Кубическая гармоника - Cubic harmonic

В таких областях, как вычислительная химия и физика твердого тела и конденсированного состояния, так называемые атомные орбитали или спин-орбитали , как они появляются в учебниках по квантовой физике, часто частично заменяются кубическими гармониками по ряду причин. Эти гармоники обычно называют тессеральными гармониками в области физики конденсированного состояния, в которой название кубические гармоники скорее относится к неприводимым представлениям в кубической точечной группе.

Вступление

Водородоподобная атомных орбиталей с главным квантовым числом и моментом квантового числа часто выражаются в виде ${\ displaystyle 2l + 1}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$

${\ Displaystyle \ psi _ {nlm} (\ mathbf {r}) = R_ {nl} (r) Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

в которой - радиальная часть волновой функции, а - часть, зависящая от угла. Являются сферическими гармониками , которые являются решениями кинетического момента оператора. Сферические гармоники являются представлениями функций группы полного вращения SO (3) с вращательной симметрией. Во многих областях физики и химии эти сферические гармоники заменяются кубическими гармониками, потому что вращательная симметрия атома и его окружения искажена или потому, что кубические гармоники обеспечивают вычислительные преимущества. ${\ Displaystyle R_ {nl} (г)}$${\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

Симметрия и система координат

Во многих случаях, особенно в химии и твердого тела и физики конденсированных сред , система под следствием не имеет осевую симметрию. Часто он имеет какую-то более низкую симметрию , с особым представлением точечной группы или вообще не имеет пространственной симметрии . Биологические и биохимические системы, такие как аминокислоты и ферменты, часто принадлежат точечным группам с низкой молекулярной симметрией . В твердых кристаллах элементов часто принадлежат пространственным группам и группам точек с высокой симметрией. (Представления кубических гармоник часто перечисляются и на них ссылаются в таблицах точечных групп .) Система имеет по крайней мере фиксированную ориентацию в трехмерном евклидовом пространстве . Поэтому система координат, которая используется в таких случаях, чаще всего является декартовой системой координат, а не сферической системой координат . В декартовой системе координат атомные орбитали часто выражаются как

${\ Displaystyle \ psi _ {nlc} (\ mathbf {r}) = R_ {nl} (r) X_ {lc} (\ mathbf {r})}$

с кубическими гармониками , как базис . В расчетах ЛКАО и МО в вычислительной химии или в расчетах сильной связи в физике твердого тела кубические гармоники используются в качестве основы атомной орбиты. Индексы lc обозначают некое декартово представление. ${\ Displaystyle X_ {lc} (\ mathbf {r})}$

Базовые преобразования

Для представления сферических гармоник выбрана сферическая система координат с главной осью в направлении z . Для кубических гармоник эта ось также является наиболее удобным выбором. Для состояний с более высоким угловым моментом квантовое число и более высокая размерность числа возможных поворотов или преобразований базиса в гильбертовом пространстве растет, а также растет число возможных ортогональных представлений, которые могут быть построены на основе базисного набора -мерных сферических гармоник. Существует больше свободы выбора представления, которое соответствует точечной групповой симметрии задачи. Кубические представления, перечисленные в таблице, являются результатом преобразований, которые представляют собой двумерные вращения на 45 ° и, при необходимости, поворот на 90 ° к действительной оси, например ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle l (l + 1)}$${\ displaystyle l (l + 1)}$

${\ Displaystyle X_ {lc} (\ mathbf {r}) = Y_ {l} ^ {0}}$

${\ displaystyle X_ {lc '} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {i ^ {n_ {c'}} {\ sqrt {2}}}} \ left (Y_ {l} ^ { m} -Y_ {l} ^ {- m} \ right)}$

${\ displaystyle X_ {lc ''} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {i ^ {n_ {c ''}} {\ sqrt {2}}}} \ left (Y_ {l} ^ {m} + Y_ {l} ^ {- m} \ right)}$

Значительное количество сферических гармоник указано в Таблице сферических гармоник .

Вычислительные преимущества

Прежде всего, кубические гармоники являются действительными функциями , а сферические гармоники - комплексными функциями . Комплексные числа двумерны с действительной и мнимой частями. Комплексные числа предлагают очень красивые и эффективные инструменты для аналитического решения математических задач, но они не очень эффективны, когда используются для численных расчетов. Пропуск мнимой части экономит половину вычислительных усилий при суммировании, четыре раза при умножении и часто восемь или даже больше, когда дело доходит до вычислений с использованием матриц.

Кубические гармоники часто соответствуют симметрии потенциала или окружения атома. Обычным окружением атомов в твердых телах и химических комплексах является октаэдрическое окружение с точечной октаэдрической кубической симметрией . Представления кубических гармоник часто обладают высокой симметрией и множественностью, поэтому такие операции, как интегрирование, могут быть сведены к ограниченной или неприводимой части области определения функции, которая должна быть вычислена. Задачу с 48-кратной октаэдрической симметрией O _h можно вычислить намного быстрее, если ограничить вычисление, например интегрирование, неприводимой частью области определения функции.

