Интеграл Френеля - Fresnel integral
В Интегралах Френеля S ( х ) и С ( х ) две трансцендентных функций , названными в честь Френеля , которые используются в оптике и тесно связанные с функцией ошибки ( ERF ). Они возникают при описании явлений дифракции Френеля в ближней зоне и определяются через следующие интегральные представления:
Одновременное параметрическое участок из S ( х ) и С ( х ) является клотоида (также известной как спираль Корня или клотоида).
Определение
Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенной ряд , сходящиеся для всех x :
Некоторые широко используемые таблицы используют π/2t 2 вместо t 2 для аргумента интегралов, определяющих S ( x ) и C ( x ) . Это изменяет их пределы на бесконечности с1/2· √π/2 к 1/2и длина дуги для первого витка спирали от √ 2 π до 2 (при t = 2 ). Эти альтернативные функции обычно называют нормализованными интегралами Френеля .
Спираль Эйлера
Эйлера спираль , также известная как Корень спираль или клотоида , является кривой порождается параметрический участком из S ( т ) против С ( т ) . Спираль Корню была создана Мари Альфредом Корню как номограмма для дифракционных расчетов в науке и технике.
Из определений интегралов Френеля бесконечно малые dx и dy равны:
Таким образом, длину спирали, измеренную от начала координат, можно выразить как
То есть параметр t - это длина кривой, отсчитываемая от начала координат (0, 0) , а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор (cos ( t 2 ), sin ( t 2 )) также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, что дает θ = t 2 . Поскольку t - длина кривой, кривизна κ может быть выражена как
Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна
Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию по спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает его полезным в качестве переходной кривой в автомобильной и железнодорожной технике: если транспортное средство движется по спирали с единичной скоростью, параметр t в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения .
Отрезки спиралей Эйлера обычно включают в форму петель американских горок, чтобы сделать так называемые клотоидные петли .
Характеристики
- C ( x ) и S ( x ) - нечетные функции от x .
- Асимптотика интегралов Френеля при x → ∞ дается формулами:
- Используя приведенные выше разложения в степенной ряд, интегралы Френеля могут быть расширены до области комплексных чисел , где они становятся аналитическими функциями комплексной переменной.
- C ( z ) и S ( z ) - целые функции комплексной переменной z .
- Интегралы Френеля можно выразить с помощью функции ошибок следующим образом:
- или
Пределы, когда x приближается к бесконечности
Интегралы, определяющие C ( x ) и S ( x ), не могут быть вычислены в замкнутой форме в терминах элементарных функций , за исключением особых случаев. В пределах этих функций, х обращается в бесконечность известны:
Пределы C ( x ) и S ( x ), поскольку аргумент x стремится к бесконечности, можно найти с помощью нескольких методов. Один из них использует контурный интеграл функции
вокруг границы секторной области в комплексной плоскости, образованной положительной осью x , биссектрисой первого квадранта y = x с x ≥ 0 и дугой окружности радиуса R с центром в начале координат.
При стремлении R к бесконечности интеграл по дуге окружности γ 2 стремится к 0
где полярные координаты Z = Re оно было использовано и неравенство Джордана было использовано для второго неравенства. Интеграл по действительной оси γ 1 стремится к половинному интегралу Гаусса
Отметим также, что, поскольку подынтегральное выражение является целой функцией на комплексной плоскости, его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом у нас должно быть
где γ 3 обозначает биссектрису первого квадранта, как на диаграмме. Чтобы оценить левую часть, параметризуйте биссектрису как
где t изменяется от 0 до + ∞ . Обратите внимание, что квадрат этого выражения равен + it 2 . Следовательно, подстановка дает левую часть как
Используя формулу Эйлера, чтобы взять действительную и мнимую части e - это 2 дает это как
где мы написали 0 i, чтобы подчеркнуть, что исходное значение интеграла Гаусса полностью вещественно с нулевой мнимой частью. Сдача
а затем приравнивание действительной и мнимой частей дает следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными I C и I S :
Решение этого для I C и I S дает желаемый результат.
Обобщение
Интегральный
является конфлюэнтной гипергеометрической функцией, а также неполной гамма-функцией
который сводится к интегралам Френеля, если взять действительную или мнимую части:
- .
