Анализ ошибок (математика) - Error analysis (mathematics)

В математике анализ ошибок - это изучение вида и количества ошибок или неопределенностей, которые могут присутствовать в решении проблемы. Этот вопрос особенно актуален в прикладных областях, таких как численный анализ и статистика .

Анализ ошибок при численном моделировании

При численном моделировании или моделировании реальных систем анализ ошибок связан с изменениями выходных данных модели, поскольку параметры модели изменяются примерно в среднем .

Например, в системе, моделируемой как функция двух переменных . Анализ ошибок имеет дело с распространением числовых ошибок в и (около средних значений и ) на ошибку (около среднего ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle г \, = \, е (х, у)}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$${\ displaystyle \ scriptstyle y}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle z}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {z}}}$

В численном анализе анализ ошибок включает как прямой анализ ошибок, так и обратный анализ ошибок .

Прямой анализ ошибок

Прямой анализ ошибок включает в себя анализ функции, которая является приближением (обычно конечным полиномом) к функции для определения границ ошибки в приближении; т.е. найти такой, что . Оценка прямых ошибок желательна в проверенных числах . ${\ displaystyle \ scriptstyle z '= f' (a_ {0}, \, a_ {1}, \, \ dots, \, a_ {n})}$${\ displaystyle \ scriptstyle z \, = \, f (a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ scriptstyle 0 \, \ Leq \, | Z-Z '| \, \ Leq \, \ epsilon}$

Обратный анализ ошибок

Обратный анализ ошибок включает в себя анализ аппроксимирующей функции , чтобы определить границы таких параметров , как результат . ${\ displaystyle \ scriptstyle z '\, = \, f' (a_ {0}, \, a_ {1}, \, \ dots, \, a_ {n})}$${\ displaystyle \ scriptstyle a_ {i} \, = \, {\ bar {a_ {i}}} \, \ pm \, \ epsilon _ {i}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle z '\, = \, z}$

Обратный анализ ошибок, теория которого была разработана и популяризирована Джеймсом Х. Уилкинсоном , может быть использована для установления числовой устойчивости алгоритма, реализующего числовую функцию. Основной подход состоит в том, чтобы показать, что хотя вычисленный результат из-за ошибок округления не будет в точности правильным, это точное решение ближайшей проблемы со слегка искаженными входными данными. Если требуемое возмущение невелико, порядка неопределенности входных данных, то результаты в некотором смысле являются настолько точными, насколько данные «заслуживают». В этом случае алгоритм определяется как обратный стабильный . Стабильность - это мера чувствительности к ошибкам округления данной численной процедуры; Напротив, число обусловленности функции для данной проблемы указывает на внутреннюю чувствительность функции к небольшим возмущениям на ее входе и не зависит от реализации, используемой для решения проблемы.

Приложения

Спутниковая система навигации

Анализ ошибок вычисляются с использованием глобальной системы позиционирования важен для понимания того, как GPS работает, и зная , что ошибки магнитуды следует ожидать. Глобальная система позиционирования исправляет ошибки часов приемника и другие эффекты, но остаются остаточные ошибки, которые не исправляются. Система глобального позиционирования (GPS) была создана Министерством обороны США в 1970-х годах. Он стал широко использоваться для навигации как военными США, так и населением.

Моделирование молекулярной динамики

В моделировании молекулярной динамики (МД) есть ошибки из-за неадекватной выборки фазового пространства или редко происходящих событий, которые приводят к статистической ошибке из-за случайных флуктуаций в измерениях.

Для серии M измерений флуктуирующего свойства A среднее значение равно:

${\ displaystyle \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {M}} \ sum _ {\ mu = 1} ^ {M} A _ {\ mu}.}$

Когда эти M измерения являются независимыми, дисперсия среднего < А > является:

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} (\ langle A \ rangle) = {\ frac {1} {M}} \ sigma ^ {2} (A),}$

но в большинстве МДА, существует корреляция между величиной А в разное время, так что дисперсия среднего < А > будет недооценивать , как эффективное число независимых измерений на самом деле меньше , чем М . В таких ситуациях мы перепишем дисперсию как:

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} (\ langle A \ rangle) = {\ frac {1} {M}} \ sigma ^ {2} A \ left [1 + 2 \ sum _ {\ mu} \ left ( 1 - {\ frac {\ mu} {M}} \ right) \ phi _ {\ mu} \ right],}$

где - автокорреляционная функция, определяемая формулой ${\ displaystyle \ phi _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ mu} = {\ frac {\ langle A _ {\ mu} A_ {0} \ rangle - \ langle A \ rangle ^ {2}} {\ langle A ^ {2} \ rangle - \ langle A \ rangle ^ {2}}}.}$

Затем мы можем использовать функцию автокорреляции для оценки шкалы ошибок . К счастью, у нас есть гораздо более простой метод, основанный на усреднении блоков .

Проверка научных данных

Измерения обычно имеют небольшую погрешность, а повторные измерения одного и того же объекта обычно приводят к незначительным различиям в показаниях. Эти различия можно анализировать, и они следуют определенным известным математическим и статистическим свойствам. Если набор данных кажется слишком точным для гипотезы, т. Е. Количество ошибок, которые обычно были бы в таких измерениях, не появляется, можно сделать вывод, что данные могли быть сфальсифицированы. Одного анализа ошибок обычно недостаточно, чтобы доказать, что данные были сфальсифицированы или сфабрикованы, но он может предоставить подтверждающие доказательства, необходимые для подтверждения подозрений в неправомерном поведении.

Смотрите также

• Анализ ошибок (лингвистика)
• Панель ошибок
• Ошибки и неточности в статистике
• Распространение неопределенности
• Подтвержденные числа

Рекомендации

Внешние ссылки

• [1] Все об анализе ошибок.