Безразмерная величина - Dimensionless quantity

В одномерном анализе , А величина безразмерная является величиной , к которой никакого физическому измерению не назначено, также известная как голая, чистая, или скалярной величина или величина размерности один, с соответствующей единицей измерения в СИ единичных одного ( или 1 ), что явно не показано. Безразмерные величины широко используются во многих областях, таких как математика , физика , химия , инженерия и экономика . Безразмерные величины отличаются от величин, имеющих связанные измерения, такие как время (измеряемое в секундах ). Однако символы rad и sr написаны явно там, где это необходимо, чтобы подчеркнуть, что для радиан или стерадиан рассматриваемая величина является или включает плоский угол или телесный угол соответственно. Например, etendue определяется как количество метров, умноженных на стерадианы.

История

Величины, имеющие размерность один, безразмерные величины , регулярно встречаются в науке и формально рассматриваются в области анализа размерностей . В девятнадцатом веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вели значительные разработки в современных концепциях измерения и единицы . Более поздние работы британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея способствовали пониманию безразмерных чисел в физике. Основываясь на методе анализа размерностей Рэлея, Эдгар Бакингем доказал π- теорему (независимо от предыдущей работы французского математика Жозефа Бертрана ), чтобы формализовать природу этих величин.

Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были придуманы в начале 1900-х годов, особенно в области механики жидкости и теплопередачи . Коэффициенты измерения в (производной) единице дБ ( децибел ) в настоящее время находят широкое применение.

В начале 2000-х годов Международный комитет мер и весов обсуждал вопрос о присвоении единицы 1 « uno », но идея просто ввести новое имя в системе СИ для 1 была отброшена.

Соотношения, пропорции и углы

Безразмерные величины часто получают в виде соотношений в количествах , которые не безразмерные, но размеры которых сокращаются в математической операции. Примеры включают вычисление уклонов или коэффициентов пересчета единиц . Более сложным примером такого отношения является инженерная деформация , мера физической деформации, определяемая как изменение длины, деленное на исходную длину. Поскольку обе величины имеют размерную длину , их соотношение безразмерно. Другой набор примеров - массовые доли или мольные доли, часто записываемые с использованием обозначений частей на миллион, таких как ppm (= 10 −6 ), ppb (= 10 −9 ) и ppt (= 10 −12 ), или, возможно, сбивающим с толку как отношения две одинаковые единицы ( кг / кг или моль / моль). Например, объемный спирт , который характеризует концентрацию этанола в алкогольном напитке , можно записать как мл / 100 мл .

Другими распространенными пропорциями являются проценты %  (= 0,01),    (= 0,001) и угловые единицы, такие как радиан , градус (° = π/180) и grad (= π/200). В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему и используется для измерения дисперсии в данных .

Утверждалось, что величины, определенные как отношения Q = A / B, имеющие равные размеры в числителе и знаменателе, на самом деле являются только безразмерными величинами и все же имеют физический размер, определяемый как dim Q = dim A × dim B −1 . Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влажность, м 3 ⋅м −3 , размер L 3 L −3 ) или как отношение масс (гравиметрическая влажность, единицы кг⋅кг −1 , размер M⋅M −1 ); оба будут безразмерными величинами, но разной размерности.

Теорема Букингема π

Теорема Бакингема π указывает, что действие законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась.

Другое следствие теоремы состоит в том, что функциональная зависимость между определенным числом (скажем, n ) переменных может быть уменьшена числом (скажем, k ) независимых измерений, встречающихся в этих переменных, чтобы получить набор из p = n - k независимых , безразмерные величины . Для экспериментатора разные системы, имеющие одно и то же описание безразмерной величиной , эквивалентны.

Пример

Чтобы продемонстрировать применение П теоремы рассмотрит мощность потребления в мешалке с заданной формой. Мощности, Р , в измерениях [M · L 2 / T 3 ], является функцией плотности , ρ [M / L 3 ], и вязкость текучей среды , чтобы перемешивать, μ [М / (L · T )], а также размер мешалки, определяемый ее диаметром , D [L], и угловой скоростью мешалки, n [1 / T]. Таким образом, у нас есть всего n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных построены из k = 3 основных измерений, длины: L ( единицы СИ : м ), времени: T ( с ) и массы: M ( кг ).

Согласно π -теореме, n = 5 переменных могут быть уменьшены на k = 3 измерения, чтобы сформировать p = n - k = 5 - 3 = 2 независимых безразмерных числа. Как правило, эти величины выбраны в качестве , обычно называли число Рейнольдса , который описывает режим потока текучей среды, и , в числе питания , которое является безразмерным описанием мешалки.

Обратите внимание, что две безразмерные величины не уникальны и зависят от того, какая из n = 5 переменных выбрана в качестве k = 3 независимых базисных переменных, которые присутствуют в обеих безразмерных величинах. Число Рейнольдса и мощность числа падения из приведенного выше анализа , если , п , и D выбраны так, чтобы быть основой переменных. Если вместо этого выбраны , n и D , число Рейнольдса восстанавливается, а вторая безразмерная величина становится . Отметим, что это произведение числа Рейнольдса и числа степени.

Безразмерные физические константы

Некоторые универсальные стандартные габариты физические константы, такие как скорость света в вакууме, универсальная постоянная тяготения , постоянная Планка , постоянная Кулона , и постоянная Больцмана могут быть нормализованы к 1 , если соответствующие единицы для времени , длины , массы , заряда и температуры являются выбрал. Результирующая система единиц известна как естественные единицы , в частности, относительно этих пяти констант, единиц Планка . Однако не все физические константы можно нормализовать таким образом. Например, значения следующих констант не зависят от системы единиц, не могут быть определены и могут быть определены только экспериментально:

Другие количества, произведенные обезразмериванием

В физике часто используются безразмерные величины, чтобы упростить описание систем с множеством взаимодействующих физических явлений. Они могут быть найдены путем применения π- теоремы Бэкингема или иным образом могут появиться в результате обезразмеривания уравнений в частных производных в процессе обезразмеривания . Инженерия, экономика и другие области часто расширяют эти идеи при проектировании и анализе соответствующих систем.

Физика и инженерия

  • Число Френеля - волновое число на расстоянии
  • Число Маха - отношение скорости объекта или потока к скорости звука в жидкости.
  • Бета (физика плазмы) - отношение давления плазмы к магнитному давлению, используемое в физике магнитосферы, а также в физике термоядерной плазмы.
  • Числа Дамкелера (Да) - используются в химической инженерии для связи шкалы времени химической реакции (скорости реакции) со скоростью явления переноса, происходящего в системе.
  • Модуль Тиле - описывает взаимосвязь между диффузией и скоростью реакции в гранулах пористого катализатора без ограничений массопереноса.
  • Числовая апертура - характеризует диапазон углов, в которых система может принимать или излучать свет.
  • Число Шервуда - (также называемое числом Нуссельта массопереноса ) - это безразмерное число, используемое в операции массообмена. Он представляет собой отношение конвективного массопереноса к скорости диффузионного массопереноса.
  • Число Шмидта - определяется как отношение коэффициента диффузии по импульсу (кинематической вязкости) и коэффициента диффузии по массе и используется для характеристики потоков жидкости, в которых одновременно протекают процессы конвекции диффузии импульса и массы.
  • Число Рейнольдса обычно используется в механике жидкости для характеристики потока, включая свойства жидкости и потока. Он интерпретируется как отношение сил инерции к силам вязкости и может указывать на режим потока, а также коррелировать с нагревом от трения в приложении к потоку в трубах.

Химия

Прочие поля

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки