Тонкая структура - Fine structure

Интерференционные полосы , показывающие тонкую структуру (расщепление) охлажденного источника дейтерия , наблюдаемые через интерферометр Фабри – Перо .

В атомной физике , то структура прекрасно описывает расщепление спектральных линий из атомов за счетом электронного спина и релятивистские поправки к нерелятивистскому уравнению Шредингера . Впервые он был измерен именно для атома водорода по Майкельсон и Морли в 1887 году, закладывает основу для теоретического лечения Арнольда Зоммерфельда , представляя постоянной тонкой структуры .

Фон

Валовая структура

Общая структура линейчатых спектров - это линейчатые спектры, предсказанные квантовой механикой нерелятивистских электронов без спина. Для водородного атома энергетические уровни грубой структуры зависят только от главного квантового числа n . Однако более точная модель учитывает релятивистские и спиновые эффекты, которые нарушают вырождение уровней энергии и расщепляют спектральные линии. Масштаб расщепления тонкой структуры относительно энергий грубой структуры порядка ( Zα ) ² , где Z - атомный номер, а α - постоянная тонкой структуры , безразмерное число, равное приблизительно 1/137.

Релятивистские поправки

Поправки на энергию тонкой структуры могут быть получены с помощью теории возмущений . Для выполнения необходимо добавить три корректирующие условия для этого расчета один Гамильтона : ведущую релятивистскую поправку порядка к кинетической энергии, коррекции из - за спин-орбитального, а термин Darwin , идущий от квантовой флуктуирующей движения или Zitterbewegung электрона .

Эти поправки также могут быть получены из нерелятивистского предела уравнения Дирака , поскольку теория Дирака естественным образом включает в себя относительность и спиновые взаимодействия.

Атом водорода

В этом разделе обсуждаются аналитические решения для атома водорода, поскольку проблема решается аналитически и является базовой моделью для расчета уровней энергии в более сложных атомах.

Релятивистская поправка кинетической энергии

Грубая структура предполагает, что член кинетической энергии гамильтониана принимает ту же форму, что и в классической механике , что для одного электрона означает

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V}$

где V - потенциальная энергия , - импульс, - масса покоя электрона . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {e}}$

Однако, рассматривая более точную теорию природы через специальную теорию относительности , мы должны использовать релятивистскую форму кинетической энергии,

${\ displaystyle T = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} - m_ {e} c ^ {2} = m_ {e} c ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ right]}$

где первый член является полной релятивистской энергией, а второе слагаемого есть энергия покоя электрона ( это скорость света ). Раскладывая квадратный корень для больших значений , находим ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle T = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} + \ cdots}$

Хотя в этой серии есть бесконечное количество членов, более поздние члены намного меньше, чем более ранние, и поэтому мы можем игнорировать все, кроме первых двух. Поскольку первый член выше уже является частью классического гамильтониана, поправка первого порядка к гамильтониану равна

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '= - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}}}$

Используя это как возмущение , мы можем вычислить поправки к энергии первого порядка из-за релятивистских эффектов.

${\ Displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert {\ mathcal {H}} '\ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {4} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle}$

где - невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим ${\ displaystyle \ psi ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} ^ {0} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\\ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V \ right) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n } \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = 2m_ {e} (E_ {n} -V) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \ end {align}}}$

Мы можем использовать этот результат для дальнейшего вычисления релятивистской поправки:

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert (2m_ {e}) ^ {2} (E_ {n} -V ) ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2} }} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ {n} \ langle V \ rangle + \ left \ langle V ^ {2} \ right \ rangle \ right) \ end {align}}}$

Для атома водорода

${\ Displaystyle V (г) = {\ гидроразрыва {-e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}$ ,, и , ${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {(l + 1/2) n ^ {3} a_ {0} ^ {2}}}}$

где это элементарный заряд , является вакуумная диэлектрическая проницаемость , является Бор Радиус , является главным квантовым числом , является азимутальным квантовым числом , и это расстояние электрона от ядра. Следовательно, релятивистская поправка первого порядка для атома водорода равна ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left (E_ {n} ^ {2 } + 2E_ {n} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}} + {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} ^ {2}}} {\ frac {e ^ {4}} {(l + {\ frac {1} {2}}) n ^ { 3} a_ {0} ^ {2}}} \ right) \\ & = - {\ frac {E_ {n} ^ {2}} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left ({\ гидроразрыв {4n} {l + {\ frac {1} {2}}}} - 3 \ right) \ end {выравнивается}}}$

