Теория Эйнштейна – Картана - Einstein–Cartan theory

В теоретической физике , то теория Эйнштейна-Картана , также известный как теория Эйнштейна-Картана-Sciama-Киббла , это классическая теория гравитации , подобной общей теории относительности . Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году. Теория Эйнштейна – Картана является простейшей калибровочной теорией Пуанкаре .

Обзор

Теория Эйнштейна – Картана отличается от общей теории относительности двумя способами: (1) она сформулирована в рамках геометрии Римана – Картана, которая обладает локально калиброванной лоренцевой симметрией, в то время как общая теория относительности сформулирована в рамках римановой геометрии, которая не имеет ; (2) формулируется дополнительная система уравнений, связывающих кручение со спином. Эту разницу можно учесть

общая теория относительности (Эйнштейн – Гильберт) → общая теория относительности (Палатини) → Эйнштейн – Картан

сначала переформулировав общую теорию относительности на геометрию Римана – Картана, заменив действие Эйнштейна – Гильберта над римановой геометрией действием Палатини над геометрией Римана – Картана; и, во-вторых, удаление ограничения нулевого кручения из действия Палатини, что приводит к дополнительной системе уравнений для спина и кручения, а также к добавлению дополнительных членов, связанных со спином, в сами уравнения поля Эйнштейна.

Общая теория относительности была первоначально сформулирована в контексте римановой геометрии действием Эйнштейна – Гильберта , из которого возникают уравнения поля Эйнштейна . Во время его первоначальной формулировки не существовало концепции геометрии Римана – Картана. Не было также достаточного понимания концепции калибровочной симметрии, чтобы понять, что римановы геометрии не обладают необходимой структурой для воплощения локально калиброванной симметрии Лоренца , такой, какая потребовалась бы для того, чтобы иметь возможность выражать уравнения непрерывности и законы сохранения для вращения и ускорения. симметрии, или для описания спиноров в искривленных геометриях пространства-времени. Результатом добавления этой инфраструктуры является геометрия Римана – Картана. В частности, для описания спиноров требуется включение спиновой структуры , которой достаточно для создания такой геометрии.

Основное различие между геометрией Римана – Картана и римановой геометрией состоит в том, что в первой аффинная связность не зависит от метрики, а во второй она выводится из метрики как связность Леви-Чивита , причем разница между ними составляет называется искривлением . В частности, антисимметричная часть связности (называемая кручением ) равна нулю для связностей Леви-Чивита как одно из определяющих условий для таких связностей.

Поскольку искривление может быть выражено линейно через кручение, то также возможно напрямую перевести действие Эйнштейна – Гильберта в геометрию Римана – Картана, в результате чего будет действие Палатини (см. Также вариант Палатини ). Он выводится путем переписывания действия Эйнштейна – Гильберта в терминах аффинной связности и затем отдельной постановки ограничения, которое заставляет и кручение, и скручивание равняться нулю, что, таким образом, заставляет аффинную связь равняться связности Леви-Чивиты. Поскольку это прямой перевод уравнений действия и поля общей теории относительности, выраженный в терминах связи Леви-Чивиты, ее можно рассматривать как саму общую теорию относительности, перенесенную в рамки геометрии Римана-Картана.

Теория Эйнштейна – Картана ослабляет это условие и, соответственно, ослабляет предположение общей теории относительности о том, что аффинная связность имеет исчезающую антисимметричную часть ( тензор кручения ). Используемое действие такое же, как действие Палатини, за исключением того, что ограничение на кручение снимается. Это приводит к двум отличиям от общей теории относительности: (1) уравнения поля теперь выражаются в терминах аффинной связи, а не связи Леви-Чивиты, и, таким образом, имеют дополнительные члены в уравнениях поля Эйнштейна, включающие искривление, которых нет в уравнения поля, полученные из формулировки Палатини; (2) теперь присутствует дополнительная система уравнений, которые связывают кручение с собственным угловым моментом ( спином ) материи, почти так же, как аффинная связь связана с энергией и импульсом материи. В теории Эйнштейна – Картана кручение теперь является переменной в принципе стационарного действия , которое связано с искривленной пространственно-временной формулировкой спина ( тензором спина ). Эти дополнительные уравнения выражают кручение линейно через тензор спина, связанный с источником материи, из чего следует, что кручение обычно не равно нулю внутри материи.

Следствием линейности является то, что вне материи есть нулевое кручение, так что внешняя геометрия остается такой же, как то, что было бы описано в общей теории относительности. Различия между теорией Эйнштейна – Картана и общей теорией относительности (сформулированной в терминах действия Эйнштейна – Гильберта в римановой геометрии или действия Палатини в геометрии Римана – Картана) основываются исключительно на том, что происходит с геометрией внутри источников материи. То есть: «кручение не распространяется». Рассмотрены обобщения действия Эйнштейна – Картана, учитывающие распространяющееся кручение.

