Тест Даннета - Dunnett's test

В статистике , тест Дуннетты является множественным сравнением процедуры , разработанная канадским статистик Чарльза Dunnett сравнить каждый из нескольких процедур с одним контролем. Множественные сравнения с контролем также называются сравнениями «многие к одному».

История

Тест Даннета был разработан в 1955 году; Обновленная таблица критических значений была опубликована в 1964 году.

Проблема множественных сравнений

Проблема множественных сравнений, множественности или множественного тестирования возникает, когда один одновременно рассматривает набор статистических выводов или делает вывод о подмножестве параметров, выбранных на основе наблюдаемых значений. Основной проблемой при любом обсуждении процедур множественного сравнения является вопрос о вероятности ошибок типа I. Большинство различий между альтернативными методами связано с разными подходами к вопросу о том, как контролировать эти ошибки. Проблема отчасти техническая; но на самом деле это гораздо более субъективный вопрос о том, как вы хотите определить частоту ошибок и насколько большим вы хотите позволить максимально возможную частоту ошибок. Тест Даннета хорошо известен и широко используется в процедуре множественного сравнения для одновременного сравнения, посредством интервальной оценки или проверки гипотез, всех активных обработок с контролем при выборке из распределения, в котором допущение нормальности является разумным. Тест Даннета предназначен для удержания уровня семейных ошибок на уровне или ниже при выполнении множественных сравнений экспериментальной группы с контрольной. ${\ displaystyle \ alpha}$

Использование теста Даннета

Первоначальная работа по проблеме множественных сравнений была сделана Тьюки и Шеффе . Их метод был общим, он рассматривал все виды попарных сравнений. Методы Тьюки и Шеффе позволяют проводить любое количество сравнений среди набора выборочных средних. С другой стороны, тест Даннета сравнивает только одну группу с другими, обращаясь к особому случаю проблемы множественных сравнений - попарному сравнению нескольких групп лечения с одной контрольной группой. В общем случае, когда мы сравниваем каждую из пар, мы проводим сравнения (где k - количество групп), но в случае лечения и контроля мы будем делать только сравнения. Если в случае экспериментальной и контрольной групп мы должны были использовать более общие методы Тьюки и Шеффе, они могли бы привести к излишне широким доверительным интервалам. Тест Даннета учитывает особую структуру сравнения лечения с контролем, что дает более узкие доверительные интервалы. Очень часто тест Даннета используется в медицинских экспериментах, например, для сравнения результатов анализа крови у трех групп животных, одна из которых служила контролем, а две другие принимали два разных препарата. Еще одно распространенное использование этого метода среди агрономов: агрономы могут захотеть изучить влияние определенных химикатов, добавленных в почву, на урожай, поэтому они оставят некоторые участки необработанными (контрольные участки) и сравнят их с участками, на которых были добавлены химикаты. почва (участки обработки). ${\ Displaystyle к (к-1) {\ big /} 2}$${\ Displaystyle (к-1)}$

Формальное описание теста Даннета

Тест Даннета выполняется путем вычисления t-статистики Стьюдента для каждой экспериментальной или лечебной группы, где статистика сравнивает экспериментальную группу с одной контрольной группой. Поскольку каждое сравнение имеет общий элемент управления, процедура включает зависимости между этими сравнениями. В частности, все t-статистики получают из одной и той же оценки дисперсии ошибок, которая получается путем объединения сумм квадратов ошибок по всем (экспериментальной и контрольной) группам. Формальная тестовая статистика для критерия Даннета является либо наибольшей по абсолютной величине этой t-статистики (если требуется двусторонний тест), либо наиболее отрицательной или наиболее положительной из t-статистики (если односторонний критерий является обязательный).

В тесте Дуннетты мы можем использовать общую таблицу критических значений, но более гибкие варианты в настоящее время легко доступны во многих пакетах статистики , таких как R . Критические значения для любой заданной процентной точки зависят от того, выполняется ли односторонний или двусторонний тест; количество сравниваемых групп; общее количество испытаний.