Таблица кубических гармоник

S-орбитали

У s-орбиталей есть только радиальная часть.

${\ displaystyle \ psi _ {n00} (\ mathbf {r}) = R_ {n0} (r) Y_ {0} ^ {0}}$

${\ displaystyle s = X_ {00} = Y_ {0} ^ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}}}$

	п = 1	2	3	4	5	6	7
R n0

P-орбитали

Эти три р-орбитали являются атомные орбитали с углового момента квантового числа л = 1 . Кубическое гармоническое выражение p-орбиталей

${\ displaystyle p_ {z} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {z} {r}} = Y_ {1} ^ {0}}$

${\ displaystyle p_ {x} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {x} {r}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {1} ^ { -1} -Y_ {1} ^ {1} \ right)}$

${\ displaystyle p_ {y} = N_ {1} ^ {c} {\ frac {y} {r}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {1} ^ { -1} + Y_ {1} ^ {1} \ right)}$

с участием

${\ Displaystyle N_ {1} ^ {c} = \ left ({\ frac {3} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

p z	p x	п у

D-орбитали

Эти пяти г-орбитали являются атомными орбиталями с угловым моментом квантового числа л = 2 . Угловая часть из д-орбиталей часто выражаются как

${\ Displaystyle \ psi _ {n2c} (\ mathbf {r}) = R_ {n2} (r) X_ {2c} (\ mathbf {r})}$

Угловая часть из д-орбиталей являются кубические гармоники ${\ Displaystyle X_ {2c} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle d_ {z ^ {2}} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {3z ^ {2} -r ^ {2}} {2r ^ {2} {\ sqrt {3}}} } = Г_ {2} ^ {0}}$

${\ displaystyle d_ {xz} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {xz} {r ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 1} -Y_ {2} ^ {1} \ right)}$

${\ displaystyle d_ {yz} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {yz} {r ^ {2}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 1} + Y_ {2} ^ {1} \ right)}$

${\ displaystyle d_ {xy} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {xy} {r ^ {2}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 2} ^ {- 2} -Y_ {2} ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle d_ {x ^ {2} -y ^ {2}} = N_ {2} ^ {c} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2r ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {2} ^ {- 2} + Y_ {2} ^ {2} \ right)}$

с участием

${\ Displaystyle N_ {2} ^ {c} = \ left ({\ frac {15} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

d z 2	d xz	d yz	d xy	д х 2 -у 2

F-орбитали

Эти семь F-орбиталями являются атомными орбиталями с угловым моментом квантового числа л = 3 . часто выражается как

${\ Displaystyle \ psi _ {n3c} (\ mathbf {r}) = R_ {n3} (r) X_ {3c} (\ mathbf {r})}$

Угловая часть из F-орбиталей являются кубическими гармониками . Во многих случаях для построения кубического f-орбитального базиса выбираются различные линейные комбинации сферических гармоник. ${\ Displaystyle X_ {3c} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle f_ {z ^ {3}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {z (2z ^ {2} -3x ^ {2} -3y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {15}}}} = Y_ {3} ^ {0}}$

${\ displaystyle f_ {xz ^ {2}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {x (4z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {10}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 1} -Y_ {3} ^ {1} \ right)}$

${\ displaystyle f_ {yz ^ {2}} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {y (4z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2})} {2r ^ {3 } {\ sqrt {10}}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 1} + Y_ {3} ^ {1} \ right)}$

${\ displaystyle f_ {xyz} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {xyz} {r ^ {3}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ { 3} ^ {- 2} -Y_ {3} ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle f_ {z (x ^ {2} -y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {z \ left (x ^ {2} -y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 2} + Y_ {3} ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle f_ {x (x ^ {2} -3y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {x \ left (x ^ {2} -3y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3} {\ sqrt {6}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 3} -Y_ {3} ^ {3} \ right)}$

${\ displaystyle f_ {y (3x ^ {2} -y ^ {2})} = N_ {3} ^ {c} {\ frac {y \ left (3x ^ {2} -y ^ {2} \ right )} {2r ^ {3} {\ sqrt {6}}}} = {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ left (Y_ {3} ^ {- 3} + Y_ {3} ^ {3} \ right)}$

с участием

${\ Displaystyle N_ {3} ^ {c} = \ left ({\ frac {105} {4 \ pi}} \ right) ^ {1/2}}$

f z 3	f xz 2	f yz 2	f xyz	f z (x 2 -y 2 )	f x (x 2 -3y 2 )	f y (3x 2 -y 2 )

Смотрите также

использованная литература