Фильтрация (теория вероятностей) - Filtration (probability theory)

В теории случайных процессов , подразделе теории вероятностей , фильтрации представляют собой полностью упорядоченные наборы подмножеств, которые используются для моделирования информации, доступной в данной точке, и поэтому играют важную роль в формализации случайных процессов.

Определение

Пусть быть вероятностное пространство , и пусть быть множество индексов с общим порядка (часто , или подмножество ). ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$

Для каждого LET быть суб- σ - алгебра из . потом ${\ displaystyle i \ in I}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {F}: = ({\ mathcal {F}} _ {я}) _ {я \ in I}}$

называется фильтрацией, если для всех . Таким образом, фильтрации - это неубывающие семейства σ -алгебр. Если - фильтрация, то называется фильтрованным вероятностным пространством . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} \ substeq {\ mathcal {F}} _ {\ ell}}$${\ Displaystyle к \ leq \ ell}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {F}, P)}$

пример

Позвольте быть случайным процессом на вероятностном пространстве . потом ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}: = \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}$

является σ -алгеброй и фильтрацией. Здесь обозначает σ -алгебру, порожденную случайными величинами . ${\ displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n)}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$ действительно является фильтрацией, так как по определению все являются σ -алгебрами и ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$

${\ displaystyle \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n) \ substeq \ sigma (X_ {k} \ mid k \ leq n + 1).}$

Типы фильтрации

Правосторонняя непрерывная фильтрация

Если - фильтрация, то соответствующая непрерывная справа фильтрация определяется как ${\ Displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {я}) _ {я \ in I}}$

${\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {+}: = ({\ mathcal {F}} _ {i} ^ {+}) _ {i \ in I},}$

с участием

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} ^ {+}: = \ bigcap _ {i <z} {\ mathcal {F}} _ {z}.}$

Сама фильтрация называется непрерывной справа, если . ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} ^ {+} = \ mathbb {F}}$

Полная фильтрация

Позволять

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {P}: = \ {A \ substeq \ Omega \ mid A \ substeq B {\ text {для некоторых}} B {\ text {with}} P (B) = 0 \}}$

быть набором всех наборов, которые содержатся в наборе - null . ${\ displaystyle P}$

Фильтрация называется полной фильтрацией , если каждая из них содержит . Это равносильно тому , чтобы быть полной мерой пространства для каждого ${\ Displaystyle \ mathbb {F} = ({\ mathcal {F}} _ {я}) _ {я \ in I}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {P}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}} _ {я}, P)}$${\ displaystyle i \ in I.}$

Расширенная фильтрация

Фильтрация называется расширенной фильтрацией, если она является полной и непрерывной справа. Для каждой фильтрации существует наименьшее уточнение расширенной фильтрации . ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathbb {F}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$

Если фильтрация является расширенной фильтрацией, говорят, что она удовлетворяет обычным гипотезам или обычным условиям .

Смотрите также

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (математика)
• Фильтр (математика)

Рекомендации