Гипотеза области заполнения - Filling area conjecture

Пусть ( M , F ) быть диском финслерово , что изометрически заполняет свою границу длиной 2 л . Можно считать, что M - стандартный круглый диск в ℝ ² , а финслерова метрика F : T M = M × ℝ ² → [0, + ∞) гладкая и сильно выпуклая. Площадь заполнения Холмса – Томпсона можно вычислить по формуле

${\ displaystyle \ operatorname {Area} _ {\ mathrm {HT}} (M, F) = {\ frac {1} {\ pi}} \ iint _ {M} | B_ {x} ^ {*} | \ , \ mathrm {d} x_ {0} \, \ mathrm {d} x_ {1}}$

где для каждой точки множество является двойным единичным шаром нормы (единичным шаром двойственной нормы ) и его обычной площадью как подмножеством . ${\ displaystyle x \ in M}$${\ Displaystyle B_ {х} ^ {*} \ substeq \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle F_ {x}}$ ${\ displaystyle F_ {x} ^ {*}}$${\ displaystyle | B_ {x} ^ {*} |}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Выберите набор граничных точек, перечисленных в порядке против часовой стрелки. Для каждой точки определим на M скалярную функцию . Эти функции обладают следующими свойствами: ${\ displaystyle P = (p_ {i}) _ {0 \ leq i <n} \ substeq \ partial M}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} (x) = \ mathrm {dist} _ {F} (p_ {i}, x)}$

• Каждая функция липшицева на M и поэтому (по теореме Радемахера ) дифференцируема почти в каждой точке . ${\ displaystyle f_ {i}: M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in M}$
• Если дифференцируема во внутренней точке , то существует уникальная кратчайшая кривая от до x (параметризованная с единичной скоростью), которая достигает x со скоростью . Дифференциал имеет норму 1 и является единственным ковектором , для которого . ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle х \ в М ^ {\ circ}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$${\ displaystyle \ varphi \ in B_ {x} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ varphi (v_ {i}) = F_ {x} (v_ {i})}$
• В каждой точке, где все функции дифференцируемы, ковекторы различны и располагаются против часовой стрелки на дуальной единичной сфере . Действительно, они должны быть разными, потому что разные геодезические не могут достигать одинаковой скорости. Кроме того, если бы три из этих ковекторов (для некоторых ) появлялись в перевернутом порядке, то две из трех кратчайших кривых от точек до пересекали бы друг друга, что невозможно. ${\ Displaystyle х \ в М ^ {\ circ}}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} е_ {я}}$${\ displaystyle \ partial B_ {x} ^ {*}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}, \ mathrm {d} _ {x} f_ {j}, \ mathrm {d} _ {x} f_ {k}}$${\ Displaystyle 0 \ Leq я <J <к <п}$${\ displaystyle p_ {i}, p_ {j}, p_ {k} \ in \ partial M}$${\ displaystyle x}$

Таким образом, почти для каждой внутренней точки ковекторы представляют собой вершины, перечисленные в порядке против часовой стрелки, выпуклого многоугольника, вписанного в двойственный единичный шар . Площадь этого многоугольника равна (где индекс i  + 1 вычисляется по модулю n ). Следовательно, мы имеем оценку снизу ${\ Displaystyle х \ в М ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$${\ displaystyle B_ {x} ^ {*}}$${\ displaystyle \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} _ {x} f_ {i} \ wedge \ mathrm {d} _ {x} f_ {i + 1}}$

${\ displaystyle c_ {P}: = \ int _ {M} \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} f_ {i} \ wedge \ mathrm {d} f_ {i +1} \ leq \ pi \, \ operatorname {Area} _ {\ mathrm {HT}} (M, F),}$

для области заливки. Если мы определим 1-форму , то мы можем переписать эту нижнюю границу, используя формулу Стокса, как ${\ displaystyle \ theta _ {P} = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} f_ {i} \, \ mathrm {d} f_ {i + 1}}$

${\ displaystyle c_ {P} = \ int _ {M} \ mathrm {d} \ theta _ {P} = \ int _ {\ partial M} \ theta _ {P} = \ dots = 2L ^ {2} - \ sum _ {i} \ delta _ {i} ^ {2} \ {\ xrightarrow {P \ {\ text {density}}}} \ 2L ^ {2}}$ .

Граничный интеграл, который здесь появляется, определяется в терминах функций расстояния, ограниченных границей, которые не зависят от изометрического заполнения . Таким образом, результат интеграла зависит только от расположения точек на окружности длиной 2L . Мы пропустили вычисление и выразили результат в терминах длин каждой граничной дуги против часовой стрелки от точки до следующей точки . Расчет действителен, только если . ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle p_ {я + 1}}$${\ displaystyle \ delta _ {i} <{\ frac {L} {2}}}$

Таким образом, наша нижняя граница площади изометрического заполнения Финслера сходится к по мере уплотнения коллекции . Отсюда следует, что ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} 2L ^ {2}}$${\ Displaystyle P \ substeq \ partial M}$

${\ displaystyle \ operatorname {Area} _ {\ mathrm {HT}} (M, F) \ geq {\ frac {1} {\ pi}} \, 2L ^ {2} = \ operatorname {Area} ({\ текст {полушарие}})}$ ,

как мы должны были доказать.