Теорема о внешнем угле - Exterior angle theorem

Внешний угол теорема является предложение 1,16 в Евклида , в котором говорится , что мера с внешнего угла в виде треугольника больше , чем любой из мер отдаленных внутренних углов. Это фундаментальный результат в абсолютной геометрии, поскольку его доказательство не зависит от постулата параллельности .

В нескольких школах, посвященных геометрии, термин «теорема о внешнем угле» применялся к другому результату, а именно к той части предложения 1.32, в которой говорится, что мера внешнего угла треугольника равна сумме мер удаленные внутренние углы. Этот результат, который зависит от постулата о параллельности Евклида, будет называться «теоремой о внешнем угле средней школы» (HSEAT), чтобы отличить его от теоремы Евклида о внешнем угле.

Некоторые авторы называют «теорему о внешнем угле средней школы» сильной формой теоремы о внешнем угле и «теорему Евклида о внешнем угле» как слабую форму .

Внешние углы

Треугольник имеет три угла, называемых вершинами . Стороны треугольника (отрезки линии), которые сходятся в вершине, образуют два угла (четыре угла, если вы считаете стороны треугольника линиями, а не отрезками линий). Только один из этих углов содержит третью сторону треугольника внутри, и этот угол называется внутренним углом треугольника. На рисунке ниже, углов ∠ABC , ∠BCA и ∠CAB являются тремя внутренними углами треугольника. Внешний угол формируется за счет расширения одной из сторон треугольника; угол между выдвинутой стороной и другой стороной - это внешний угол. На картинке угол ∠ACD - это внешний угол.

Remint3.svg

Теорема Евклида о внешнем угле

Доказательство предложения 1.16, данное Евклидом, часто упоминается как одно место, где Евклид дает ошибочное доказательство.

Евклид доказывает теорему о внешнем угле следующим образом:

  • построить середину E отрезка AC,
  • нарисуй луч БЫТЬ,
  • построить точку F на луче BE так, чтобы E была (также) серединой B и F,
  • нарисуйте отрезок FC.

По конгруэнтным треугольникам мы можем заключить, что BAC = ∠ ECF и ECF меньше, чем ∠ ECD, ∠ ECD = ∠ ACD, поэтому BAC меньше, чем ∠ ACD, и то же самое можно сделать для угла ∠ CBA, разделив BC пополам.

Недостаток заключается в предположении, что точка (F, выше) лежит «внутри» угла (∠ ACD). Для этого утверждения не приводится никаких оснований, но прилагаемая диаграмма делает его похожим на истинное утверждение. Когда используется полный набор аксиом евклидовой геометрии (см. « Основы геометрии» ), это утверждение Евклида может быть доказано.

Недействительно в сферической геометрии

Маленькие треугольники могут вести себя почти евклидовым образом, но внешние углы у основания большого треугольника равны 90 °, что противоречит теореме Евклида о внешних углах.

Теорема о внешнем угле не верна ни в сферической геометрии, ни в связанной с ней эллиптической геометрии . Рассмотрим сферический треугольник, одна из вершин которого является Северным полюсом, а две другие лежат на экваторе . Стороны треугольника, исходящие из Северного полюса ( большие круги сферы), встречаются с экватором под прямым углом, поэтому этот треугольник имеет внешний угол, равный удаленному внутреннему углу. Другой внутренний угол (на Северном полюсе) может быть больше 90 °, что еще больше подчеркивает несостоятельность этого утверждения. Однако, поскольку теорема Евклида о внешнем угле является теоремой в абсолютной геометрии, она автоматически верна в гиперболической геометрии .

Теорема о внешнем угле в средней школе

Теорема о внешнем угле средней школы (HSEAT) гласит, что размер внешнего угла в вершине треугольника равен сумме размеров внутренних углов в двух других вершинах треугольника (удаленные внутренние углы). Итак, на картинке размер угла ACD равен размеру угла ABC плюс размер угла CAB .

HSEAT логически эквивалентен утверждению Евклида о том, что сумма углов треугольника равна 180 °. Если известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 °, то HSEAT доказывается следующим образом:

С другой стороны, если HSEAT воспринимается как истинное утверждение, тогда:

Иллюстрация доказательства HSEAT

Доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180 °.

Евклидово доказательство HSEAT (и одновременно результат о сумме углов треугольника) начинается с построения прямой, параллельной стороне AB, проходящей через точку C, а затем использования свойств соответствующих углов и чередующихся внутренних углов параллельных прямых к получите вывод как на иллюстрации.

HSEAT может быть чрезвычайно полезен при попытке вычислить размеры неизвестных углов в треугольнике.

Примечания

использованная литература

  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
  • Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тт.): ISBN  0-486-60088-2 (т. 1), ISBN  0-486-60089-0 (т. 2), ISBN  0-486-60090-4 (т. 3).
  • Хендерсон, Дэвид В .; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Пирсон / Прентис-Холл, ISBN 0-13-143748-8
  • Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
  • Wylie Jr., CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: Макгроу-Хилл

Ссылки HSEAT

  • Учебник по геометрии - стандарт IX , Государственный совет штата Махараштра по среднему и высшему среднему образованию , Пуна - 411 005, Индия .
  • Общее ядро ​​геометрии , «Образование Пирсона: Верхняя река Сэдл», © 2010, страницы 171-173 | США .
  • Уитер, Кэролайн С. (2007), Помощники в домашнем задании: геометрия , Franklin Lakes, NJ: Career Press, стр. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7.