Цилиндрическая система координат - Cylindrical coordinate system

Цилиндрической системе координат с началом O , полярной оси А , и продольной осью L . Точка - это точка с радиальным расстоянием ρ = 4 , угловой координатой φ = 130 ° и высотой z = 4 .

Система цилиндрических координат представляет собой трехмерную систему координат , которая определяет точку позиции на расстояние от выбранной опорной оси, направление от оси относительно выбранного опорного направления, и расстояние от выбранной базовой плоскости , перпендикулярной оси. Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, с какой стороны базовой плоскости обращена точка.

Происхождение системы является точка , в которой все три координаты могут быть заданы как ноль. Это точка пересечения базовой плоскости и оси. Ось по-разному называется цилиндрической или продольной осью, чтобы отличать ее от полярной оси , которая представляет собой луч , лежащий в плоскости отсчета, начиная с начала координат и указывая в направлении отсчета. Остальные направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями .

Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , а угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельную плоскости отсчета. Третья координата может называться высотой или высотой (если базовая плоскость считается горизонтальной), продольным положением или осевым положением .

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, которые обладают некоторой симметрией вращения относительно продольной оси, такими как поток воды в прямой трубе с круглым поперечным сечением, распределение тепла в металлическом цилиндре , электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинный прямой провод, аккреционные диски в астрономии и т. д.

Иногда их называют «цилиндрическими полярными координатами» и «полярными цилиндрическими координатами», а иногда они используются для определения положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»).

Определение

Три координаты ( ρ , φ , z ) точки P определяются как:

• Осевое расстояние или радиальное расстояние ρ является евклидово расстояние от г оси х в точку Р .
• Азимута φ представляет собой угол между опорным направлением на выбранной плоскости и линией от начала координат до проекции Р на плоскости.
• Осевая координата или высота г является расстоянием от точки выбранной плоскости в точке P .

Уникальные цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами ( ρ , φ , z ) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) и (- ρ , φ ± (2 n + 1) × 180 °, z ), где n - любое целое число. Более того, если радиус ρ равен нулю, азимут произвольный.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным значением ( ρ ≥ 0 ), а азимут φ лежать в определенном интервале, охватывающем 360 °, например [-180 °, + 180 °] или [0,360 °] .

Условные обозначения

Обозначения для цилиндрических координат неоднородны. ISO стандарт 31-11 рекомендует ( р , ф , г ) , где ρ радиальная координата, φ азимута, и г , высота. Однако радиус также часто обозначается как r или s , азимут - как θ или t , а третья координата - как h или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) x , или любая буква, зависящая от контекста.

Координатные поверхности цилиндрических координат ( ρ , φ , г ) . Красный цилиндр показывает точки с ρ = 2 , синяя плоскость показывает точки с z = 1 , а желтая полуплоскость показывает точки с φ = −60 ° . Г ось является вертикальной и х -Axis выделена зеленым цветом. Три поверхности пересекаются в точке P с этими координатами (показана черной сферой); в декартовы координаты из Р примерно (1,0, -1,732, 1,0).

Цилиндрические координатные поверхности. Три ортогональных компонента, ρ (зеленый), φ (красный) и z (синий), увеличиваются с постоянной скоростью. Точка находится на пересечении трех цветных поверхностей.

В конкретных ситуациях и на многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки, если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразования системы координат

Цилиндрическая система координат - одна из многих трехмерных систем координат. Следующие формулы могут использоваться для преобразования между ними.

Декартовы координаты

Для преобразования между цилиндрическими и декартовыми координатами удобно предположить, что базовая плоскость первой является декартовой плоскостью xy (с уравнением z = 0 ), а цилиндрическая ось - декартовой осью z . Тогда z -координата одинакова в обеих системах, и соответствие между цилиндрической ( ρ , φ , z ) и декартовой ( x , y , z ) такой же, как для полярных координат, а именно

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ rho \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \\ z & = z \ end {align}}}$

в одном направлении, и

${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ varphi & = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} x = 0 {\ mbox {и}} y = 0 \\\ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) & {\ mbox {if}} x> 0 \\ - \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) + \ pi & {\ mbox {if}} x <0 \ end {case}} \ end {выровнены}}}$

в другом. Функция arcsin является обратной по отношению к синусоидальной функции, и предполагается, что она возвращает угол в диапазоне [- π/2, +π/2] = [-90 °, + 90 °] . Эти формулы дают азимут φ в диапазоне [-90 °, + 270 °] . Чтобы узнать о других формулах, см. Статью о полярных координатах .

Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая будет вычислять правильный азимут φ в диапазоне (−π, π) , заданных x и y , без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 ( y , x ) в языке программирования C и atan ( y , x ) в Common Lisp .

Сферические координаты

Сферические координаты (радиус r , высота или наклон θ , азимут φ ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты с помощью:

θ - высота:	θ - наклон:
${\ Displaystyle {\ begin {align} \ rho & = r \ cos \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ sin \ theta \ end {align}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {align} \ rho & = r \ sin \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ cos \ theta \ end {align}}}$

Цилиндрические координаты могут быть преобразованы в сферические координаты:

θ - высота:	θ - наклон:
${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {z} {\ rho} } \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {align}}}$	${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left ({\ tfrac {\ rho} {z} } \ right) \\\ varphi & = \ varphi \ end {align}}}$

Элементы линии и объема

См. Множественный интеграл для получения подробной информации об интегрировании объема в цилиндрических координатах и Del в цилиндрических и сферических координатах для формул векторного исчисления .

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.

Нитевидный элемент находится

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ rho \, {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, { \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + \ mathrm {d} z \, \ mathbf {\ hat {z}}.}$

Элемент объема является

${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности на поверхности постоянного радиуса ρ (вертикальный цилиндр) равен

${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ rho} = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута φ (вертикальная полуплоскость) равен

${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}$

Элемент поверхности на поверхности постоянной высоты z (горизонтальная плоскость) равен

${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi.}$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента , дивергенции , ротора и лапласиана :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f & = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + {\ frac {1} {\ rho }} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat { z}} \\ [8px] \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {A}} & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ rho} \ right) + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial A_ {z }} {\ partial z}} \\ [8px] \ nabla \ times {\ boldsymbol {A}} & = \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A_ {z} } {\ partial \ varphi}} - {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ left ({\ frac { \ partial A _ {\ rho}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ rho}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + { \ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ varphi} \ right) - {\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla ^ {2} f & = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac { \ партия al} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}} \ end {выровнено}} }$

Цилиндрические гармоники

Решения уравнения Лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрическими гармониками .

Смотрите также

• Список преобразований канонических координат
• Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах
• Del в цилиндрических и сферических координатах

использованная литература

дальнейшее чтение

• Морс, Филип М .; Фешбах, Герман (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк : Макгроу-Хилл . С. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178 . ISBN 9780882754239. LCCN  55010911 . OCLC  3017486 .
• Корн, Гранино А .; Корн, Тереза ​​М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С.  174–175 . LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр, Роберт; Сабо, Иштван (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 95. LCCN  67025285 .
• Цвиллинджер, Даниэль (1992). Справочник по интеграции . Бостон : Джонс и Бартлетт Паблишерс . п. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023 .
• Moon, P .; Спенсер, DE (1988). «Координаты кругового цилиндра (r, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 12–17, Таблица 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

внешние ссылки

• "Координаты цилиндра" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld описание цилиндрических координат
• Цилиндрические координаты Анимация, иллюстрирующая цилиндрические координаты Фрэнка Ваттенберга