Эквивариантная алгебраическая K-теория - Equivariant algebraic K-theory

Относительно топологической эквивариантной K-теории см. Топологическую K-теорию .

В математике эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теории , связанные с категорией из эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме X с действием линейной алгебраической группы G , через Квиллена Q-конструкции ; таким образом, по определению, ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

{\ displaystyle K_ {i} ^ {G} (X) = \ pi _ {i} (B ^ {+} \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)).}

В частности, это группа Гротендик из . Теория была разработана Р. В. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации. ${\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (C)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Coh} ^ {G} (X)}$

Эквивалентно, может быть определен как категория когерентных пучков в фактор-стеке . (Следовательно, эквивариантная K-теория является частным случаем K-теории стека .) ${\ Displaystyle К_ {я} ^ {G} (X)}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ ${\ Displaystyle [X / G]}$

Версия теоремы Лефшеца о неподвижной точке верна в контексте эквивариантной (алгебраической) K-теории.

Основные теоремы

Пусть X - эквивариантная алгебраическая схема.

Теорема локализации - Учитывая замкнутое вложение эквивариантных алгебраических схем и открытого погружения , есть длинный точная последовательность групп ${\ Displaystyle Z \ hookrightarrow X}$ ${\ displaystyle ZU \ hookrightarrow X}$

{\ Displaystyle \ cdots \ к K_ {i} ^ {G} (Z) \ к K_ {i} ^ {G} (X) \ к K_ {i} ^ {G} (U) \ к K_ {i- 1} ^ {G} (Z) \ to \ cdots}

Примеры

Одним из фундаментальных примеров эквивариантных групп K-теории являются эквивариантные K-группы -эквивариантных когерентных пучков на точках, so . Поскольку эквивалентно категории конечномерных представлений . Затем группа Гротендика обозначается как . ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle К_ {я} ^ {G} (*)}$ ${\ displaystyle {\ text {Coh}} ^ {G} (*)}$ ${\ displaystyle {\ text {Rep}} (G)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ text {Rep}} (G)}$ ${\ Displaystyle R (G)}$ ${\ displaystyle K_ {0} ^ {G} (*)}$

Кольцо Torus

Учитывая алгебраический тор конечномерное представление задается прямой суммой n - мерных -модулями , названных весов из . Существует явный изоморфизм между и, передаваемый путем отправки связанного с ним символа. ${\ Displaystyle \ mathbb {T} \ cong \ mathbb {G} _ {m} ^ {k}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle К _ {\ mathbb {T}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т_ {1}, \ ldots, т_ {к}]}$ ${\ displaystyle [V]}$