Конструктивный анализ - Constructive analysis

В математике , конструктивный анализ является математический анализ осуществляется в соответствии с некоторыми принципами конструктивной математики . Это контрастирует с классическим анализом , который (в данном контексте) просто означает анализ, проводимый в соответствии с (более распространенными) принципами классической математики .

Вообще говоря, конструктивный анализ может воспроизводить теоремы классического анализа, но только в приложении к сепарабельным пространствам ; кроме того, к некоторым теоремам может потребоваться приближение . Более того, многие классические теоремы могут быть сформулированы способами, которые логически эквивалентны в соответствии с классической логикой , но не все эти формы будут действительны в конструктивном анализе, который использует интуиционистскую логику .

Примеры

Теорема о промежуточном значении

В качестве простого примера рассмотрим теорему о промежуточном значении (IVT). В классическом анализе IVT говорит, что для любой непрерывной функции f от отрезка [ a , b ] до вещественной прямой R , если f ( a ) отрицательно, а f ( b ) положительно , то существует действительное число c в интервале, таком, что f ( c ) в точности равна нулю . В конструктивном анализе это неверно, потому что конструктивная интерпретация экзистенциальной квантификации («существует») требует, чтобы человек был в состоянии построить действительное число c (в том смысле, что оно может быть аппроксимировано с любой желаемой точностью рациональным числом. ). Но если f колеблется около нуля во время растяжения вдоль своей области, то это не обязательно может быть сделано.

Однако конструктивный анализ предоставляет несколько альтернативных формулировок IVT, каждая из которых эквивалентна обычной форме в классическом анализе, но не в конструктивном анализе. Например, при тех же условиях на f, что и в классической теореме, для любого натурального числа n (независимо от того, насколько оно велико) существует (то есть мы можем построить) действительное число c n в интервале такое, что абсолютное значение из F ( с п ) меньше , чем 1 / п . То есть мы можем подойти к нулю настолько близко, насколько захотим, даже если мы не можем построить c, который дает нам ровно ноль.

В качестве альтернативы, мы можем сохранить тот же вывод, что и в классической IVT - единственное c, такое, что f ( c ) точно равно нулю - при усилении условий на f . Мы требуем, чтобы f было локально ненулевым , что означает, что для любой точки x в интервале [ a , b ] и любого натурального числа m существует (мы можем построить) действительное число y в интервале такое, что | у - х | <1 / м и | f ( y ) | > 0. В этом случае искомое число c может быть построено. Это сложное условие, но есть несколько других условий, которые его подразумевают и которые обычно выполняются; например, каждая аналитическая функция локально не равна нулю (при условии, что она уже удовлетворяет условию f ( a ) <0 и f ( b )> 0).

В качестве другого способа взглянуть на этот пример, обратите внимание, что согласно классической логике , если локально ненулевое условие не выполняется, то оно должно не выполняться в некоторой конкретной точке x ; и тогда f ( x ) будет равно 0, так что IVT будет действительным автоматически. Таким образом, в классическом анализе, использующем классическую логику, для доказательства полной IVT достаточно доказать конструктивную версию. С этой точки зрения, полная IVT терпит неудачу в конструктивном анализе просто потому, что конструктивный анализ не принимает классическую логику. И наоборот, можно утверждать, что истинный смысл IVT, даже в классической математике, - это конструктивная версия, включающая локально ненулевое условие, с полным IVT, за которым впоследствии следует «чистая логика». Некоторые логики, признавая правильность классической математики, все же полагают, что конструктивный подход позволяет лучше понять истинный смысл теорем, во многом именно таким образом.

Принцип наименьшей верхней границы и компакты

Другое различие между классическим и конструктивным анализом состоит в том, что конструктивный анализ не принимает принцип наименьшей верхней границы, согласно которому любое подмножество вещественной прямой R имеет наименьшую верхнюю границу (или супремум), возможно, бесконечную. Однако, как и в случае с теоремой о промежуточном значении, существует альтернативная версия; в конструктивном анализе любое расположенное подмножество действительной прямой имеет верхнюю грань. (Здесь подмножество S из R будет расположен , если всякий раз, когда х < у действительных числа, либо существует элемент s из S , такие , что х < ы , или у приведен верхняя границы из S .) Опять же , это классический эквивалентно принцип полной наименьшей верхней границы, поскольку каждый набор находится в классической математике. И снова, хотя определение локализованного множества сложно, тем не менее ему удовлетворяют несколько обычно изучаемых множеств, включая все интервалы и компактные множества .

Тесно связанный с этим, в конструктивной математике меньше характеристик компактных пространств являются конструктивно действительными - или, с другой точки зрения, существует несколько различных концепций, которые классически эквивалентны, но не эквивалентны конструктивно. Действительно, если бы интервал [ a , b ] был последовательно компактным в конструктивном анализе, то классическая IVT следовала бы из первого конструктивного варианта в примере; можно было найти C в качестве точки кластера из бесконечной последовательности ( с п ) п .

Несчетность действительных чисел

Диагональная конструкция в теореме канторы является интуиционистский действительной. Действительно, конструктивная составляющая диагонального аргумента уже появилась в работе Кантора. По словам Канамори, историческое искажение увековечивается, связывая диагонализацию с неконструктивностью . В результате настоящие числа не поддаются исчислению в любой конструктивной системе. В некоторых моделях , является subcountable .

Вариант, который можно найти в учебниках по конструктивному анализу, может выглядеть следующим образом: «Пусть { a n } - последовательность действительных чисел. Пусть x 0 и y 0 - действительные числа, x 0  <  y 0. Тогда существует действительное число x с x 0  ≤  x  ≤  y 0 и x  ≠  a n ( n  ∈  Z + ) ... Доказательство, по сути, является « диагональным » доказательством Кантора ». (Теорема 1 в книге Эрретта Бишопа , Основы конструктивного анализа , 1967, стр. 25.)

Последовательности действительных чисел обычно появляются в анализе. Конструктивный анализатор, который отвергает не только закон исключенного третьего, но также ограниченный принцип всеведения и даже принцип Маркова, может использовать аксиому зависимого выбора для последовательностей действительных чисел.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Бриджер, Марк (2007). Реальный анализ: конструктивный подход . Хобокен: Вайли. ISBN 0-471-79230-6.