнений в математическом анализе . 35246 US 19 North # 115, Палм-Харбор, Флорида 34684 США: Hadronic Press, Inc. стр. 256. ISBN  1-57485-051-2.CS1 maint: location ( ссылка )
  4. ^ Czerwik, Stephan (2002). Функциональные уравнения и неравенства от нескольких переменных . PO Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co., стр. 410 . ISBN  981-02-4837-7.CS1 maint: location ( ссылка )
  5. ^ Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Princeton University Press .
  6. ^ Sniedovich, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .
  7. ^ Хази, Аттила (2004-03-01). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Aequationes Mathematicae . 67 (1): 47–62. DOI : 10.1007 / s00010-003-2703-9 . ISSN  1420-8903 .
  8. Перейти ↑ Ritt, JF (1916). «О некоторых реальных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. DOI : 10.2307 / 2007270 . JSTOR  2007 270 .

использованная литература

внешние ссылки