Оценщик первой разности - First-difference estimator

В статистике и эконометрике , то первая разность (FD) , оценка является оценка используется для решения проблемы опущенных переменных с данными панели . Это согласуется с допущениями модели фиксированных эффектов . В определенных ситуациях он может быть более эффективным, чем стандартная оценка с фиксированными эффектами (или «внутри»).

Оценщику требуются данные о зависимой переменной и независимых переменных для набора отдельных единиц и периодов времени . Оценка получается путем выполнения общей оценки методом наименьших квадратов (МНК) для регрессии на . ${\ displaystyle y_ {it}}$${\ displaystyle x_ {it}}$${\ Displaystyle я = 1, \ точки, N}$${\ displaystyle t = 1, \ dots, T}$${\ displaystyle \ Delta y_ {it}}$${\ displaystyle \ Delta x_ {it}}$

Вывод

Оценщик FD позволяет избежать систематической ошибки из-за некоторой ненаблюдаемой, неизменной во времени переменной , используя повторяющиеся наблюдения во времени: ${\ displaystyle c_ {i}}$

${\ displaystyle y_ {it} = x_ {it} \ beta + c_ {i} + u_ {it}, t = 1, ... T,}$

${\ displaystyle y_ {it-1} = x_ {it-1} \ beta + c_ {i} + u_ {it-1}, t = 2, ... T.}$

Разница в уравнениях дает:

${\ displaystyle \ Delta y_ {it} = y_ {it} -y_ {it-1} = \ Delta x_ {it} \ beta + \ Delta u_ {it}, t = 2, ... T,}$

который удаляет ненаблюдаемое . ${\ displaystyle c_ {i}}$

Затем оценка FD получается с использованием разностных членов для x и u в OLS: ${\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {FD}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {FD} = (\ Delta X '\ Delta X) ^ {- 1} \ Delta X' \ Delta y = \ beta + (\ Delta X '\ Delta X) ^ {- 1} \ Delta X '\ Delta u}$

Где и , - обозначения матриц соответствующих переменных. Обратите внимание, что условие ранга должно быть выполнено, чтобы быть обратимым ( ), где - количество регрессоров.${\ displaystyle X, y,}$${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle \ Delta X '\ Delta X}$${\ displaystyle rank [\ Delta X '\ Delta X] = k}$${\ displaystyle k}$

Позвольте и определить аналогично. Если по центральной предельной теореме, закону больших чисел и теореме Слуцкого оценка распределена нормально с асимптотической дисперсией .${\ displaystyle \ Delta X_ {i} = [\ Delta X_ {i2}, \ Delta X_ {i3}, ..., \ Delta X_ {iT}]}$${\ displaystyle \ Delta u_ {i}}$${\ displaystyle E [u_ {it} | x_ {i1}, x_ {i2}, .., x_ {iT}] = 0}$${\ displaystyle E [\ Delta X_ {i} '\ Delta X_ {i}] ^ {- 1} E [\ Delta X_ {i} \ Delta u_ {i} \ Delta u_ {i}'] E [\ Delta X_ {i} '\ Delta X_ {i}] ^ {- 1}}$

В предположении гомоскедастичности и отсутствия последовательной корреляции математически , асимптотическая дисперсия может быть оценена с помощью ${\ displaystyle Var (\ Delta u | X) = \ sigma _ {\ Delta u} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ widehat {Avar}} ({\ hat {\ beta}} _ {FD}) = {\ hat {\ sigma}} _ {\ Delta u} ^ {2} (\ Delta X '\ Delta X) ^ {- 1},}$

где дается ${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {u} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {\ Delta u} ^ {2} = [n (T-1) -K] ^ {- 1} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ сумма _ {t = 2} ^ {T} {\ widehat {\ Delta u_ {it}}} ^ {2}}$

и .${\ displaystyle {\ widehat {\ Delta u_ {it}}} = \ Delta y_ {it} - {\ hat {\ beta}} _ {FD} \ Delta x_ {it}}$

Характеристики

Чтобы быть объективными, фиксированная оценка требует строгой экзогенности, . При условии , что оценка FD непротиворечива. Обратите внимание, что это предположение является менее строгим, чем предположение о строгой экзогенности, необходимой для согласованности с использованием оценщика с фиксированными эффектами (FE), когда T фиксировано. Если T стремится к бесконечности, то и FE, и FD согласуются с более слабым предположением о одновременной экзогенности. ${\ displaystyle E [u_ {it} | x_ {i1}, x_ {i2}, .., x_ {iT}] = 0}$${\ displaystyle E [u_ {it} -u_ {it-1} | x_ {it} -x_ {it-1}] = 0}$

Связь с оценщиком фиксированных эффектов

Для оценок FD и фиксированных эффектов численно эквивалентны. ${\ displaystyle T = 2}$

При допущении гомоскедастичности и отсутствия последовательной корреляции в FE-оценка более эффективна, чем FD-оценка. Это связано с тем, что оценщик FD не вызывает последовательной корреляции при различении ошибок. Однако, если следует случайное блуждание , оценка FD более эффективна, поскольку они не коррелированы последовательно. ${\ displaystyle u_ {it}}$${\ displaystyle u_ {it}}$${\ displaystyle \ Delta u_ {it}}$

Смотрите также

• Панельный анализ

использованная литература

• Вулдридж, Джеффри М. (2001). Эконометрический анализ поперечных и панельных данных . MIT Press. стр.  279 -291. ISBN 978-0-262-23219-7.