где мы использовали:

${\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {e ^ {2}} {8 \ pi \ varepsilon _ {0} a_ {0} n ^ {2}}}}$

При окончательном расчете порядок релятивистской поправки к основному состоянию равен . ${\ displaystyle -9.056 \ times 10 ^ {- 4} \ {\ text {эВ}}}$

Спин-орбитальная связь

Для водородоподобного атома с протонами ( для водорода), орбитальным угловым моментом и спином электрона спин-орбитальный член определяется как: ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z = 1}$${\ displaystyle {\ vec {L}}}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ left ({\ frac {g_ {s}} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \ right) {\ frac {{\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}} {r ^ {3}}}}$

где - спиновый g-фактор . ${\ displaystyle g_ {s}}$

Спина коррекция -орбите может быть понята путем перехода от стандартной системы отсчета (где электрон орбиты ядра ) в одном , где электрон неподвижен и ядро вместо него орбит. В этом случае орбитальное ядро ​​функционирует как эффективная токовая петля, которая, в свою очередь, будет генерировать магнитное поле. Однако сам электрон имеет магнитный момент из-за собственного углового момента . Два магнитных вектора и соединяются вместе, так что существует определенная стоимость энергии в зависимости от их относительной ориентации. Это приводит к энергетической поправке вида ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ mu}} _ {s}}$

${\ Displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {SO}} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}$

Обратите внимание, что к вычислению необходимо добавить важный множитель 2, называемый прецессией Томаса , который исходит из релятивистских вычислений, которые возвращаются к системе отсчета электрона из системы отсчета ядра.

С

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right \ rangle & = {\ frac {Z ^ {3}} {n ^ {3} a_ {0} ^ {3}}} {\ frac {1} {l \ left (l + {\ frac {1} {2}} \ right) (l + 1)}} \\\ left \ langle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \ right \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1)] \ end {выровнено}}}$

математическое ожидание для гамильтониана:

${\ displaystyle \ left \ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} \ right \ rangle = {\ frac {E_ {n} {} ^ {2}} {m_ {e} c ^ { 2}}} ~ n ~ {\ frac {j (j + 1) -l (l + 1) - {\ frac {3} {4}}} {l \ left (l + {\ frac {1} {2) }} \ right) (l + 1)}}}$

Таким образом, порядок величины спин-орбитальной связи составляет . ${\ displaystyle {\ frac {Z ^ {4}} {n ^ {3} (j + 1/2)}} 10 ^ {- 5} {\ text {eV}}}$

При приложении слабых внешних магнитных полей спин-орбитальная связь вносит вклад в эффект Зеемана .

Термин Дарвина

Есть еще один последний член в нерелятивистском разложении уравнения Дирака . Он упоминается как термин Дарвина, поскольку он был впервые получен Чарльзом Гальтоном Дарвином , и дается следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2 }}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {r }} \ right) \\\ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) | \ psi (0) | ^ {2} \ \\ psi (0) & = 0 {\ text {for}} l> 0 \\\ psi (0) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \, 2 \ left ( {\ frac {Z} {na_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ text {for}} l = 0 \\ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Дарвин}} & = {\ frac {2n} {m_ {e} c ^ {2}}} \, E_ {n} ^ {2} \ end {выровнено}}}$

Член Дарвина влияет только на s-орбитали. Это связано с тем, что волновая функция электрона с обращается в нуль в начале координат, следовательно, дельта-функция не имеет никакого эффекта. Например, он дает 2s-орбитали ту же энергию, что и 2p-орбиталь, повышая состояние 2s на ${\ displaystyle l> 0}$ 9,057 · 10 ⁻⁵  эВ .

Термин Дарвина изменяет эффективный потенциал ядра. Это можно интерпретировать как размытие электростатического взаимодействия между электроном и ядром из-за zitterbewegung , или быстрых квантовых колебаний электрона. Это можно продемонстрировать коротким расчетом.