Предположения

Анализ рассматривает случай, когда результаты эксперимента являются числовыми, и эксперимент проводится для сравнения p обработок с контрольной группой. Результаты могут быть суммированы в виде набора расчетных средств наборов наблюдений, , в то время как имеют в виду лечения и имеет в виду набор управления наблюдений и является независимой оценкой общего стандартного отклонения всех наборов наблюдений. Все из множества наблюдений , как предполагается, независимо друг от друга и распределены нормально с общей дисперсией и средствами . Также есть предположение, что существует доступная оценка для . ${\ Displaystyle (п + 1)}$${\ displaystyle ({\ bar {X_ {0}}}, ..., {\ bar {X_ {p}}})}$${\ displaystyle ({\ bar {X_ {1}}}, ..., {\ bar {X_ {p}}})}$${\ displaystyle {\ bar {X_ {0}}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle p + 1}$${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}}}$${\ displaystyle p + 1}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mu _ {я}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Расчет

Вычисление теста Даннета - это процедура, основанная на вычислении утверждений о достоверности истинных или ожидаемых значений различий , то есть различий между средним значением экспериментальной группы и средним значением контрольной группы. Эта процедура гарантирует , что вероятность всех утверждений является одновременно корректным равно заданным значением, . При расчете односторонне верхних (или нижних) доверительного интервала для истинного значения разности между средним значением лечения и контрольной группой , представляет собой вероятность того, что это фактическое значение будет меньше , чем верхняя (или больше нижнего) предела этого интервала. При расчете двустороннего доверительного интервала , представляет собой вероятность того, что истинное значение будет находиться между верхним и нижним пределами. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Во-первых, мы обозначим доступные N наблюдений как когда и и оценим общую дисперсию , например: когда - среднее для группы, а - количество наблюдений в группе , и степени свободы. Как упоминалось ранее, мы хотели бы получить отдельные доверительные интервалы для каждого из различий , так чтобы вероятность того, что все доверительные интервалы будут содержать соответствующие, была равна . ${\ displaystyle X_ {ij}}$${\ displaystyle i = 1 ... p}$${\ displaystyle j = 1 ... N_ {i}}$${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {i}} (X_ {ij} - {\ bar { X_ {i}}}) ^ {2}} {n}}}$${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle п = \ сумма _ {я = 0} ^ {р} N_ {я} - (р + 1)}$${\ displaystyle m_ {i} -m_ {0}, (i = 1 ... p)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {i} -m_ {0}}$${\ displaystyle P}$

Мы рассмотрим общий случай, когда есть группы лечения и одна контрольная группа. Напишем: ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle z_ {i} = {\ cfrac {{\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}} - (m_ {i} -m_ {0})} {\ sqrt { {\ cfrac {1} {N_ {i}}} + {\ cfrac {1} {N_ {0}}}}}}}$

${\ displaystyle D_ {i} = {\ cfrac {{\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}} - (m_ {i} -m_ {0})} {s {\ sqrt {{\ cfrac {1} {N_ {i}}} + {\ cfrac {1} {N_ {0}}}}}}}}$

мы также напишем:, что соответствует t-статистическому распределению Стьюдента с n степенями свободы . Нижние доверительные границы с совместным доверительным коэффициентом для эффектов лечения будут выражаться следующим образом: ${\ displaystyle D_ {i} = {\ frac {z_ {i}} {s}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {i} -m_ {0}, (i = 1 ... p)}$

${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}} - d_ {i} s {\ sqrt {{\ frac {1} {N_ {i}}} + { \ frac {1} {N_ {0}}}}}, i = 1 ... p}$

а константы выбираются так, чтобы . Точно так же верхние пределы будут определяться: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d_ {i} '}$${\ displaystyle Prob (t_ {1} <d_ {1} ', ..., t_ {p} <d_ {p}') = P}$

${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}} + d_ {i} s {\ sqrt {{\ frac {1} {N_ {i}}} + { \ frac {1} {N_ {0}}}}}, i = 1 ... p}$

Для ограничения в обоих направлениях можно взять следующий интервал: ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {0}}$

${\ displaystyle {\ bar {X_ {i}}} - {\ bar {X_ {0}}} \ pm d_ {i} 's {\ sqrt {{\ frac {1} {N_ {i}}} + {\ frac {1} {N_ {0}}}}}, i = 1 ... p}$

когда выбраны для удовлетворения . Решение этих конкретных значений для двухстороннего теста и для одностороннего теста приведено в таблицах. Обновленная таблица критических значений была опубликована в 1964 году. ${\ displaystyle d_ {i} ''}$${\ displaystyle Prob (| t_ {1} | <d_ {1} ', ..., | t_ {p} | <d_ {p}') = P}$${\ displaystyle d_ {i} ''}$${\ displaystyle d_ {i} '}$

Примеры

Прочность ткани на разрыв

Следующий пример был адаптирован из примера Вилларса [6]. Данные представляют собой измерения прочности на разрыв ткани, обработанной тремя различными химическими процессами по сравнению со стандартным способом производства.

