Хрустальная основа - Crystal base

В алгебре кристаллическая база или каноническая база - это база представления, так что генераторы квантовой группы или полупростой алгебры Ли имеют особенно простое действие на ней. Кристаллические основания были введены Кашиварой  ( 1990 ) и Люстигом  ( 1990 ) (под названием канонических оснований).

Определение

Как следствие определяющих соотношений квантовую группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над полем всех рациональных функций неопределенного q над , обозначенным . ${\ Displaystyle U_ {q} (G)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (д)}$

Для простого корня и неотрицательного целого числа определите ${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {align} e_ {i} ^ {(0)} = f_ {i} ^ {(0)} & = 1 \\ e_ {i} ^ {(n)} & = {\ frac {e_ {i} ^ {n}} {[n] _ {q_ {i}}!}} \\ [6pt] f_ {i} ^ {(n)} & = {\ frac {f_ {i} ^ {n}} {[n] _ {q_ {i}}!}} \ end {align}}}$

В интегрируемой модуле , и для веса , вектор (т.е. вектор в с весом ) может быть однозначно разложено в суммах ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle и \ в М _ {\ lambda}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle u = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {i} ^ {(n)} u_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e_ {i} ^ {(n)} v_ {n},}$

где , , только если , и только если . ${\ displaystyle u_ {n} \ in \ ker (e_ {i}) \ cap M _ {\ lambda + n \ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle v_ {n} \ in \ ker (f_ {i}) \ cap M _ {\ lambda -n \ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle u_ {n} \ neq 0}$${\ Displaystyle п + {\ гидроразрыва {2 (\ лямбда, \ альфа _ {я})} {(\ альфа _ {я}, \ альфа _ {я})}} \ geq 0}$${\ displaystyle v_ {n} \ neq 0}$${\ Displaystyle п - {\ гидроразрыва {2 (\ лямбда, \ альфа _ {я})} {(\ альфа _ {я}, \ альфа _ {я})}} \ geq 0}$

Линейные отображения могут быть определены с помощью ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {i}, {\ tilde {f}} _ {i}: M \ to M}$${\ displaystyle M _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {i} u = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {i} ^ {(n-1)} u_ {n} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} e_ {i} ^ {(n + 1)} v_ {n},}$

${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i} u = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {i} ^ {(n + 1)} u_ {n} = \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} e_ {i} ^ {(n-1)} v_ {n}.}$

Позвольте быть областью целостности всех рациональных функций, в которых регулярны в ( т. Е. Рациональная функция является элементом тогда и только тогда, когда существуют многочлены и в кольце многочленов такие, что , и ). Кристалл база для является упорядоченной парой , таким образом, что ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (д)}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle f (q)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle g (q)}$${\ Displaystyle ч (д)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} [д]}$${\ Displaystyle ч (0) \ neq 0}$${\ Displaystyle е (д) = г (д) / час (д)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle (L, B)}$

• ${\ displaystyle L}$ является свободным -подмодулем такой, что ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M = \ mathbb {Q} (q) \ otimes _ {A} L;}$
• ${\ displaystyle B}$ является -базисом векторного пространства над ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle L / qL}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$
• ${\ Displaystyle L = \ oplus _ {\ lambda} L _ {\ lambda}}$ и , где и ${\ Displaystyle B = \ sqcup _ {\ lambda} B _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle L _ {\ lambda} = L \ cap M _ {\ lambda}}$${\ displaystyle B _ {\ lambda} = B \ cap (L _ {\ lambda} / qL _ {\ lambda}),}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {i} L \ subset L}$ и ${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i} L \ subset L {\ text {для всех}} i,}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {i} B \ subset B \ cup \ {0 \}}$ и ${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i} B \ subset B \ cup \ {0 \} {\ text {для всех}} i,}$
• ${\ displaystyle {\ text {для всех}} b \ in B {\ text {and}} b '\ in B, {\ text {и для всех}} i, \ quad {\ tilde {e}} _ { i} b = b '{\ text {тогда и только тогда, когда}} {\ tilde {f}} _ {i} b' = b.}$

Чтобы выразить это в более неформальной обстановке, действия и, как правило, единичны в интегрируемом модуле . Линейные отображения и на модуле вводятся так, чтобы действия и были регулярными на модуле. Существует -базис весовых векторов для , относительно которого действия и регулярны в при всех i . Затем модуль ограничивается свободным -модулем, сгенерированным базисом, а базисные векторы, -подмодуль и действия и оцениваются в . Кроме того, базис может быть выбран так, чтобы at , для всех , и были представлены взаимными транспонами и отображали базисные векторы в базисные векторы или 0. ${\ displaystyle e_ {i} f_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} e_ {i}}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ tilde {e}} _ {i} {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i} {\ tilde {e}} _ {i}}$${\ displaystyle q = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (д)}$${\ displaystyle {\ tilde {B}}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$

