Время свободного падения - Free-fall time

Время свободного падения - это характерное время , которое потребовалось бы телу для коллапса под действием собственного гравитационного притяжения , если бы не существовало других сил, препятствующих коллапсу. Таким образом, он играет фундаментальную роль в установлении шкалы времени для самых разных астрофизических процессов - от звездообразования до гелиосейсмологии и сверхновых, в которых гравитация играет доминирующую роль.

Вывод

Падение к точечному источнику гравитации

Относительно просто определить время свободного падения, применив третий закон движения планеты Кеплера к вырожденной эллиптической орбите . Рассмотрим точечную массу на расстоянии от точечного источника массы, которая радиально падает внутрь к ней. Важно отметить, что третий закон Кеплера зависит только от большой полуоси орбиты и не зависит от эксцентриситета . Чисто радиальная траектория является примером вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 и большой полуосью . Следовательно, время, которое потребуется телу, чтобы упасть внутрь, развернуться и вернуться в исходное положение, такое же, как период круговой орбиты радиуса , или ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R / 2}$${\ displaystyle R / 2}$

${\ displaystyle t _ {\ text {orbit}} = {\ frac {2 \ pi} {\ sqrt {G (M + m)}}} \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ {3/2} = {\ frac {\ pi R ^ {3/2}} {\ sqrt {2G (M + m)}}}.}$

Чтобы увидеть, что большая полуось равна , мы должны изучить свойства орбит, поскольку они становятся все более эллиптическими. Первый закон Кеплера гласит, что орбита представляет собой эллипс с центром масс в одном фокусе. В случае, если очень маленькая масса падает на очень большую массу , центр масс находится внутри большей массы. Фокус эллипса все больше смещается от центра с увеличением эллиптичности. В предельном случае вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 орбита простирается от начального положения падающего объекта ( ) до точечного источника массы . Другими словами, эллипс становится линией длины . Большая полуось равна половине ширины эллипса вдоль длинной оси, которая в вырожденном случае принимает вид . ${\ displaystyle R / 2}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R / 2}$

Если свободно падающее тело завершит полный оборот по орбите, оно начнется на расстоянии от массы точечного источника , упадет внутрь, пока не достигнет этого точечного источника, затем развернется и вернется в исходное положение. В реальных системах масса точечного источника на самом деле не является точечным источником, и падающее тело в конечном итоге сталкивается с некоторой поверхностью. Таким образом, он совершает только половину орбиты. Но поскольку падающая часть орбиты симметрична гипотетической исходящей части орбиты, мы можем просто разделить период полной орбиты на два, чтобы получить время свободного падения (время на падающей части орбиты). ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle t _ {\ text {ff}} = t _ {\ text {orbit}} / 2 = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {R ^ {3/2}} {\ sqrt { 2G (M + m)}}}}$

Эта формула также следует из формулы для времени падения как функции положения .

Обратите внимание, что в приведенном выше уравнении это время, за которое масса упадет по сильно эксцентричной орбите, сделает «шпильку» поворот у центральной массы на расстоянии почти нулевого радиуса, а затем вернется к R, когда она повторит очень резкий поворот. Эта орбита соответствует почти линейному движению назад и от расстояния R до расстояния 0. Как отмечалось выше, эта орбита имеет только половину длины большой полуоси ( R / 2 ), чем круговая орбита с радиусом R (где большая полуось R ) , и, таким образом, период для более короткой "орбиты" с высоким эксцентриситетом равен периоду для орбиты с осью R / 2 и общей длиной орбитального пути, составляющей лишь удвоенное расстояние падения. Таким образом, согласно третьему закону Кеплера, с половиной радиуса большой полуоси требуется только (1/2) ^3/2 = (1/8) ^1/2 периода времени, как "соответствующая" круговая орбита, которая имеет постоянный радиус такой же, как и максимальный радиус эксцентрической орбиты (который стремится к практически нулевому радиусу от первичного элемента на другом его конце). ${\ displaystyle t _ {\ text {орбита}}}$

Время прохождения половины расстояния R , которое представляет собой время падения из R по эксцентрической орбите, является временем Кеплера для круговой орбиты R / 2 (не R), что в (1/32) ^1/2 раза больше период Р круговой орбиты в R . Например, время для объекта на орбите Земли вокруг Солнца, чтобы упасть на Солнце, если он был внезапно остановлен на орбите, будет , где P составляет один год. Это примерно 64,6 дня. ${\ displaystyle P / {\ sqrt {32}}}$

Падение сферически-симметричного распределения массы

Теперь рассмотрим случай , когда масса не точечная масса, но распределяется в сферически-симметричного распределения относительно центра, при средней плотности массы , ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ гидроразрыва {3M} {4 \ pi R ^ {3}}}}$ ,

где объем шара равен: ${\ displaystyle {(4/3) \ pi R ^ {3}}.}$

Предположим, что единственная действующая сила - это гравитация. Затем, как впервые продемонстрировал Ньютон и может быть легко продемонстрирован с помощью теоремы о расходимости , ускорение свободного падения на любом заданном расстоянии от центра сферы зависит только от общей массы, содержащейся внутри . Следствием этого результата является то, что если представить себе, что сфера разбивается на серию концентрических оболочек, каждая оболочка разрушится только вслед за оболочками, находящимися внутри нее, и никакие оболочки не пересекаются во время схлопывания. В результате время свободного падения безмассовой частицы при можно выразить исключительно через общую массу внутри нее. С точки зрения средней плотности внутри до , время свободного падения равно ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle t _ {\ text {ff}} = {\ sqrt {\ frac {3 \ pi} {32G \ rho}}} \ simeq 0.5427 {\ frac {1} {\ sqrt {G \ rho}}} \ simeq 66430 \, {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho}}}}$

где последнее выражено в единицах СИ .

Этот результат точно такой же , как и в предыдущем разделе , если: . ${\ displaystyle M \ gg m}$

Приложения

Время свободного падения - очень полезная оценка соответствующей шкалы времени для ряда астрофизических процессов. Чтобы понять его применение, мы можем написать

${\ displaystyle t _ {\ text {ff}} \ simeq {\ frac {35 \, {\ mbox {min}}} {\ sqrt {\ rho \ ({\ mbox {g}} \ cdot {\ mbox {см }} ^ {- 3})}}}}$

Здесь мы оценили численное значение времени свободного падения примерно в 35 минут для тела средней плотности 1 г / см ³ .

Сравнение

Для объекта, падающего с бесконечности на орбите захвата , время, необходимое для падения из данной позиции в центральную точечную массу, такое же, как время свободного падения, за исключением постоянной ≈ 0,42. ${\ displaystyle {\ frac {4} {3 \ pi}}}$

Рекомендации

• Галактическая динамика Бинни, Джеймс; Тремейн, Скотт. Издательство Принстонского университета, 1987.