Кристаллический импульс - Crystal momentum

Существует бесконечное количество синусоидальных колебаний, которые идеально подходят для набора дискретных осцилляторов, что делает невозможным однозначное определение k-вектора. Это отношение расстояний между осцилляторами к пространственной частоте Найквиста волн в решетке. См. Также Псевдонимы § Выборка синусоидальных функций для получения дополнительной информации об эквивалентности k-векторов.

В физике твердого тела кристалла импульса или квазиимпульсе является импульс -как вектор , связанный с электронами в кристаллической решетке . Он определяется соответствующими волновыми векторами этой решетки согласно ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {crystal}} \ Equiv \ hbar {\ mathbf {k}}}$

(где - приведенная постоянная Планка ). Часто импульс кристалла сохраняется как механический импульс, что делает его полезным для физиков и материаловедов в качестве аналитического инструмента. ${\ displaystyle \ hbar}$

Истоки симметрии решетки

Распространенным методом моделирования кристаллической структуры и поведения является рассмотрение электронов как квантово-механических частиц, перемещающихся через фиксированный бесконечный периодический потенциал, такой что ${\ Displaystyle V (х)}$

${\ Displaystyle V ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = V ({\ mathbf {x}}),}$

где - произвольный вектор решетки . Такая модель разумна, потому что ионы кристаллов , которые образуют структуру решетки, обычно в десятки тысяч раз массивнее электронов, что позволяет безопасно заменить их структурой с фиксированным потенциалом, а макроскопические размеры кристалла обычно равны намного больше, чем один шаг решетки, что делает краевые эффекты незначительными. Следствием этой функции потенциальной энергии является то, что можно сместить начальное положение электрона на любой вектор решетки без изменения какого-либо аспекта проблемы, тем самым определяя дискретную симметрию . Технически, бесконечный периодический потенциал означает, что оператор сдвига решетки коммутирует с гамильтонианом , принимая простую форму кинетики плюс потенциал. ${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ Displaystyle Т (а)}$

Из этих условий следует теорема Блоха , которая гласит:

${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}}), \ qquad u_ {n {\ mathbf {k}}} ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = u_ {n {\ mathbf {k }}} ({\ mathbf {x}})}$,

или что электрон в решетке, которую можно смоделировать как волновую функцию одной частицы , находит решения для своего стационарного состояния в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию . Теорема возникает как прямое следствие упомянутого выше факта, что оператор переноса симметрии решетки коммутирует с гамильтонианом системы. ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle и (\ mathbf {х})}$

Одним из примечательных аспектов теоремы Блоха является то, что она прямо показывает, что стационарные решения могут быть отождествлены с волновым вектором , а это означает, что это квантовое число остается константой движения. Импульс кристалла условно определяется умножением этого волнового вектора на постоянную Планка: ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {crystal}} = \ hbar {\ mathbf {k}}.}$

Хотя это фактически идентично определению, которое можно было бы дать для регулярного импульса (например, рассматривая эффекты оператора трансляции как эффекты частицы в свободном пространстве), существуют важные теоретические различия. Например, в то время как регулярный импульс полностью сохраняется, импульс кристалла сохраняется только с точностью до вектора решетки. Например, электрон можно описать не только волновым вектором , но и любым другим волновым вектором таким, что ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {к '}}$

${\ displaystyle \ mathbf {k '} = \ mathbf {k} + \ mathbf {K},}$

где - произвольный вектор обратной решетки . Это является следствием того факта, что симметрия решетки дискретна, а не непрерывна, и, следовательно, связанный с ней закон сохранения не может быть выведен с помощью теоремы Нётер . ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$

Физическое значение

Фазовая модуляция блоховского состояния такая же, как у свободной частицы с импульсом , т. Е. Придает состоянию периодичность, отличную от периодичности решетки. Эта модуляция вносит вклад в кинетическую энергию частицы (тогда как модуляция полностью отвечает за кинетическую энергию свободной частицы). ${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}})}$${\ displaystyle \ hbar k}$${\ displaystyle k}$

В областях, где полоса приблизительно параболическая, импульс кристалла равен импульсу свободной частицы с импульсом, если мы приписываем частице эффективную массу, которая связана с кривизной параболы. ${\ displaystyle \ hbar k}$

Отношение к скорости

Волновой пакет с дисперсией , которая вызывает групповую скорость и фазовую скорость быть разным. Это изображение представляет собой одномерную реальную волну, но пакеты электронных волн представляют собой трехмерные комплексные волны.

Импульс кристалла соответствует физически измеримой концепции скорости согласно

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}).}$

Это та же формула, что и групповая скорость волны . В частности, из-за принципа неопределенности Гейзенберга электрон в кристалле не может иметь одновременно точно определенное k и точное положение в кристалле. Однако он может сформировать волновой пакет с центром в импульсе k (с небольшой неопределенностью) и с центром в определенной позиции (с небольшой неопределенностью). Положение центра этого волнового пакета изменяется по мере распространения волны, движущейся через кристалл со скоростью v, определяемой формулой выше. В реальном кристалле электрон движется таким образом - движется в определенном направлении с определенной скоростью - в течение короткого периода времени, прежде чем столкнуться с дефектом в кристалле, который заставляет его двигаться в другом случайном направлении. Эти столкновения, называемые рассеянием электронов , чаще всего вызываются кристаллографическими дефектами , поверхностью кристалла и случайными тепловыми колебаниями атомов в кристалле ( фононами ).

Реакция на электрические и магнитные поля

Импульс кристалла также играет основную роль в полуклассической модели динамики электронов, где он подчиняется уравнениям движения (в единицах cgs):

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}),}$

${\ displaystyle {\ mathbf {\ dot {p}}} _ {\ text {crystal}} = - e \ left ({\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c}} {\ mathbf { v}} \ times {\ mathbf {H}} \ right)}$

Возможно, здесь наиболее сильна аналогия между импульсом кристалла и истинным импульсом, поскольку это как раз те уравнения, которым подчиняется электрон в свободном пространстве в отсутствие какой-либо кристаллической структуры. Импульс кристалла также имеет шанс проявить себя в таких расчетах, поскольку для расчета траектории движения электрона с использованием приведенных выше уравнений необходимо учитывать только внешние поля, пытаясь вычислить из системы уравнений движения на основе Истинный импульс потребует учета индивидуальных кулоновских и лоренцевских сил каждого отдельного иона решетки в дополнение к внешнему полю.

Приложения

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES) облучение светом кристаллического образца приводит к выбросу электрона из кристалла. На протяжении всего взаимодействия можно объединить два понятия кристалла и истинного импульса и таким образом получить непосредственное знание зонной структуры кристалла. Другими словами, импульс кристалла электрона внутри кристалла становится его истинным импульсом после того, как он уходит, и истинный импульс может быть впоследствии выведен из уравнения

${\ displaystyle {\ mathbf {p _ {\ parallel}}} = {\ sqrt {2mE _ {\ text {kin}}}} \ sin \ theta}$

путем измерения угла и кинетической энергии, при которой электрон покидает кристалл, где - масса одного электрона. Поскольку симметрия кристалла в направлении, нормальном к поверхности кристалла, теряется на границе кристалла, импульс кристалла в этом направлении не сохраняется. Следовательно, единственные направления, в которых могут быть собраны полезные данные ARPES, - это направления, параллельные поверхности кристалла. ${\ displaystyle m}$

Ссылки