Кристаллическую основу можно представить в виде ориентированного графа с помеченными ребрами. Каждая вершина графа представляет собой элемент -базиса из и направленное ребро, меченый с помощью I , и направленный от вершины к вершине , представляет , что (и, что то же самое, что ), где является основой элемент , представленный , и является базовый элемент, представленный . График полностью определяет действия и в . Если интегрируемый модуль имеет кристаллическую основу, то модуль неприводим тогда и только тогда, когда граф, представляющий кристаллическую основу, является связным (граф называется «связным», если множество вершин не может быть разбито на объединение нетривиальных непересекающихся подмножеств и такое, что нет ребер, соединяющих любую вершину в с любой вершиной в ). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle L / qL}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ displaystyle b_ {2} = {\ tilde {f}} _ {i} b_ {1}}$${\ displaystyle b_ {1} = {\ tilde {e}} _ {i} b_ {2}}$${\ displaystyle b_ {1}}$${\ displaystyle v_ {1}}$${\ displaystyle b_ {2}}$${\ displaystyle v_ {2}}$${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle q = 0}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$

Для любого интегрируемого модуля с кристаллическим основанием весовой спектр для кристаллического основания такой же, как весовой спектр для модуля, и, следовательно, весовой спектр для кристаллического основания такой же, как весовой спектр для соответствующего модуля соответствующего модуля. Алгебра Каца – Муди. Кратности весов в кристаллической базе также совпадают с их кратностями в соответствующем модуле соответствующей алгебры Каца – Муди.

Теорема Кашивары гласит, что каждый интегрируемый модуль старшего веса имеет кристаллическую основу. Точно так же каждый интегрируемый модуль наименьшего веса имеет кристаллическое основание.

Тензорные произведения кристаллических основ

Позвольте быть интегрируемым модулем с кристаллической базой и быть интегрируемым модулем с кристаллической базой . Для кристаллических основ, сопродукт , определяемый выражением ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle (L, B)}$${\ displaystyle M '}$${\ displaystyle (L ', B')}$${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta (k _ {\ lambda}) & = k _ {\ lambda} \ otimes k _ {\ lambda} \\\ Delta (e_ {i}) & = e_ {i} \ otimes k_ {i} ^ {- 1} +1 \ otimes e_ {i} \\\ Delta (f_ {i}) & = f_ {i} \ otimes 1 + k_ {i} \ otimes f_ {i} \ end { выровнено}}}$

принимается. Интегрируемый модуль имеет кристаллическую основу , где . Для базисного вектора определите ${\ Displaystyle M \ otimes _ {\ mathbb {Q} (q)} M '}$${\ displaystyle (L \ otimes _ {A} L ', B \ otimes B')}$${\ displaystyle B \ otimes B '= \ left \ {b \ otimes _ {\ mathbb {Q}} b': b \ in B, \ b '\ in B' \ right \}}$${\ displaystyle b \ in B}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} (b) = \ max \ left \ {n \ geq 0: {\ tilde {e}} _ {i} ^ {n} b \ neq 0 \ right \}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {i} (b) = \ max \ left \ {n \ geq 0: {\ tilde {f}} _ {i} ^ {n} b \ neq 0 \ right \}}$

Действия и на задаются ${\ Displaystyle {\ тильда {е}} _ {я}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {i}}$${\ displaystyle b \ otimes b '}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {e}} _ {i} (b \ otimes b ') & = {\ begin {cases} {\ tilde {e}} _ {i} b \ otimes b '& \ varphi _ {i} (b) \ geq \ varepsilon _ {i} (b') \\ b \ otimes {\ tilde {e}} _ {i} b '& \ varphi _ {i} (b ) <\ varepsilon _ {i} (b ') \ end {cases}} \\ {\ tilde {f}} _ {i} (b \ otimes b') & = {\ begin {cases} {\ tilde { f}} _ {i} b \ otimes b '& \ varphi _ {i} (b)> \ varepsilon _ {i} (b') \\ b \ otimes {\ tilde {f}} _ {i} b '& \ varphi _ {i} (b) \ leq \ varepsilon _ {i} (b') \ end {case}} \ end {выровнены}}}$

Разложение продукта двух интегрируемых модулей старшего веса на неприводимые подмодули определяется разложением графа кристаллической основы на его компоненты связности (т. Е. Определяются наивысшие веса подмодулей и определяется кратность каждого старшего веса) .

использованная литература

• Янцен, Йенс Карстен (1996), Лекции по квантовым группам , Аспирантура по математике , 6 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN   978-0-8218-0478-0 , Руководство по ремонту   1359532
• Кашивары, Masaki (1990), "Crystalizing Q-аналог универсальных обертывающих алгебр" , Связь в математической физике , 133 (2): 249-260, DOI : 10.1007 / bf02097367 , ISSN   0010-3616 , МР   1090425 , S2CID   121695684
• Люстиг, Г. (1990), "канонические основы , вытекающие из квантованных огибающих алгебр", журнал Американского математического общества , 3 (2): 447-498, DOI : 10,2307 / 1990961 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990961 , МР   1035415

внешние ссылки

• Хрустальная основа в nLab