прочность на разрыв (фунты)

	стандарт	процесс 1	процесс 2	процесс 3
	55	55	55	50
	47	64	49	44
	48	64	52	41 год
Средства	50	61	52	45
Дисперсия	19	27	9	21 год

Здесь p = 3 и N = 3. Средняя дисперсия равна , что является оценкой общей дисперсии четырех наборов с (p + 1) (N-1) = 8 степенями свободы. Это можно рассчитать следующим образом: ${\ displaystyle s ^ {2} = 19}$

${\ displaystyle {\ frac {55 ^ {2} + 47 ^ {2} + 48 ^ {2} + 55 ^ {2} + ... + 41 ^ {2} -3 (50 ^ {2} +61 ^ {2} + 52 ^ {2} + 45 ^ {2})} {8}} = {\ frac {152} {8}} = 19}$.

Стандартное отклонение равно, а расчетная стандартная ошибка разницы между двумя средними составляет . ${\ displaystyle s = {\ sqrt {19}} = 4,36}$${\ displaystyle s {\ sqrt {\ frac {2} {N}}} = 4,36 {\ sqrt {\ frac {2} {N}}} = 3,56}$

Величина, которая должна быть добавлена ​​и / или вычтена из наблюдаемых различий между средствами, чтобы дать их доверительные границы, была названа Тьюки «допуском» и выражается формулой , где t извлекается из многомерного t-распределения , или может быть полученные из таблицы 1 Даннета, если желательны односторонние ограничения, или из таблицы 2 Даннета, если требуются двусторонние пределы. Для p = 3 и df = 8, t = 2,42 для односторонних ограничений и t = 2,88 для двусторонних ограничений для p = 95%. Аналогичные значения t могут быть определены из таблиц, если требуется p = 99% достоверности. Для односторонних пределов допуск составляет A = (2.42) (3.56) = 9, и экспериментатор может заключить, что: ${\ displaystyle A = ts {\ sqrt {\ frac {2} {N}}}}$

• Прочность на разрыв при использовании процесса 1 превышает стандарт как минимум на ${\ displaystyle 61-50-9 = 2 фунта}$
• Прочность на разрыв при использовании процесса 2 как минимум превышает стандарт .${\ displaystyle 52-50-9 = -7 фунтов}$
• Прочность на разрыв при использовании процесса 3 как минимум превышает стандарт .${\ displaystyle 45-50-9 = -14 фунтов}$

Совместное заявление, состоящее из трех вышеупомянутых выводов, имеет коэффициент уверенности 95%, то есть в долгосрочной перспективе 95% таких совместных заявлений действительно будут правильными. Аналогичным образом можно получить верхние пределы для трех разностей. Для двусторонних пределов допуск составляет A = (2,94) (3,56) = 11, и экспериментатор может заключить, что:

• Прочность на разрыв при использовании процесса 1 превышает стандарт на величину между

${\ displaystyle 61-50-11 = 0 фунтов}$ и ${\ displaystyle 61-50 + 11 = 22 фунта}$

• Прочность на разрыв при использовании процесса 2 превышает стандарт на величину между

${\ displaystyle 52-50-11 = -9 фунтов}$и . ${\ displaystyle 52-50 + 11 = 13 фунтов}$

• Прочность на разрыв при использовании процесса 3 превышает стандарт на величину между

${\ displaystyle 45-50-11 = -16 фунтов}$и . Совместный коэффициент уверенности для этих трех утверждений превышает 95%. (Из-за приближения, сделанного при вычислении таблиц 2a и 2b, табличные значения t несколько больше, чем необходимо, так что фактические достигнутые значения p немного больше 95 и 99%. При вычислении таблиц 1a и 1b такое приближение не производилось) . ${\ displaystyle 45-50 + 11 = 6 фунтов}$

Ссылки