Интеграл Френеля - Fresnel integral

Графики S ( x ) и C ( x ) . Максимум C ( x ) составляет около0,977 451 424 . Если бы подынтегральные выражения S и C были определены с помощью π/2t 2 вместо t 2 , тогда изображение будет масштабировано по вертикали и горизонтали (см. ниже).

В Интегралах Френеля S ( х ) и С ( х ) две трансцендентных функций , названными в честь Френеля , которые используются в оптике и тесно связанные с функцией ошибки ( ERF ). Они возникают при описании явлений дифракции Френеля в ближней зоне и определяются через следующие интегральные представления:

Одновременное параметрическое участок из S ( х ) и С ( х ) является клотоида (также известной как спираль Корня или клотоида).

Определение

Интегралы Френеля с аргументами π/2t 2 вместо t 2 сходятся к1/2 вместо 1/2· π/2.

Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенной ряд , сходящиеся для всех x :

Некоторые широко используемые таблицы используют π/2t 2 вместо t 2 для аргумента интегралов, определяющих S ( x ) и C ( x ) . Это изменяет их пределы на бесконечности с1/2· π/2 к 1/2и длина дуги для первого витка спирали от 2 π до 2 (при t = 2 ). Эти альтернативные функции обычно называют нормализованными интегралами Френеля .

Спираль Эйлера

Спираль Эйлера ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t )) . Спираль сходится к центру отверстий на изображении, когда t стремится к положительной или отрицательной бесконечности.
Анимация, изображающая эволюцию спирали Корню с касательной окружностью с тем же радиусом кривизны, что и на ее вершине, также известной как соприкасающийся круг .

Эйлера спираль , также известная как Корень спираль или клотоида , является кривой порождается параметрический участком из S ( т ) против С ( т ) . Спираль Корню была создана Мари Альфредом Корню как номограмма для дифракционных расчетов в науке и технике.

Из определений интегралов Френеля бесконечно малые dx и dy равны:

Таким образом, длину спирали, измеренную от начала координат, можно выразить как

То есть параметр t - это длина кривой, отсчитываемая от начала координат (0, 0) , а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор (cos ( t 2 ), sin ( t 2 )) также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, что дает θ = t 2 . Поскольку t - длина кривой, кривизна κ может быть выражена как

Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна

Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию по спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает его полезным в качестве переходной кривой в автомобильной и железнодорожной технике: если транспортное средство движется по спирали с единичной скоростью, параметр t в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения .

Отрезки спиралей Эйлера обычно включают в форму петель американских горок, чтобы сделать так называемые клотоидные петли .

Характеристики

  • C ( x ) и S ( x ) - нечетные функции от x .
  • Асимптотика интегралов Френеля при x → ∞ дается формулами:
Комплексный интеграл Френеля S ( z )
Комплексный интеграл Френеля C ( z )
или

Пределы, когда x приближается к бесконечности

Интегралы, определяющие C ( x ) и S ( x ), не могут быть вычислены в замкнутой форме в терминах элементарных функций , за исключением особых случаев. В пределах этих функций, х обращается в бесконечность известны:

Секторный контур, используемый для вычисления пределов интегралов Френеля

Пределы C ( x ) и S ( x ), поскольку аргумент x стремится к бесконечности, можно найти с помощью нескольких методов. Один из них использует контурный интеграл функции

вокруг границы секторной области в комплексной плоскости, образованной положительной осью x , биссектрисой первого квадранта y = x с x ≥ 0 и дугой окружности радиуса R с центром в начале координат.

При стремлении R к бесконечности интеграл по дуге окружности γ 2 стремится к 0

где полярные координаты Z = Re оно было использовано и неравенство Джордана было использовано для второго неравенства. Интеграл по действительной оси γ 1 стремится к половинному интегралу Гаусса

Отметим также, что, поскольку подынтегральное выражение является целой функцией на комплексной плоскости, его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом у нас должно быть

где γ 3 обозначает биссектрису первого квадранта, как на диаграмме. Чтобы оценить левую часть, параметризуйте биссектрису как

где t изменяется от 0 до + ∞ . Обратите внимание, что квадрат этого выражения равен + it 2 . Следовательно, подстановка дает левую часть как

Используя формулу Эйлера, чтобы взять действительную и мнимую части e - это 2 дает это как

где мы написали 0 i, чтобы подчеркнуть, что исходное значение интеграла Гаусса полностью вещественно с нулевой мнимой частью. Сдача

а затем приравнивание действительной и мнимой частей дает следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными I C и I S :

Решение этого для I C и I S дает желаемый результат.

Обобщение

Интегральный

является конфлюэнтной гипергеометрической функцией, а также неполной гамма-функцией

который сводится к интегралам Френеля, если взять действительную или мнимую части:

.

Главный член асимптотического разложения равен

и поэтому

В частности, при m = 0 мнимая часть этого уравнения имеет вид

левая часть сходится при a > 1, а правая часть является его аналитическим продолжением на всю плоскость меньше, где лежат полюсы Γ ( a −1 ) .

Преобразование Куммера вырожденной гипергеометрической функции имеет вид

с

Численное приближение

Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее. Также могут использоваться методы непрерывного дробления.

Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди разработал набор эффективных приближений, основанных на рациональных функциях, которые дают относительные ошибки вплоть до2 × 10 −19 . FORTRAN реализация приближения Коди , который включает в себя значение коэффициентов , необходимых для реализации на других языках была опубликована ван Снайдер. Боерсма разработал приближение с погрешностью менее1,6 × 10 −9 .

Приложения

Интегралы Френеля первоначально использовались при вычислении напряженности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. Совсем недавно они использовались при проектировании автомагистралей и железных дорог, в частности их переходных зон кривизны, см. Переходную кривую пути . Другие приложения - это американские горки или расчет переходов на велодромной трассе, позволяющий быстро входить в повороты и постепенно выходить из них.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки