Основные представления унитарных и антиунитарных группировок - Corepresentations of unitary and antiunitary groups

В квантовой механике операции симметрии важны для предоставления информации о решениях системы. Обычно эти операции образуют математическую группу , такую ​​как группа вращения SO (3) для сферически симметричных потенциалов. Теория представлений этих групп приводит к неприводимым представлениям , которые для SO (3) дают кет-векторы углового момента системы.

Стандартная теория представлений использует линейные операторы . Однако некоторые важные с физической точки зрения операторы, такие как обращение времени, являются антилинейными , и включение их в группу симметрии приводит к группам, включающим как унитарные, так и антиунитарные операторы.

Эта статья посвящена теории представлений, эквивалентной теории представлений для этих групп. Он в основном используется в теоретическом исследовании магнитной структуры, но также имеет отношение к физике элементарных частиц из-за симметрии CPT . Он дает основные результаты, отношение к обычной теории представлений и некоторые ссылки на приложения.

Основные представления унитарных / антиунитарных групп

Юджин Вигнер. показал, что операция симметрии S гамильтониана представлена ​​в квантовой механике либо унитарным оператором, S = U , либо антиунитарным оператором , S = UK, где U унитарен, а K обозначает комплексное сопряжение. Антиунитарные операторы возникают в квантовой механике из-за оператора обращения времени

Если набор операций симметрии (как унитарных, так и антиунитарных) образует группу , то она обычно известна как магнитная группа, и многие из них описаны в магнитных пространственных группах .

Группа унитарных операторов может быть представлена групповым представлением . Из-за наличия антиунитарных операторов это должно быть заменено теорией кор-представлений Вигнера.

Определение

Пусть G группа с подгруппой H индекса 2. Сопредставление - это гомоморфизм в группу операторов над векторным пространством над комплексными числами, где для всех u в H образ u является линейным оператором, а для всех a в смежный класс GH образ a является антилинейным (где '*' означает комплексное сопряжение):

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ forall u \ in H, D (u) (a {\ bf {x}} + b {\ bf {y}}) = a \ times D (u) {\ bf {x}} + b \ times D (u) {\ bf {y}} \\ & \ forall a \ in GH, D (a) (a {\ bf {x}} + b {\ bf {y }}) = a ^ {*} \ times D (a) {\ bf {x}} + b ^ {*} \ times D (a) {\ bf {y}} \ end {выровнено}}}$

Характеристики

Поскольку это гомоморфизм

${\ Displaystyle {\ begin {align} & D (u_ {1} u_ {2}) = D (u_ {1}) D (u_ {2}) \\ & D (ua) = D (u) D (a) \\ & D (au) = D (a) D (u) ^ {*} \\ & D (a_ {1} a_ {2}) = D (a_ {1}) D (a_ {2}) ^ {* } \ конец {выровнено}}}$

Сводимость

Два основных представления эквивалентны, если существует матрица V

${\ Displaystyle {\ begin {align} & \ forall u, D '(u) = VD (u) V ^ {-} 1 \\ & \ forall a, D' (a) = VD (a) V ^ { * -1} \ end {выровнено}}}$

Как и представления, корпредставление сводимо, если существует собственное подпространство, инвариантное относительно операций корпредставления. Если базовое представление задается матрицами, оно сокращается, если оно эквивалентно базовому представлению с каждой матрицей в блочно-диагональной форме.

Если корпредставление не сводимо, то оно неприводимо .