Поскольку геометрии Римана – Картана обладают симметрией Лоренца как локальной калибровочной симметрией, можно сформулировать соответствующие законы сохранения. В частности, рассмотрение тензоров метрики и кручения как независимых переменных дает правильное обобщение закона сохранения для полного (орбитального плюс собственный) углового момента на наличие гравитационного поля.

История

Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году и изложена в последующие несколько лет. Альберт Эйнштейн присоединился к этой теории в 1928 году во время его неудачной попытки сопоставить кручение с тензором электромагнитного поля в рамках единой теории поля. Это направление мысли привело его к связанной, но другой теории телепараллелизма .

Деннис Скиама и Том Киббл независимо друг от друга пересмотрели теорию в 1960-х, и важный обзор был опубликован в 1976 году.

Теория Эйнштейна – Картана исторически была омрачена ее аналогом без кручения и другими альтернативами, такими как теория Бранса – Дике, потому что кручение, казалось, не давало прогностической выгоды за счет управляемости ее уравнений. Поскольку теория Эйнштейна – Картана является чисто классической, она также не решает полностью проблему квантовой гравитации . В теории Эйнштейна – Картана уравнение Дирака становится нелинейным, и поэтому принцип суперпозиции, используемый в обычных методах квантования, не работает. В последнее время интерес к теории Эйнштейна – Картана был направлен к космологическим последствиям, и, что наиболее важно, к предотвращению гравитационной сингулярности в начале Вселенной. Теория считается жизнеспособной и остается активной темой в сообществе физиков.

Полевые уравнения

В полевых уравнений Эйнштейна общей теории относительности могут быть получены путем постулирования действия Эйнштейна-Гильберта быть истинное действие пространства - времени , а затем изменения , что действия по отношению к метрическим тензором. Полевые уравнения теории Эйнштейна – Картана основаны на том же подходе, за исключением того, что предполагается общая асимметричная аффинная связность, а не симметричная связность Леви-Чивиты (т.е. предполагается, что пространство-время имеет кручение в дополнение к кривизне ), а затем метрика и кручение меняются независимо.

Позвольте представить плотность лагранжиана материи и представить плотность лагранжиана гравитационного поля. Плотность лагранжиана для гравитационного поля в теории Эйнштейна – Картана пропорциональна скаляру Риччи :

где - определитель метрического тензора, а - физическая постоянная, включающая гравитационную постоянную и скорость света . По принципу Гамильтона вариация полного действия гравитационного поля и вещества обращается в нуль:

Вариация по метрическому тензору дает уравнения Эйнштейна:

где есть тензор Риччи и является каноническим тензор энергии-импульса . Тензор Риччи больше не является симметричным, поскольку связность содержит ненулевой тензор кручения; следовательно, правая часть уравнения также не может быть симметричной, что означает, что она должна включать асимметричный вклад, который, как можно показать, связан со спиновым тензором . Этот канонический тензор энергии-импульса связан с более известным симметричным тензором энергии-импульса процедурой Белинфанте – Розенфельда .

Вариация по отношению к тензору кручения дает уравнения спиновой связи Картана

где - тензор спина . Поскольку уравнение кручения является алгебраической связью, а не уравнением в частных производных , поле кручения не распространяется как волна и исчезает вне вещества. Следовательно, в принципе кручение может быть алгебраически исключено из теории в пользу спинового тензора, который порождает эффективное «спин-спиновое» нелинейное самодействие внутри вещества.

