Решение Шварцшильда описывает пространство-время под влиянием массивного, невращающегося сферически-симметричного объекта. Некоторые считают его одним из самых простых и полезных решений уравнений поля Эйнштейна .
Предположения и обозначения
Работая в координатной таблице с координатами от 1 до 4 соответственно, мы начинаем с метрики в ее наиболее общей форме (10 независимых компонентов, каждая из которых является гладкой функцией 4 переменных). Решение предполагается сферически-симметричным, статическим и вакуумным. Для целей данной статьи эти предположения могут быть сформулированы следующим образом (точные определения см. По соответствующим ссылкам):
- Сферически симметричное пространство является один, инвариантное относительно вращений и принимая зеркальное отражение.
- Статическое пространство - время является тот , в котором все компоненты метрики не зависит от временной координаты (так что ) и геометрия пространства - времени не изменяется при время разворота .
- Вакуумное решение является тот , который удовлетворяет уравнению . Из уравнений поля Эйнштейна (с нулевой космологической постоянной ) это означает, что, поскольку сжатие дает .
-
Используемая здесь метрическая подпись (+, +, +, -).
Диагонализация метрики
Первое упрощение, которое необходимо сделать, - это диагонализация метрики. Под преобразованием координат , все компоненты метрики должны оставаться такими же. Компоненты метрики ( ) изменяются при этом преобразовании как:
-
( )
Но, как и следовало ожидать (компоненты метрики остались прежними), это означает, что:
-
( )
Аналогичным образом преобразования координат и соответственно дают:
-
( )
-
( )
Объединение всего этого дает:
-
( )
и, следовательно, метрика должна иметь вид:
где четыре метрических компонента не зависят от координаты времени (согласно статическому предположению).
Упрощение компонентов
На каждой гиперповерхности константы , константы и константы (т.е. на каждой радиальной линии) должно зависеть только (по сферической симметрии). Следовательно , это функция одной переменной:
Аналогичный аргумент, примененный к, показывает, что:
На гиперповерхностях константы и константы требуется, чтобы метрика была метрикой 2-сферы:
Выбрав одну из этих гиперповерхностей ( скажем, с радиусом ), метрические компоненты, ограниченные этой гиперповерхностью (которые мы обозначим как и ), должны оставаться неизменными при поворотах на и (опять же, из-за сферической симметрии). Сравнение форм метрики на этой гиперповерхности дает:
что сразу дает:
-
и
Но это требуется для удержания каждой гиперповерхности; следовательно,
-
и
Альтернативный интуитивный способ увидеть это, и он должен быть таким же, как для плоского пространства-времени, заключается в том, что растяжение или сжатие эластичного материала сферически симметричным образом (радиально) не изменит углового расстояния между двумя точками.
Таким образом, метрику можно представить в виде:
с и еще не определенными функциями . Обратите внимание, что если или в какой-то момент равно нулю, метрика будет особой в этой точке.
Расчет символов Кристоффеля
Используя указанную выше метрику, мы находим символы Кристоффеля , где находятся индексы . Знак обозначает полную производную функции.
Используя уравнения поля, чтобы найти A (r) и B (r)
Для определения и используются уравнения вакуумного поля :
Следовательно:
где запятая используется для обозначения индекса, который используется для производной. Только три из этих уравнений нетривиальны и при упрощении становятся:
(четвертое уравнение просто умноженное на второе уравнение), где штрих означает производную по r функций. Вычитание первого и третьего уравнений дает:
где - ненулевая действительная константа. Подстановка во второе уравнение и уборка дает:
который имеет общее решение:
для некоторой ненулевой действительной константы . Следовательно, метрика для статического сферически-симметричного вакуумного решения теперь имеет вид:
Обратите внимание, что пространство-время, представленное вышеуказанной метрикой, является асимптотически плоским , т. Е. Поскольку метрика приближается к метрике Минковского, а пространственно-временное многообразие напоминает пространство Минковского .
Используя приближение слабого поля для нахождения K и S
Эта диаграмма дает способ найти решение Шварцшильда с помощью приближения слабого поля. Равенство во второй строке дает
g 44 = -
c 2 + 2
GM /
r , предполагая, что искомое решение вырождается в метрику Минковского, когда движение происходит далеко от черной дыры (
r стремится к положительной бесконечности).
Геодезические метрики (полученная при экстремизме) должны в некотором пределе (например, в сторону бесконечной скорости света) согласовываться с решениями ньютоновского движения (например, полученными с помощью уравнений Лагранжа ). (Метрика должна также ограничиваться пространством Минковского, когда масса, которую она представляет, равна нулю.)
(где - кинетическая энергия, а - потенциальная энергия, обусловленная гравитацией) Константы и полностью определяются некоторым вариантом этого подхода; из приближения слабого поля приходим к результату:
где - гравитационная постоянная , - масса гравитационного источника и - скорость света. Установлено, что:
-
и
Следовательно:
-
и
Итак, метрику Шварцшильда окончательно можно записать в виде:
Обратите внимание, что:
- это определение радиуса Шварцшильда для объекта массы , поэтому метрику Шварцшильда можно переписать в альтернативной форме:
что показывает, что метрика становится сингулярной по мере приближения к горизонту событий (то есть ). Метрическая особенность не является физической (хотя существует реальная физическая особенность в точке ), что можно показать с помощью подходящего преобразования координат (например, системы координат Крускала – Секереса ).
Альтернативный вывод с использованием известной физики в особых случаях
Метрика Шварцшильда также может быть получена с использованием известной физики для круговой орбиты и временно стационарной точечной массы. Начните с метрики с коэффициентами, которые являются неизвестными коэффициентами :
Теперь примените уравнение Эйлера-Лагранжа к интегралу длины дуги. Поскольку оно является константой, подынтегральное выражение можно заменить на, потому что уравнение EL точно такое же, если подынтегральное выражение умножается на любую константу. Применение уравнения EL к модифицированной подынтегральной функции дает:
где точка обозначает дифференцирование по
На круговой орбите, поэтому первое уравнение EL, приведенное выше, эквивалентно
Третий закон Кеплера движения является
В круговой орбите, период равен подразумевающий
поскольку точечная масса пренебрежимо мала по сравнению с массой центрального тела So, и интегрирование этого дает где - неизвестная постоянная интегрирования. можно определить, установив, в этом случае пространство-время является плоским, а So и
Когда точечная масса временно неподвижна, и исходное метрическое уравнение становится, а первое уравнение EL, приведенное выше, становится Когда точечная масса временно неподвижна, это ускорение свободного падения , Итак
Альтернативная форма в изотропных координатах
Первоначальная формулировка метрики использует анизотропные координаты, в которых скорость света не одинакова в радиальном и поперечном направлениях. Артур Эддингтон дал альтернативные формы в изотропных координатах . Для изотропных сферических координат , , , координаты и остаются неизменными, а затем ( при условии )
-
, И
Тогда для изотропных прямоугольных координат , , ,
-
Затем метрика принимает вид в изотропных прямоугольных координатах:
Отказ от статического предположения - теорема Биркгофа
При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика является вакуумной, сферически-симметричной и статической . Фактически, статическое предположение сильнее, чем требуется, поскольку теорема Биркгофа утверждает, что любое сферически-симметричное вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна является стационарным ; тогда получается решение Шварцшильда. Теорема Биркгофа приводит к тому, что любая пульсирующая звезда, которая остается сферически-симметричной, не может генерировать гравитационные волны (поскольку область вне звезды должна оставаться статичной).
Смотрите также
Рекомендации