Лемма Шура

Лемма Шура для неприводимых представлений над комплексными числами утверждает, что если матрица коммутирует со всеми матрицами представления, то она является (комплексным) кратным единичной матрице, то есть набор коммутирующих матриц изоморфен комплексным числам . Эквивалент леммы Шуру для неприводимого corepresentations является то , что множество коммутирующих матриц изоморфно , или кватернионы Используя сплетающего число [1] над действительными числами, то это может быть выражены как сплетающее число 1, 2 или 4. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Отношение к представлениям линейной подгруппы

Как правило, неприводимые corepresentations связаны с неприводимым представлениям линейной подгруппы H. Пусть неприводимая (обычное) представление он линейной подгруппы H . Сформируем сумму по всем антилинейным операторам квадрата характера каждого из этих операторов: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle S = \ сумма _ {а} \ чи _ {\ Delta} (а ^ {2})}$

и установить для произвольного элемента . ${\ displaystyle P = D (a_ {0})}$${\ displaystyle a_ {0}}$

Есть три случая, которые различаются проверкой характера (уравнение 7.3.51 Кракнелла и Брэдли).

Введите)

Если S = | H | (число сплетений равно единице), тогда D является неприводимым корпредставлением той же размерности, что и с${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & D (u) = \ Delta (u) \\ & D (a) = D (aa_ {0} ^ {- 1} a_ {0}) = \ Delta (aa_ {0} ) P \ end {выровнено}}}$

Тип (б)

S = - | H | (число переплетений - четыре), тогда D - неприводимое представление, образованное из двух «копий»${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} & D (u) = {\ begin {pmatrix} \ Delta (u) & 0 \\ 0 & \ Delta (u) \ end {pmatrix}} \\ & D (a) = {\ begin {pmatrix} 0 & \ Delta (aa_ {0} ^ {- 1}) P \\ - \ Delta (aa_ {0} ^ {- 1}) P & 0 \ end {pmatrix}} \ end {align}}}$

Тип (c)

Если S = 0 (число переплетений равно двум), то D является неприводимым корпредставлением, образованным из двух неэквивалентных представлений, и где${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta '}$${\ displaystyle \ Delta '(u) = \ Delta (a_ {0} ^ {- 1} ua_ {0}) ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & D (u) = {\ begin {pmatrix} \ Delta (u) & 0 \\ 0 & \ Delta (a_ {0} ^ {- 1} ua_ {0}) ^ {*} \ end {pmatrix}} \\ & D (a) = {\ begin {pmatrix} 0 & \ Delta (aa_ {0}) \\\ Delta (a_ {0} ^ {- 1} a) ^ {*} & 0 \ конец {pmatrix}} \ конец {выровненный}}}$

Кракнелл и Брэдли показывают, как использовать их для построения представлений ядра для магнитных точечных групп, в то время как Кракнелл и Вонг дают более явные таблицы для двойных магнитных групп.

Теория характеров основных представлений

Стандартная теория представлений для конечных групп имеет квадратную таблицу символов со свойствами ортогональности строк и столбцов. С немного другим определением классов сопряженности и использованием числа переплетений, таблица квадратных символов с аналогичными свойствами ортогональности также существует для основных представлений конечных магнитных групп.

На основе этой таблицы персонажей была разработана теория характера, отражающая теорию репрезентации.

Смотрите также

• Мок, А. (2016). «Характеризация четно-временной симметрии в фотонных решетках с использованием теории групп Хиша-Шубникова». Оптика Экспресс . 24 (20): 22693–22707. arXiv : 1606.05044 . Bibcode : 2016OExpr..2422693M . DOI : 10,1364 / OE.24.022693 . PMID  27828339 . S2CID  24476384 .
• Швейзер, Дж. (2005). «Инверсия времени в анализе представлений теории магнитных структур». CR Physique . 6 : 375–384. DOI : 10.1016 / j.crhy.2005.01.009 .
• Анджеловал, Миннесота; Бойл, LL (2005). «О классификации и перечислении неприводимых копредставлений магнитных пространственных групп». Журнал физики A: математический и общий . 29 (5): 993–1010. DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 29/5/014 .
• Скурек Р. (2004). «Понимание группы CPT в физике элементарных частиц: стандартные и нестандартные представления». Являюсь. J. Phys . 75 (5): 638–643. Bibcode : 2004AmJPh..72..638S . DOI : 10.1119 / 1.1629087 .

использованная литература