Избегание особенностей

Теоремы сингулярности, которые основаны и сформулированы в рамках римановой геометрии (например, теоремы об особенностях Пенроуза – Хокинга ), не обязательно должны выполняться в геометрии Римана – Картана. Следовательно, теория Эйнштейна – Картана способна избежать общерелятивистской проблемы сингулярности при Большом взрыве . Минимальная связь между кручением и спинорами Дирака порождает эффективное нелинейное спин-спиновое самодействие, которое становится существенным внутри фермионной материи при чрезвычайно высоких плотностях. Предполагается, что такое взаимодействие заменит сингулярный Большой взрыв похожим на острие Большим отскоком с минимальным, но конечным масштабным фактором , до которого наблюдаемая Вселенная сжималась. Этот сценарий также объясняет, почему нынешняя Вселенная в самых больших масштабах кажется пространственно плоской, однородной и изотропной, обеспечивая физическую альтернативу космической инфляции . Кручение позволяет фермионам быть расширенными в пространстве вместо «точечных» , что помогает избежать образования сингулярностей, таких как черные дыры, и устраняет ультрафиолетовую расходимость в квантовой теории поля. Согласно общей теории относительности, гравитационный коллапс достаточно компактной массы образует сингулярную черную дыру. В теории Эйнштейна – Картана, напротив, коллапс достигает отскока и образует регулярный мост Эйнштейна – Розена ( червоточину ) в новую, растущую Вселенную по другую сторону горизонта событий .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Gronwald, F .; Хел, FW (1996). «О калибровочных аспектах гравитации». arXiv : gr-qc / 9602013 .
  • Хаммонд, Ричард Т (27 марта 2002). «Торсионная гравитация». Отчеты о достижениях физики . 65 (5): 599–649. Bibcode : 2002RPPh ... 65..599H . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 65/5/201 . ISSN  0034-4885 .
  • Hehl, FW (1973). «Спин и кручение в общей теории относительности: I. Основы». Общая теория относительности и гравитации . 4 (4): 333–349. Bibcode : 1973GReGr ... 4..333H . DOI : 10.1007 / bf00759853 . ISSN  0001-7701 .
  • Hehl, FW (1974). «Спин и кручение в общей теории относительности II: геометрия и уравнения поля». Общая теория относительности и гравитации . 5 (5): 491–516. Bibcode : 1974GReGr ... 5..491H . DOI : 10.1007 / bf02451393 . ISSN  0001-7701 .
  • Hehl, Friedrich W .; фон дер Хейде, Пауль; Керлик, Дж. Дэвид (1974-08-15). «Общая теория относительности со спином и кручением и ее отклонения от теории Эйнштейна». Physical Review D . 10 (4): 1066–1069. Bibcode : 1974PhRvD..10.1066H . DOI : 10.1103 / physrevd.10.1066 . ISSN  0556-2821 .
  • Кляйнерт, Хаген (2000). "Принцип неголономного отображения для классической и квантовой механики в пространствах кривизны и кручения". Общая теория относительности и гравитации . 32 (5): 769–839. arXiv : gr-qc / 9801003 . DOI : 10.1023 / а: 1001962922592 . ISSN  0001-7701 .
  • Кухович, Бронислав (1978). «Космологические модели типа Фридмана без сингулярности». Общая теория относительности и гравитации . 9 (6): 511–517. Bibcode : 1978GReGr ... 9..511K . DOI : 10.1007 / bf00759545 . ISSN  0001-7701 .
  • Лорд, EA (1976). «Тензоры, теория относительности и космология» (МакГроу-Хилл).
  • Петти, Р.Дж. (1976). «Некоторые аспекты геометрии первоквантованных теорий». Общая теория относительности и гравитации . 7 (11): 869–883. Bibcode : 1976GReGr ... 7..869P . DOI : 10.1007 / bf00771019 . ISSN  0001-7701 .
  • Петти, Ричард Дж. (1986). «О локальной геометрии вращающейся материи». Общая теория относительности и гравитации . 18 (5): 441–460. Bibcode : 1986GReGr..18..441P . DOI : 10.1007 / bf00770462 . ISSN  0001-7701 .
  • Петти, Р.Дж. (12 января 2006 г.). «Трансляционные пространственно-временные симметрии в гравитационных теориях». Классическая и квантовая гравитация . 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730 . Bibcode : 2006CQGra..23..737P . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 23/3/012 . ISSN  0264-9381 .
  • Петти, Р.Дж. (2013). «Вывод теории Эйнштейна – Картана из общей теории относительности». arXiv : 1301.1588 [ gr-qc ].
  • Поплавский, Никодем Дж. (2009). «Пространство-время и поля». arXiv : 0911.0334 [ gr-qc ].
  • де Саббата, В. и Гасперини, М. (1985). «Введение в гравитацию» (World Scientific).
  • де Саббата В. и Сиварам К. (1994). «Спин и кручение в гравитации» (World Scientific).
  • Шапиро, Иллинойс (2002). «Физические аспекты кручения пространства-времени». Отчеты по физике . 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th / 0103093 . Bibcode : 2002PhR ... 357..113S . DOI : 10.1016 / s0370-1573 (01) 00030-8 . ISSN  0370-1573 .
  • Траутман, Анджей (1973). «Спин и кручение могут предотвратить гравитационные сингулярности». Природа Физическая наука . 242 (114): 7–8. Bibcode : 1973NPhS..242 .... 7T . DOI : 10.1038 / physci242007a0 . ISSN  0300-8746 .
  • Траутман, Анджей (2006). «Теория Эйнштейна – Картана». arXiv : gr-qc / 0606062 .