Главный член асимптотического разложения равен
и поэтому
В частности, при m = 0 мнимая часть этого уравнения имеет вид
левая часть сходится при a > 1, а правая часть является его аналитическим продолжением на всю плоскость меньше, где лежат полюсы Γ ( a −1 ) .
Преобразование Куммера вырожденной гипергеометрической функции имеет вид
с
Численное приближение
Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее. Также могут использоваться методы непрерывного дробления.
Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди разработал набор эффективных приближений, основанных на рациональных функциях, которые дают относительные ошибки вплоть до2 × 10 −19 . FORTRAN реализация приближения Коди , который включает в себя значение коэффициентов , необходимых для реализации на других языках была опубликована ван Снайдер. Боерсма разработал приближение с погрешностью менее1,6 × 10 −9 .
Приложения
Интегралы Френеля первоначально использовались при вычислении напряженности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. Совсем недавно они использовались при проектировании автомагистралей и железных дорог, в частности их переходных зон кривизны, см. Переходную кривую пути . Другие приложения - это американские горки или расчет переходов на велодромной трассе, позволяющий быстро входить в повороты и постепенно выходить из них.
Смотрите также
- Интеграл Бёмера
- Зона Френеля
- Кривая перехода трека
- Спираль Эйлера
- Зональная пластина
- Интеграл Дирихле
Примечания
использованная литература
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Алаза, Мохаммад (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Numerische Mathematik . 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451 . Bibcode : 2012arXiv1209.3451A . DOI : 10.1007 / s00211-014-0627-Z . S2CID 13934493 .
- Битти, Томас (2013). «Как вычислить интегралы Френеля» (PDF) . FGCU Math - Лето 2013 . Проверено 27 июля 2013 года .
- Боерсма, Дж. (1960). «Вычисление интегралов Френеля» . Математика. Комп . 14 (72): 380. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1960-0121973-3 . Руководство по ремонту 0121973 .
- Булирш, Роланд (1967). «Численный расчет синуса, косинуса и интегралов Френеля». Нумер. Математика . 9 (5): 380–385. DOI : 10.1007 / BF02162153 . S2CID 121794086 .
- Коди, Уильям Дж. (1968). «Чебышевские приближения для интегралов Френеля» (PDF) . Математика. Комп . 22 (102): 450–453. DOI : 10.1090 / S0025-5718-68-99871-2 .
- Хангелбрук, Р. Дж. (1967). «Численное приближение интегралов Френеля полиномами Чебышева». J. Eng. Математика . 1 (1): 37–50. Bibcode : 1967JEnMa ... 1 ... 37H . DOI : 10.1007 / BF01793638 . S2CID 122271446 .
- Матар, RJ (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». Arxiv : 1211.3963 [ math.CA ].
- Нейв, Р. (2002). "Спираль Корню" . (Использует π/2t 2 вместо t 2. )
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
- ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: интегралы Френеля». ACM Trans. Математика. Софтв . 19 (4): 452–456. DOI : 10.1145 / 168173.168193 . S2CID 12346795 .
- Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление Early Transcendentals . Cengage Learning EMEA. ISBN 978-0-495-38273-7.
- Темме, Н.М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- van Wijngaarden, A .; Шин, WL (1949). Таблица интегралов Френеля . Verhandl. Конинк. Нед. Акад. Wetenschapen. 19 .
- Zajta, Aurel J .; Гоэль, Судхир К. (1989). «Методы параметрической интеграции». Математический журнал . 62 (5): 318–322. DOI : 10.1080 / 0025570X.1989.11977462 .
внешние ссылки
- Cephes , бесплатный код C ++ / C с открытым исходным кодом для вычисления интегралов Френеля среди других специальных функций. Используется в SciPy и ALGLIB .
- Пакет Faddeeva , бесплатный / открытый код C ++ / C для вычисления сложных функций ошибок (из которых могут быть получены интегралы Френеля) с оболочками для Matlab, Python и других языков.
- "Интегралы Френеля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- "Петли для американских горок" . Архивировано из оригинального 23 сентября 2008 года . Проверено 13 августа 2008 .
- Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Френеля» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Спираль Корню" . MathWorld .