Тест Фридмана - Friedman test

Тест Фридмана - это непараметрический статистический тест, разработанный Милтоном Фридманом . Подобно параметрическому дисперсионному анализу с повторными измерениями , он используется для обнаружения различий в лечении при нескольких попытках тестирования. Процедура включает в себя ранжирование каждой строки (или блока ) вместе, а затем рассмотрение значений рангов по столбцам. Таким образом, применимый к полному блочному дизайну , это частный случай теста Дарбина .

Классические примеры использования:

• Каждый из n судей оценивает k различных вин. Рейтинг любого из k вин постоянно выше или ниже, чем у других?
• Каждый из n сварщиков использовал по k сварочных горелок, и качество сварных швов было оценено по качеству. Какая-либо из горелок k обеспечивает стабильно лучшие или худшие сварные швы?

Тест Фридмана используется для одностороннего анализа дисперсии с повторными измерениями по рангам. В использовании рангов он похож на односторонний дисперсионный анализ Краскела – Уоллиса по рангам.

Тест Фридмана широко поддерживается многими пакетами статистического программного обеспечения .

Метод

1. Учитывая данные , то есть матрицу со строками ( блоками ), столбцами ( обработками ) и одним наблюдением на пересечении каждого блока и лечения, вычислите ранги в каждом блоке. Если есть связанные значения, присвойте каждому связанному значению среднее значение рангов, которые были бы присвоены без привязки. Замените данные новой матрицей, где запись является рангом внутри блока .${\ Displaystyle \ {x_ {ij} \} _ {п \ раз k}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {r_ {ij} \} _ {п \ раз k}}$${\ displaystyle r_ {ij}}$${\ displaystyle x_ {ij}}$${\ displaystyle i}$
2. Найдите значения ${\ displaystyle {\ bar {r}} _ {\ cdot j} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {r_ {ij}}}$
3. Статистика теста представлена ​​выражением . Обратите внимание, что значение Q действительно необходимо скорректировать для связанных значений в данных.${\ displaystyle Q = {\ frac {12n} {k (k + 1)}} \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ left ({\ bar {r}} _ {\ cdot j} - { \ frac {k + 1} {2}} \ right) ^ {2}}$
4. Наконец, когда n или k велико (то есть n> 15 или k> 4), распределение вероятностей Q может быть аппроксимировано распределением хи-квадрат . В этом случае р-величина задается . Если n или k мало, приближение к хи-квадрат становится плохим, и значение p должно быть получено из таблиц Q, специально подготовленных для теста Фридмана. Если p-значение является значимым , будут выполнены соответствующие апостериорные тесты множественных сравнений .${\ Displaystyle \ mathbf {P} (\ чи _ {к-1} ^ {2} \ geq Q)}$

Связанные тесты

• При использовании такого дизайна для двоичного ответа вместо этого используется Q-тест Кохрана .
• Тест Знака (с двусторонней альтернативой) эквивалентен тесту Фридмана для двух групп.
• W Кендалла - это нормализация статистики Фридмана между 0 и 1.
• Тест зарегистрирован ранг Вилкоксон является непараметрическим тестом nonindependent данных только из двух групп.
• Тест Скиллингса – Мака - это общая статистика типа Фридмана, которую можно использовать практически в любом блочном дизайне с произвольной структурой отсутствующих данных.
• Тест Виттковского - это общая статистика типа Фридмана, аналогичная тесту Скиллингса-Мака. Если данные не содержат пропущенных значений, результат будет таким же, как и при тесте Фридмана. Но если данные содержат пропущенные значения, они более точны и чувствительны, чем тест Скиллингса-Мака. Реализация теста существует в R .

Постфактум анализ

Апостериорные тесты были предложены Schaich и Hamerle (1984), а также Conover (1971, 1980), чтобы решить, какие группы значительно отличаются друг от друга, на основе средних ранговых различий групп. Эти процедуры подробно описаны в Bortz, Lienert и Boehnke (2000, стр. 275). Eisinga, Heskes, Pelzer и Te Grotenhuis (2017) обеспечивают точный критерий для сравнения парного Фридмана ранга сумм, реализованных в R . Точный тест Eisinga CS предлагает значительное улучшение по сравнению с имеющимися приблизительными тестами, особенно если количество групп ( ) велико и число блоков ( ) мало. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но существует пользовательский код, который предоставляет эти возможности (например, в SPSS и R. ). Кроме того, в R доступен специализированный пакет, содержащий многочисленные непараметрические методы апостериорного анализа после Фридмана.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Дэниел, Уэйн В. (1990). «Двусторонний дисперсионный анализ Фридмана по рангам» . Прикладная непараметрическая статистика (2-е изд.). Бостон: PWS-Kent. С. 262–74. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Кендалл, MG (1970). Методы ранговой корреляции (4-е изд.). Лондон: Чарльз Гриффин. ISBN 978-0-85264-199-6.
• Hollander, M .; Вулф, Д.А. (1973). Непараметрическая статистика . Нью-Йорк: Дж. Вили. ISBN 978-0-471-40635-8.
• Сигел, Сидней ; Кастеллан, Н. Джон младший (1988). Непараметрическая статистика для поведенческих наук (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-100326-1.