Квантовые флуктуации позволяют создавать виртуальные электрон-позитронные пары, время жизни которых оценивается по принципу неопределенности . Расстояние частицы могут двигаться в течение этого времени , то длина волны Комптона . Электроны атома взаимодействуют с этими парами. Это дает колеблющееся положение электрона . Используя разложение Тейлора , можно оценить влияние на потенциал : ${\ displaystyle \ Delta t \ приблизительно \ hbar / \ Delta E \ приблизительно \ hbar / mc ^ {2}}$${\ displaystyle \ xi \ приблизительно с \ Delta t \ приблизительно \ hbar / mc = \ lambda _ {c}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}}$${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle U ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}) \ приблизительно U ({\ vec {r}}) + \ xi \ cdot \ nabla U ({\ vec {r}} ) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ partial _ {i} \ partial _ {j} U ({\ vec {r} })}$

Усреднение по колебаниям ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ xi}} = 0, \ quad {\ overline {\ xi _ {i} \ xi _ {j}}} = {\ frac {1} {3}} {\ overline {{ \ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ delta _ {ij},}$

дает средний потенциал

${\ displaystyle {\ overline {U \ left ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}} \ right)}} = U \ left ({\ vec {r}} \ right) + {\ frac {1} {6}} {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U \ left ({\ vec {r}} \ right).}$

Приближаясь , это дает возмущение потенциала из-за флуктуаций: ${\ displaystyle {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ приблизительно \ lambda _ {c} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ delta U \ приблизительно {\ frac {1} {6}} \ lambda _ {c} ^ {2} \ nabla ^ {2} U = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U}$

Чтобы сравнить с приведенным выше выражением, подключите кулоновский потенциал :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - \ nabla ^ {2} {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} = 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}}) \ quad \ Rightarrow \ quad \ delta U \ приблизительно { \ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}})}$

Это немного отличается.

Другой механизм, который влияет только на s-состояние, - это лэмбовский сдвиг , дополнительная, меньшая поправка, возникающая в квантовой электродинамике, которую не следует путать с дарвиновским термином. Термин Дарвина дает s-состоянию и p-состоянию одинаковую энергию, но лэмбовский сдвиг делает s-состояние более энергичным, чем p-состояние.

Общий эффект

Полный гамильтониан дается формулой

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {kinetic}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} + H _ {\ mathrm {Darwin}}, \!}$

где - гамильтониан кулоновского взаимодействия . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {кулон}}}$

Общий эффект, полученный суммированием трех компонентов, определяется следующим выражением:

${\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {E_ {n} (Z \ alpha) ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {1} {j + {\ frac {1} {2}}) }} - {\ frac {3} {4n}} \ right) \ ,,}$

где - квантовое число полного углового момента ( если и в противном случае). Стоит отметить, что это выражение было впервые получено Зоммерфельдом на основе старой теории Бора ; т.е. до того, как была сформулирована современная квантовая механика . ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j = 1/2}$${\ displaystyle l = 0}$${\ displaystyle j = l \ pm 1/2}$

Энергетическая диаграмма атома водорода для n = 2 с поправкой на тонкую структуру и магнитное поле. В первом столбце показан нерелятивистский случай (только кинетическая энергия и кулоновский потенциал), релятивистская поправка к кинетической энергии добавлена ​​во втором столбце, третий столбец включает всю тонкую структуру, а четвертый добавляет эффект Зеемана (магнитный полевая зависимость).

Точные релятивистские энергии

Релятивистские поправки (Дирака) к энергетическим уровням атома водорода из модели Бора. Коррекция тонкой структуры предсказывает, что линия Лаймана-альфа (испускаемая при переходе от n = 2 к n = 1) должна разделиться на дублет.

Общий эффект также можно получить, используя уравнение Дирака. В этом случае электрон считается нерелятивистским. Точные значения энергии даются

${\ displaystyle E_ {j \, n} = - m _ {\ text {e}} c ^ {2} \ left [1- \ left (1+ \ left [{\ dfrac {\ alpha} {nj - {\ frac {1} {2}} + {\ sqrt {\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}} \ right] ^ { 2} \ right) ^ {- 1/2} \ right].}$

Это выражение, которое содержит все члены более высокого порядка, которые не учитывались в других вычислениях, расширяется до первого порядка, чтобы получить поправки на энергию, полученные из теории возмущений. Однако это уравнение не содержит поправок на сверхтонкую структуру , обусловленных взаимодействиями со спином ядра. Другие поправки из квантовой теории поля, такие как лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный дипольный момент электрона, не включены.

Смотрите также

• Связь по угловому моменту
• Прекрасная электронная структура

использованная литература

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN   0-13-805326-X .
• Либофф, Ричард Л. (2002). Вводная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN   0-8053-8714-5 .

внешние ссылки

• Гиперфизика: тонкая структура
• Техасский университет: тонкая структура водорода