Фреше означает - Fréchet mean

В математике и статистике , то средний Фреш является обобщение центроиды в метрические пространства , давая единую представительную точку или центральную тенденцию для кластера точек. Он назван в честь Мориса Фреше . Karcher mean - это переименование Римского центра массового строительства, разработанное Карстеном Гроувом и Германом Керхером. На вещественных числах среднее арифметическое , медианное , среднее геометрическое и гармоническое среднее значение можно интерпретировать как средние значения Фреше для различных функций расстояния.

Определение

Пусть ( M , d ) - полное метрическое пространство. Пусть х ₁ , х ₂ , ..., х _N быть точек в М . Для любой точки p в M определите дисперсию Фреше как сумму квадратов расстояний от p до x _i :

${\ Displaystyle \ Psi (p) = \ сумма _ {я = 1} ^ {N} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right)}$

Эти средства Karcher затем эти точки, т из М , который локально минимизировать ф:

${\ displaystyle m = \ mathop {\ text {arg min}} _ {p \ in M} \ sum _ {i = 1} ^ {N} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right )}$

Если существует m из M, которое глобально минимизирует Ψ, то оно является средним по Фреше .

Иногда x _i присваиваются веса w _i . Затем дисперсия Фреше рассчитывается как взвешенная сумма,

${\ Displaystyle \ Psi (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \ right), \; \; \; \ ; m = \ mathop {\ text {arg min}} _ {p \ in M} \ sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} d ^ {2} \ left (p, x_ {i} \верно).}$

Примеры средств Фреше

Среднее арифметическое и медиана

Для действительных чисел среднее арифметическое - это среднее по Фреше с использованием обычного евклидова расстояния в качестве функции расстояния.

Медианный также средний Фреш, если определение функции Ψ обобщается на не-квадратичный

${\ Displaystyle \ Psi (p) = \ сумма _ {я = 1} ^ {N} d ^ {\ alpha} \ left (p, x_ {i} \ right),}$

где , а евклидово расстояние - функция расстояния d . В многомерных пространствах это становится геометрической медианой . ${\ Displaystyle \ альфа = 1}$

Среднее геометрическое

На положительных действительных числах может быть определена (гиперболическая) функция расстояния . Среднее геометрическое представляет собой соответствующий Фреше среднее. В самом деле , тогда это изометрия евклидова пространства в это «гиперболическое» пространство, и оно должно соответствовать среднему значению Фреше: среднее значение Фреше - это образ по среднему значению Фреше (в евклидовом смысле) , т.е. ${\ Displaystyle д (х, у) = | \ журнал (х) - \ журнал (у) |}$${\ displaystyle f: x \ mapsto e ^ {x}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (x_ {i})}$

${\ displaystyle f \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f ^ {- 1} \ left (x_ {i} \ right) \ right) = \ exp \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ log x_ {i} \ right) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdots x_ {n}}}}$.

Гармоническое среднее

На положительных действительных чисел , то метрика (расстояние функции):

${\ displaystyle d _ {\ operatorname {H}} (x, y) = \ left | {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} \ right |}$

можно определить. Гармоническое среднее является соответствующим Фреше среднее.

Власть означает

Учитывая ненулевое действительное число , среднее значение мощности можно получить как среднее по Фреше, введя метрику ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle d_ {m} \ left (x, y \ right) = \ left | x ^ {m} -y ^ {m} \ right |}$

е-значит

Для обратимой и непрерывной функции f-среднее можно определить как среднее по Фреше, полученное с помощью метрики: ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle d_ {е} (х, у) = \ влево | е (х) -f (у) \ вправо |}$

Иногда это называют обобщенным f-средним или квазиарифметическим средним .

Средневзвешенные

Общее определение среднего Фреше, которое включает возможность взвешивания наблюдений, может использоваться для получения взвешенных версий для всех вышеупомянутых типов средних.

Рекомендации